L’étude de fonction n’est pas une liste rituelle de calculs. C’est une enquête : où la fonction existe-t-elle, quelles valeurs prend-elle, comment varie-t-elle et que fait-elle près des points critiques ou loin de l’origine ? Chaque étape répond à une question et enrichit le dessin.
À quoi sert une étude de fonction ?
Un graphique raconte plusieurs choses, mais peut cacher un trou, un intervalle minuscule ou un comportement hors de la fenêtre choisie. L’étude analytique justifie le dessin au lieu de le recopier.
Écrivons y = f(x) : x est la variable indépendante, y la valeur associée. Il peut s’agir de chercher des maxima ou minima, comparer des évolutions ou prévoir des tendances. Le parcours est : domaine ; symétries et intersections ; signe ; limites et continuité ; asymptotes ; première dérivée ; seconde dérivée ; synthèse graphique.
Domaine : savoir d’abord où l’expression existe
Le domaine D réunit les valeurs réelles de x pour lesquelles l’expression initiale a un sens. Les conditions doivent être satisfaites simultanément : prendre leur intersection.
- Polynômes :
D = ℝ. - Fractions : chaque dénominateur est non nul.
- Racines d’indice pair : radicande positif ou nul, strictement positif si la racine est au dénominateur.
- Logarithmes : argument strictement positif.
- Tangente :
cos(x) ≠ 0, doncx ≠ π/2 + nπ.
Pour ln(x - 1)/√(4 - x), il faut x - 1 > 0 et 4 - x > 0, d’où D = (1,4). Exclure seulement 1 et 4 ne suffit pas.
Une simplification n’efface pas les exclusions : (x² - 1)/(x - 1) = x + 1 vaut seulement pour x ≠ 1. Le point reste exclu.
Symétries et périodicité : moins de travail sans perte d’information
Pour parler de parité, le domaine doit être symétrique par rapport à zéro. Si f(-x) = f(x), f est paire et sa courbe symétrique par rapport à l’axe y. Si f(-x) = -f(x), elle est impaire et symétrique par rapport à l’origine.
x² est paire ; x³ - 3x est impaire. (x - 1)² - 4 n’est ni l’une ni l’autre, mais possède l’axe de symétrie x = 1. Ce sont des notions différentes.
T > 0 est une période si le domaine est compatible avec la translation et f(x + T) = f(x). Pour le sinus, T = 2π : étudier une période puis la répéter. Des valeurs semblables en quelques points ne prouvent pas la périodicité.
Intersections et signe : où passe la courbe ?
Les zéros satisfont f(x) = 0, en gardant seulement les solutions dans D. L’intersection avec l’axe y est (0,f(0)), uniquement si 0 appartient au domaine.
Le signe demande où f(x) > 0 ou f(x) < 0. Zéros et points exclus découpent la droite en intervalles. Factoriser si nécessaire et construire un tableau de signes.
Pour f(x) = (x - 2)/(x + 1), D = ℝ ∖ {-1}, zéro 2 et f(0) = -2. Le signe est positif pour x < -1 et x > 2, négatif pour -1 < x < 2. Un facteur de multiplicité paire ne change pas de signe à son zéro : x² n’est pas négatif lorsque x est négatif.
Limites : que se passe-t-il en s’approchant ?
Une limite décrit f(x) lorsque x s’approche d’un point, pas nécessairement sa valeur au point. lim f(x) = L signifie que f(x) peut être rendue aussi proche de L que souhaité en prenant x suffisamment proche, dans le domaine et différent du point.
Étudier les frontières des intervalles du domaine et, s’il est non borné, x → +∞ et x → -∞. Une limite à gauche utilise des valeurs plus petites ; à droite, plus grandes. Une limite bilatérale ordinaire exige les deux côtés du domaine et le même résultat.
Pour 1/x, lim(x→0⁻) 1/x = -∞ et lim(x→0⁺) 1/x = +∞ : pas de limite bilatérale unique. Pour ln(x) en zéro, seul le côté droit est disponible, car x > 0.
0/0 et ∞/∞ sont des formes indéterminées, pas des résultats : il faut transformer l’expression. +∞ n’est pas un nombre à substituer.
Continuité, trous et raccords
f est continue en un point intérieur x₀ du domaine si la limite finie existe et égale sa valeur : lim(x→x₀) f(x) = f(x₀). Aux extrémités incluses, utiliser la limite du côté disponible.
Pour (x² - 1)/(x - 1), la limite en 1 vaut 2 mais f(1) n’existe pas. Il y a un trou en (1,2). Poser f(1) = 2 donne un prolongement continu : une fonction de domaine différent.
Pour une fonction définie par morceaux, comparer les limites des branches et la valeur au raccord. Deux limites latérales finies différentes donnent un saut. La continuité n’implique pas la dérivabilité : |x| est continue en zéro mais présente un point anguleux.
Asymptotes verticales, horizontales et obliques
Verticale : x = c si au moins une limite latérale en c vaut +∞ ou -∞. Un dénominateur nul ne suffit pas : il peut s’agir d’un trou.
Horizontale : y = L si lim(x→+∞) f(x) = L ou lim(x→-∞) f(x) = L, avec L fini. Étudier séparément les deux directions ; elles peuvent donner des droites différentes.
Oblique : y = mx + q, avec m fini non nul, si lim [f(x) - (mx + q)] = 0 dans la direction étudiée. Calculer m = lim f(x)/x, puis q = lim [f(x) - mx], et vérifier que les deux sont finis.
La courbe peut traverser une asymptote horizontale ou oblique : celle-ci décrit une distance à l’infini, pas un mur infranchissable.
Pour les rationnelles, comparer les degrés aide : numérateur de degré inférieur → y = 0 ; mêmes degrés → rapport des coefficients dominants ; différence de degré un → division polynomiale et asymptote oblique possible. Les exclusions finies restent à étudier séparément.
Première dérivée : comprendre la pente
La dérivée en x₀ est f′(x₀) = lim(h→0) [f(x₀+h)-f(x₀)]/h, si cette limite existe et est finie. Elle mesure la pente de la tangente, pas la hauteur de la courbe.
Règles : (xⁿ)′ = nx^(n-1), (uv)′ = u′v + uv′, (u/v)′ = (u′v - uv′)/v², (g(u))′ = g′(u)u′. Aussi (sin x)′ = cos x, (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x sur leurs domaines respectifs.
Pour f(x) = (x - 1)² - 4, f′(x) = 2(x - 1) : la tangente descend à gauche de 1 et monte à droite. f et f′ sont différentes ; f′(x) > 0 ne signifie pas f(x) > 0.
Croissance, décroissance, maxima et minima
Sur un intervalle de dérivabilité, f′ positive implique croissance et f′ négative décroissance. Frontières et points où la dérivée n’existe pas divisent l’étude en intervalles : ne pas franchir un trou comme s’il n’existait pas.
Pour chercher les extrema, considérer f′(x) = 0, les points non dérivables du domaine et les extrémités incluses. Si f′ passe de positive à négative, il y a un maximum local ; de négative à positive, un minimum local.
f′ = 0 ne suffit pas : x³ continue de croître malgré sa dérivée nulle en zéro. |x| a un minimum en zéro sans dérivée. √(x+2) a un minimum absolu au bord x = -2, où la condition de stationnarité intérieure ne s’applique pas.
Un maximum local compare les valeurs voisines ; un maximum absolu compare tout le domaine. Pour les extrema globaux, vérifier aussi frontières et limites.
Seconde dérivée et inflexions : rechercher un changement
f″ décrit la variation de la pente. Sur un intervalle, f″ > 0 indique convexité ou courbure vers le haut ; f″ < 0, courbure vers le bas. La terminologie varie : nous précisons toujours le sens haut/bas.
Un point d’inflexion exige un véritable changement de concavité en un point de la courbe. Les points où f″ est nulle ou non définie sont des candidats, pas des réponses automatiques. Pour x⁴, f″ = 12x² s’annule en zéro mais est positive des deux côtés : pas d’inflexion. Pour x³, f″ = 6x change de signe : inflexion en zéro.
Un changement de signe à travers un point exclu ne donne pas une inflexion, puisque ce point manque. Une inflexion n’a pas forcément une tangente horizontale ; une tangente verticale est aussi possible.
Étude résolue : f(x) = x³ - 3x
Domaine ℝ ; fonction impaire. Les zéros satisfont x(x² - 3) = 0, donc -√3, 0, √3. Signe négatif sur (-∞,-√3), positif sur (-√3,0), négatif sur (0,√3), positif sur (√3,+∞). À gauche, limite -∞ ; à droite, +∞. Aucune asymptote rectiligne.
f′ = 3x² - 3 = 3(x-1)(x+1) est positive si |x| > 1 et négative si |x| < 1. En x = -1, passage de + à - : maximum local (-1,2). En x = 1, passage de - à + : minimum local (1,-2).
f″ = 6x : courbure vers le bas pour x < 0, vers le haut pour x > 0. Inflexion (0,0), de pente f′(0) = -3. La tangente est y = -3x, pas horizontale. Réunir ces informations en respectant la symétrie centrale.
Étude résolue : f(x) = (x² + 1)/(x - 1)
Domaine ℝ ∖ {1}. Le numérateur est toujours positif : aucun zéro ; f(0) = -1. Signe négatif si x < 1, positif si x > 1.
La division donne f(x) = x + 1 + 2/(x - 1). En 1, limite gauche -∞ et droite +∞ : asymptote verticale x = 1. Comme 2/(x - 1) → 0 pour x → ±∞, l’asymptote oblique est y = x + 1.
f′ = 1 - 2/(x - 1)². Résoudre f′=0 donne (x - 1)² = 2, soit x = 1 ± √2. f′ est positive sur (-∞,1-√2) et (1+√2,+∞), négative sur (1-√2,1) et (1,1+√2). Maximum local (1-√2, 2-2√2) ; minimum local (1+√2, 2+2√2).
f″ = 4/(x - 1)³ : courbure vers le bas à gauche de 1, vers le haut à droite. Pas d’inflexion en x = 1, hors du domaine. Les deux branches doivent rester séparées.
D’autres exemples pour distinguer les notions
ln(x): domaine x > 0, zéro 1, asymptote verticale x=0 à droite, croissance et courbure vers le bas.√(x+2): domaine [-2,+∞), point initial (-2,0), minimum au bord et tangente verticale droite.exp(-x²): toujours positive, maximum (0,1), asymptote y=0 des deux côtés, inflexions enx = ±1/√2.sin(x): aucune limite à ±∞, période 2π ; les points caractéristiques se répètent.|x|: minimum et point anguleux en zéro ; fonction convexe malgré f″ nulle sur les segments et non définie en zéro.
Étude de fonction : laboratoire graphique interactif
Passer au dessin et à la tangente
Placer axes et points exclus, puis zéros, intersection avec y et asymptotes. Positionner extrema et inflexions ; tracer les branches selon signe, variations et concavité. Ajouter ensuite d’autres points de contrôle. Ne jamais relier deux branches à travers une valeur exclue.
Si f est dérivable en x₀, la tangente est y = f(x₀) + f′(x₀)(x - x₀). f(x₀) est la hauteur ; f′(x₀), la pente. Cette formule à pente finie ne décrit pas une tangente verticale.
Changer la fenêtre modifie l’impression visuelle. Une courbe apparemment plate peut continuer à croître et deux points proches sembler confondus.
Utiliser le laboratoire
Choisir un des douze exemples guidés ou saisir une fonction. Polynômes, fractions, racines, exponentielles, logarithmes, trigonométrie et valeur absolue sont disponibles. Les angles sont en radians ; log et ln désignent le logarithme naturel, log10 celui de base 10. Écrire cbrt(x) pour la racine cubique.
Huit phases associent graphique et explication. Activer f, f′, f″, zéros, extrema, inflexions, asymptotes et tangente. Zoomer, déplacer le plan et cliquer une abscisse pour lire les valeurs. Le tableau fournit des données sans manipuler le dessin.
Dans a(x-h)²+k, a contrôle sens et ouverture, h le déplacement horizontal, k le déplacement vertical. Avec a=0, il s’agit d’une constante, pas d’une parabole. L’exemple guidé actualise aussi cette distinction.
Ce que le laboratoire démontre et ce qu’il ne démontre pas
Les exemples guidés possèdent des propriétés analytiques préparées et des formules exactes ; les coordonnées affichées sont numériques. En saisie libre, les conditions conservent les restrictions initiales et les dérivées utilisent des règles symboliques. Une formule de dérivée non évaluable ne prouve pas à elle seule une non-dérivabilité : une simplification ou une étude séparée peut être nécessaire.
Zéros, extrema, inflexions, signes et asymptotes candidates en saisie libre sont des recherches numériques dans la fenêtre choisie. Elles peuvent manquer des zéros tangents, détails rapprochés et oscillations rapides. Des échantillons lointains ou proches d’une frontière ne prouvent pas une limite. Un échec numérique peut venir du domaine ou d’un nombre trop grand ou trop petit.
Les puissances à exposant variable signifient u^v = exp(v ln u) et exigent u > 0. Les limites de longueur, complexité et fenêtre préservent la réactivité. Ce n’est pas un système complet de démonstration automatique ; le raisonnement de l’article reste nécessaire.
Exercices : essayer avant d’ouvrir la solution
1. x^2-4
Trouver domaine, zéros et extremum.
Afficher la solution expliquée
D=ℝ. Zéros ±2. f′=2x est négative à gauche de zéro et positive à droite : minimum absolu (0,-4). f″=2, courbure vers le haut, aucune inflexion.
2. (x^2-4)/(x-2)
x=2 est-il une asymptote verticale ?
Afficher la solution expliquée
Non. D=ℝ ∖ {2}; f(x)=x+2 seulement pour x≠2. La limite en 2 vaut 4 : trou (2,4). Le seul zéro est -2, pas +2.
3. x^3
La dérivée nulle en zéro indique-t-elle un extremum ?
Afficher la solution expliquée
Non. f′=3x² est positive des deux côtés. f″=6x change de signe : inflexion stationnaire (0,0), tangente y=0.
4. x^4
f″(0)=0 : y a-t-il une inflexion ?
Afficher la solution expliquée
Non. f″=12x² est positive des deux côtés. Il existe un minimum absolu en (0,0).
5. ln(x-1)
Trouver domaine, zéro et asymptote verticale.
Afficher la solution expliquée
D=(1,+∞). ln(x-1)=0 donne x-1=1, donc x=2. La limite en x→1⁺ vaut -∞ : asymptote x=1. f′=1/(x-1)>0.
6. sqrt(4-x^2)
Comparer points intérieurs et bords du domaine.
Afficher la solution expliquée
D=[-2,2], zéros ±2. À l’intérieur, f′=-x/√(4-x²) : croissance jusqu’à 0 puis décroissance. Maximum absolu (0,2), minima absolus aux bords (±2,0). f″=-4/(4-x²)^(3/2)<0 : aucune inflexion.
7. x+1/x
Trouver asymptotes et extrema locaux.
Afficher la solution expliquée
D=ℝ ∖ {0}; asymptotes x=0 et y=x. f′=1-1/x² : maximum local (-1,-2), minimum local (1,2). Ils ne sont pas absolus sur tout le domaine.
8. exp(x)
Dans quelle direction y=0 est-elle asymptote ?
Afficher la solution expliquée
Seulement pour x→-∞. Pour x→+∞, la fonction diverge vers +∞. Elle est positive, croissante et convexe, sans zéro ni extremum.