Avec les dérivées, nous partions d’une fonction pour trouver son taux de variation. Nous parcourons maintenant le chemin inverse : étant donnée f, cherchons F dont la dérivée est f. Le résultat est généralement une famille, non une seule fonction. Ce chapitre traite des intégrales indéfinies ; les aires et les intégrales définies constituent une étape distincte.
Que signifie chercher une primitive ?
F est une primitive de f sur un intervalle I si elle est dérivable en tout point de I et si F′(x)=f(x) sur I. Par exemple, x³/3 est une primitive de x² car (x³/3)′=x².
∫f(x) dx = F₀(x)+C, sur un intervalle où F₀′=f.
f est l’intégrande ; dx indique la variable d’intégration. On ne multiplie pas une fonction par un mystérieux nombre dx : cette notation désigne une opération et sa variable.
Pourquoi +C est nécessaire et décrit toutes les primitives sur un intervalle
x³/3, x³/3+2 et x³/3-7 ont la même dérivée x², car la dérivée d’une constante est nulle. Une seule primitive n’est donc pas la réponse complète.
Si F et G sont deux primitives de f sur I, (F-G)′=0. D’après le théorème des accroissements finis, une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante : F-G=C. Cela justifie toute la famille F₀+C, pas seulement quelques exemples.
C est une constante réelle arbitraire. Ce n’est pas x et on ne la dérive pas comme une fonction variable.
Le domaine compte : ln|x| et constantes indépendantes
∫1/x dx=ln|x|+C sur chaque intervalle ne traversant pas zéro. Pour x>0, ln|x|=ln x ; pour x<0, ln|x|=ln(-x), dont la dérivée est (1/(-x))·(-1)=1/x.
ℝ∖{0} possède deux composantes. La famille générale sur tout le domaine utilise ln(-x)+C₋ pour x<0 et ln x+C₊ pour x>0, avec des constantes indépendantes. Une seule constante commune ne décrit qu’une partie des possibilités sur cette réunion.
Le laboratoire permet de choisir une branche : modifier C sur un intervalle n’impose pas sa valeur ailleurs. Aucune courbe continue inventée ne traverse un point exclu.
Indéfinie et définie : deux objets différents
∫f(x) dx désigne une famille de fonctions. ∫ₐᵇ f(x) dx, lorsqu’elle est définie, est un nombre associé à un intervalle ; le lien par le théorème fondamental nécessite ses hypothèses.
Ici, nous ne calculons pas une aire entre deux bornes : nous trouvons F₀ et contrôlons sa dérivée. Même si les formules sont liées, leurs résultats sont de types différents : une fonction avec +C ou un nombre.
Lire la table des dérivées à l’envers
| Intégrande | Une primitive F₀ | Conditions |
|---|---|---|
| k | kx | k constante |
| xⁿ | x^(n+1)/(n+1) | n≠-1 ; domaine approprié |
| 1/x | ln|x| | x≠0, sur un intervalle |
| 1/√x | 2√x | x>0 |
| eˣ | eˣ | ℝ |
| bˣ | bˣ/ln b | b>0, b≠1 |
| sin x | -cos x | Radians |
| cos x | sin x | Radians |
| 1/cos²x | tan x | Intervalles sans zéro de cos x |
| 1/(1+x²) | arctan x | ℝ |
| 1/√(1-x²) | arcsin x | -1<x<1 |
Ajouter C à chaque primitive du tableau. Pour les puissances réelles, la formule est assurée sur x>0 ; tout domaine plus large doit être vérifié. L’exception n=-1 est essentielle : on ne divise pas par n+1=0.
Linéarité : sommes et facteurs constants
On intègre les sommes terme à terme et on sort les facteurs constants : ∫(af+bg) dx=a∫f dx+b∫g dx, en interprétant les constantes arbitraires dans la famille finale.
∫(3x²-4x+2) dx=3·x³/3-4·x²/2+2x+C=x³-2x²+2x+C. La dérivation redonne 3x²-4x+2.
Aucune règle analogue ne transforme l’intégrale d’un produit en produit d’intégrales, ni un quotient en quotient de primitives.
Reconnaître la chaîne à l’envers et les facteurs manquants
Pour a≠0, ∫e^(ax+b) dx=e^(ax+b)/a+C, car dériver l’exponentielle fait apparaître a. De même ∫cos(ax+b) dx=sin(ax+b)/a+C.
Exemple : ∫e^(2x+1) dx=(1/2)e^(2x+1)+C. Recopier e^(2x+1) ne suffit pas : sa dérivée serait le double de l’intégrande. Si a=0, l’intégrande est constante et se traite séparément.
Changement de variable : une transformation cohérente
Si l’on reconnaît g(u(x))u′(x), on pose u=u(x). La notation du=u′(x) dx résume le changement de variable justifié par la règle de la chaîne, et non une simplification arbitraire de symboles.
Pour ∫2x(x²+1)³ dx, choisir u=x²+1, donc du=2x dx. On obtient ∫u³ du=u⁴/4+C, puis on revient à x :
F(x)=(x²+1)⁴/4+C
Contrôle : F′=(1/4)·4(x²+1)³·2x=2x(x²+1)³. Tous les facteurs et la variable finale doivent être cohérents.
La structure u′/u et la valeur absolue
Sur les intervalles où u est dérivable et ne s’annule pas, ∫u′(x)/u(x) dx=ln|u(x)|+C. La valeur absolue autorise aussi u négative, mais pas u=0.
Pour ∫2x/(x²+1) dx, u=x²+1 est toujours positive : F₀=ln(x²+1) et F₀′=2x/(x²+1). Pour ∫1/(x-2) dx, il faut ln|x-2|+C, séparément sur les deux intervalles.
Intégration par parties : inverser la règle du produit
À partir de (uv)′=u′v+uv′, on obtient :
∫u dv = uv - ∫v du
Pour ∫x eˣ dx, choisir u=x et dv=eˣdx ; alors du=dx et v=eˣ. Il vient x eˣ-∫eˣ dx=(x-1)eˣ+C. La dérivée est eˣ+(x-1)eˣ=x eˣ.
Pour ∫ln x dx, avec x>0, écrire ln x·1 : u=ln x, dv=dx, v=x. Ainsi x ln x-∫1 dx=x ln x-x+C.
Répéter les parties et choisir les termes
Choisir u pour que sa dérivée soit plus simple et dv pour pouvoir l’intégrer. Ce conseil n’est pas infaillible : vérifier que la nouvelle intégrale est effectivement plus simple.
∫x²eˣ dx=x²eˣ-2∫x eˣ dx=eˣ(x²-2x+2)+C. Les parties répétées diminuent le degré du polynôme. La règle du produit confirme la dérivée x²eˣ.
Pour ∫x cos x dx, u=x et dv=cos x dx donnent x sin x+cos x+C. Le signe final est positif car ∫sin x dx=-cos x.
Fonctions rationnelles : division et éléments simples
Si le degré du numérateur atteint celui du dénominateur, commencer par la division. Par exemple x²/(x-1)=x+1+1/(x-1), donc une primitive est x²/2+x+ln|x-1|, pour x≠1.
Pour 1/(x²-1), poser A/(x-1)+B/(x+1). En réunissant : 1=(A+B)x+(A-B) ; donc A+B=0, A-B=1, d’où A=1/2 et B=-1/2.
F₀=(1/2)ln|x-1|-(1/2)ln|x+1|=(1/2)ln|(x-1)/(x+1)|. On travaille sur chacun des trois intervalles séparés par -1 et 1, avec des constantes indépendantes.
Transformer d’abord : une identité peut simplifier
Une intégrale trigonométrique n’est pas toujours usuelle sous sa forme initiale. Utiliser sin²x=(1-cos 2x)/2 :
∫sin²x dx=x/2-sin(2x)/4+C. Le facteur 1/4 tient compte du demi initial et de la dérivée de 2x. En dérivant : 1/2-(1/2)cos 2x=sin²x.
Le choix entre identité, substitution et parties dépend de la structure ; la présence d’un sinus ne suffit pas pour décider automatiquement.
Racines et substitutions : conserver le domaine
Pour ∫x/√(1+x²) dx, poser u=1+x² et du=2x dx. Alors (1/2)∫u^(-1/2) du=√u+C, donc F₀=√(1+x²).
1+x² est toujours positif : le domaine est ici ℝ. En revanche, 1/√x exige x>0, zéro étant exclu du dénominateur. Le seul symbole de racine ne détermine pas l’intervalle.
Une condition initiale choisit une seule primitive
Si F′(x)=x², alors F(x)=x³/3+C. Imposer F(1)=2 donne 1/3+C=2, donc C=5/3.
En général, pour F=F₀+C et F(x₀)=y₀ :
C = y₀-F₀(x₀)
Le point doit appartenir à l’intervalle de la primitive. Sur un domaine à composantes séparées, une condition sur une composante ne détermine pas les autres constantes.
Existence et formule élémentaire sont deux questions distinctes
Toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives. Cela ne garantit pas une formule constituée d’un nombre fini de polynômes, racines, exponentielles, logarithmes et fonctions trigonométriques.
e^(-x²) est continue sur ℝ et possède des primitives, mais aucune n’est élémentaire. On peut employer des fonctions spéciales ou d’autres outils. L’échec d’une méthode scolaire ou d’un logiciel ne prouve pas l’absence de primitive.
La continuité est suffisante, non nécessaire. Inversement, une fonction présentant un saut ne peut pas être une dérivée sur un intervalle contenant ce saut : les dérivées possèdent la propriété des valeurs intermédiaires.
Le contrôle final : dériver sur le bon domaine
Une fois F₀ proposée, calculer F₀′, simplifier et vérifier F₀′=f sur tout l’intervalle annoncé. Contrôler coefficients, signes, facteurs internes et exclusions. C’est le critère décisif.
Pour ∫cos(3x) dx, sin(3x) est incorrecte : sa dérivée est 3cos(3x). La proposition sin(3x)/3 est correcte. Ajouter C ne répare pas une dérivée incorrecte.
Quelques valeurs numériques peuvent révéler des erreurs ou suggérer une compatibilité, mais ne démontrent pas une identité générale. Même des formules équivalentes peuvent se comporter différemment numériquement près de points difficiles.
Une stratégie de choix et les erreurs à éviter
- Identifier le domaine et l’intervalle recherché.
- Simplifier et séparer les sommes sans supprimer les exclusions.
- Comparer aux intégrales usuelles et chercher une chaîne à l’envers.
- Essayer une substitution cohérente ; envisager les parties pour un produit adapté.
- Pour les rationnelles, considérer division et éléments simples ; pour la trigonométrie, les identités.
- Revenir à la variable d’origine et ajouter C.
- Dériver le résultat et comparer à l’intégrande.
Erreurs fréquentes : oublier C, appliquer la puissance à n=-1, perdre un facteur de substitution, se tromper de signe dans les parties, imposer une constante commune aux composantes indépendantes.
Le laboratoire : famille, méthodes et vérification
Choisir parmi vingt exemples pour lire la méthode et les étapes. Déplacer C : les primitives se translatent verticalement, tandis que F₀′ reste superposée à f. En présence de plusieurs composantes, choisir un intervalle et sa constante indépendante.
On peut imposer le passage par (x₀,y₀), ou proposer librement f et F₀. La suggestion automatique reconnaît les cas préparés et intègre les polynômes à coefficients rationnels de degré au plus 8 ; ce n’est pas un intégrateur symbolique général. La vérification libre est numérique et n’est pas une démonstration.
Saisir F₀ sans +C : le curseur gère la constante. Employer x, les radians et le point décimal. Les limites de syntaxe, de fenêtre et de complexité encadrent le calcul.
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Seize exercices : essayer avant de révéler la solution
1. x^4
Trouver la famille des primitives.
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La règle des puissances donne x⁵/5+C. La dérivée est x⁴ ; le domaine est ℝ.
2. 6*x^2-4*x+3
Utiliser la linéarité.
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Intégrer terme à terme : 2x³-2x²+3x+C. La dérivée est 6x²-4x+3.
3. 1/x
Pourquoi ln x ne suffit-elle pas pour x<0 ?
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ln x n’est pas réelle pour x<0. ln|x| a pour dérivée 1/x pour x≠0 ; utiliser des constantes indépendantes sur (-∞,0) et (0,+∞).
4. 1/sqrt(x)
Donner la formule et le domaine.
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x^(-1/2) s’intègre en 2√x+C sur x>0. L’intégrande exclut zéro.
5. exp(3*x)
Corriger le facteur de chaîne.
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Une primitive est e^(3x)/3. La dérivation multiplie par 3 et redonne e^(3x) ; ajouter C.
6. cos(2*x)
Trouver et vérifier une primitive.
Afficher la solution expliquée
sin(2x)/2+C ; la chaîne introduit 2 et donne cos(2x).
7. 2*x/(x^2+4)
Reconnaître u′/u.
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u=x²+4>0, du=2x dx. Une primitive est ln(x²+4) sur ℝ. Ajouter C.
8. 3*x^2*exp(x^3)
Changer de variable.
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u=x³ et du=3x² dx donnent ∫e^u du. Le résultat est e^(x³)+C ; vérifier par la chaîne.
9. x*exp(x)
Utiliser les parties.
10. ln(x)
Intégrer ln x comme produit par 1.
Afficher la solution expliquée
u=ln x, dv=dx : x ln x-∫1dx=x ln x-x+C sur x>0.
11. x*cos(x)
Vérifier le signe après les parties.
Afficher la solution expliquée
x sin x-∫sin x dx=x sin x+cos x+C. La dérivée est x cos x.
12. 1/(x^2-1)
Décomposer et indiquer les intervalles.
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1/[2(x-1)]-1/[2(x+1)] donne (1/2)ln|(x-1)/(x+1)|+C sur chaque composante de ℝ∖{-1,1}. Les trois constantes peuvent différer.
13. sin(x)^2
Utiliser une identité trigonométrique.
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sin²x=(1-cos 2x)/2, donc x/2-sin(2x)/4+C. La dérivée redonne sin²x.
14. x/sqrt(1+x^2)
Gérer la racine et le facteur 2.
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u=1+x² et du=2x dx donnent √(1+x²)+C. La dérivée est x/√(1+x²) sur ℝ.
15. x^2
Si F′=x² et F(1)=2, trouver C.
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F=x³/3+C ; 1/3+C=2, donc C=5/3 et F=x³/3+5/3.
16. x^2*exp(x)
Répéter l’intégration par parties.
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∫x²eˣdx=x²eˣ-2∫x eˣdx=eˣ(x²-2x+2)+C. Le contrôle par le produit annule les termes supplémentaires.