Con las derivadas partíamos de una función para encontrar su tasa de variación. Ahora recorremos el camino inverso: dada f, buscamos F cuya derivada sea f. El resultado suele ser una familia, no una sola función. Aquí estudiamos integrales indefinidas; las áreas y las integrales definidas serán un paso distinto.
¿Qué significa buscar una primitiva?
F es una primitiva de f en un intervalo I si es derivable en todos sus puntos y F′(x)=f(x) en I. Por ejemplo, x³/3 es una primitiva de x² porque (x³/3)′=x².
∫f(x) dx = F₀(x)+C, en un intervalo donde F₀′=f.
f es el integrando; dx indica la variable de integración. No multiplicamos una función por un misterioso número dx: la notación identifica una operación y su variable.
Por qué hace falta +C y describe todas las primitivas en un intervalo
x³/3, x³/3+2 y x³/3-7 tienen la misma derivada x² porque la derivada de una constante es cero. Una sola primitiva no es toda la respuesta.
Si F y G son primitivas de la misma f en I, (F-G)′=0. Por el teorema del valor medio, una función con derivada cero en un intervalo es constante: F-G=C. Así se justifica toda la familia F₀+C, no solo unos ejemplos.
C es una constante real arbitraria. No es x y no se deriva como una función variable.
El dominio importa: ln|x| y constantes independientes
∫1/x dx=ln|x|+C en cada intervalo que no cruce cero. Para x>0, ln|x|=ln x; para x<0, ln|x|=ln(-x), cuya derivada es (1/(-x))·(-1)=1/x.
ℝ∖{0} tiene dos componentes. La familia general en todo el dominio usa ln(-x)+C₋ para x<0 y ln x+C₊ para x>0, con constantes independientes. Una única C compartida solo describe parte de las posibilidades en la unión.
En el laboratorio se elige la rama: cambiar C en un intervalo no obliga a usarla en los demás. No se dibuja una curva continua inventada atravesando un punto excluido.
Indefinida y definida: objetos diferentes
∫f(x) dx indica una familia de funciones. ∫ₐᵇ f(x) dx, cuando está definida, es un número asociado a un intervalo; el vínculo mediante el teorema fundamental exige sus hipótesis.
Aquí no calculamos un área entre extremos: buscamos F₀ y comprobamos su derivada. Aunque las fórmulas estén relacionadas, no hay que confundir el tipo de resultado: función con +C o número.
Leer al revés la tabla de derivadas
| Integrando | Una primitiva F₀ | Condiciones |
|---|---|---|
| k | kx | k constante |
| xⁿ | x^(n+1)/(n+1) | n≠-1; dominio adecuado |
| 1/x | ln|x| | x≠0, en un intervalo |
| 1/√x | 2√x | x>0 |
| eˣ | eˣ | ℝ |
| bˣ | bˣ/ln b | b>0, b≠1 |
| sin x | -cos x | Radianes |
| cos x | sin x | Radianes |
| 1/cos²x | tan x | Intervalos sin ceros de cos x |
| 1/(1+x²) | arctan x | ℝ |
| 1/√(1-x²) | arcsin x | -1<x<1 |
Añadir C a cada primitiva de la tabla. Para potencias reales la fórmula vale con seguridad en x>0; cualquier dominio mayor debe comprobarse. La excepción n=-1 es esencial: no se puede dividir por n+1=0.
Linealidad: sumas y factores constantes
Las sumas se integran término a término y los factores constantes salen fuera: ∫(af+bg) dx=a∫f dx+b∫g dx, interpretando las constantes arbitrarias en la familia final.
∫(3x²-4x+2) dx=3·x³/3-4·x²/2+2x+C=x³-2x²+2x+C. Al derivar recuperamos 3x²-4x+2.
No hay una regla análoga que convierta la integral de un producto en el producto de integrales, ni un cociente en el cociente de primitivas.
Reconocer la cadena al revés y los factores que faltan
Para a≠0, ∫e^(ax+b) dx=e^(ax+b)/a+C, porque al derivar aparece a. Análogamente ∫cos(ax+b) dx=sin(ax+b)/a+C.
Ejemplo: ∫e^(2x+1) dx=(1/2)e^(2x+1)+C. No basta copiar e^(2x+1): su derivada sería el doble del integrando. Si a=0, el integrando es constante y se trata por separado.
Sustitución: un cambio de variable coherente
Si reconoces g(u(x))u′(x), toma u=u(x). La escritura du=u′(x) dx resume el cambio de variable justificado por la regla de la cadena; no es una cancelación arbitraria de símbolos.
En ∫2x(x²+1)³ dx, elige u=x²+1, luego du=2x dx. Resulta ∫u³ du=u⁴/4+C; volvemos a x:
F(x)=(x²+1)⁴/4+C
Comprobación: F′=(1/4)·4(x²+1)³·2x=2x(x²+1)³. Todos los factores y la variable final deben ser coherentes.
La estructura u′/u y el valor absoluto
En intervalos donde u sea derivable y no se anule, ∫u′(x)/u(x) dx=ln|u(x)|+C. El valor absoluto admite u negativa, pero no u=0.
Para ∫2x/(x²+1) dx, u=x²+1 es siempre positiva: F₀=ln(x²+1) y F₀′=2x/(x²+1). Para ∫1/(x-2) dx, hace falta ln|x-2|+C, por separado en los dos intervalos.
Integración por partes: invertir la regla del producto
De (uv)′=u′v+uv′ obtenemos:
∫u dv = uv - ∫v du
Para ∫x eˣ dx, elige u=x y dv=eˣdx; entonces du=dx y v=eˣ. Resulta x eˣ-∫eˣ dx=(x-1)eˣ+C. Su derivada es eˣ+(x-1)eˣ=x eˣ.
Para ∫ln x dx, con x>0, escribe ln x·1: u=ln x, dv=dx y v=x. Se obtiene x ln x-∫1 dx=x ln x-x+C.
Cuándo repetir las partes y cómo elegir
Conviene elegir u para que al derivarla se simplifique, y dv para poder integrarla. No es una regla infalible: comprueba que la nueva integral sea realmente más sencilla.
∫x²eˣ dx=x²eˣ-2∫x eˣ dx=eˣ(x²-2x+2)+C. Repetir las partes reduce el grado del polinomio. La regla del producto confirma la derivada x²eˣ.
Para ∫x cos x dx, u=x y dv=cos x dx dan x sin x+cos x+C. El signo final es positivo porque ∫sin x dx=-cos x.
Funciones racionales: división y fracciones simples
Si el grado del numerador es al menos el del denominador, empieza dividiendo. Por ejemplo x²/(x-1)=x+1+1/(x-1), de modo que una primitiva es x²/2+x+ln|x-1|, para x≠1.
Para 1/(x²-1), escribe A/(x-1)+B/(x+1). Al reunir: 1=(A+B)x+(A-B); por tanto A+B=0 y A-B=1, luego A=1/2, B=-1/2.
F₀=(1/2)ln|x-1|-(1/2)ln|x+1|=(1/2)ln|(x-1)/(x+1)|. Trabajamos en cada uno de los tres intervalos separados por -1 y 1, con constantes independientes.
Transformar primero: una identidad puede simplificar
No toda integral trigonométrica es inmediata en su forma inicial. Usa sin²x=(1-cos 2x)/2:
∫sin²x dx=x/2-sin(2x)/4+C. El factor 1/4 incorpora tanto el medio inicial como la derivada de 2x. Derivando: 1/2-(1/2)cos 2x=sin²x.
La elección entre identidades, sustitución y partes depende de la estructura; la presencia de un seno no determina automáticamente el método.
Raíces y sustituciones: no perder el dominio
Para ∫x/√(1+x²) dx, toma u=1+x² y du=2x dx. Resulta (1/2)∫u^(-1/2) du=√u+C, por tanto F₀=√(1+x²).
1+x² siempre es positivo: aquí el dominio es ℝ. En cambio, 1/√x exige x>0; cero queda excluido por el denominador. El símbolo de raíz, por sí solo, no decide el intervalo.
Una condición inicial elige una única primitiva
Si F′(x)=x², entonces F(x)=x³/3+C. Pedir F(1)=2 da 1/3+C=2, luego C=5/3.
En general, para F=F₀+C y F(x₀)=y₀:
C = y₀-F₀(x₀)
El punto debe pertenecer al intervalo de la primitiva. Si hay componentes separadas, una condición en una componente no determina las constantes de las demás.
Existencia y fórmula elemental son cuestiones distintas
Toda función continua en un intervalo admite primitivas en él. Esto no garantiza una fórmula formada por un número finito de polinomios, raíces, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas.
e^(-x²) es continua en ℝ y tiene primitivas, pero ninguna elemental. Pueden usarse funciones especiales u otras herramientas. Que un método escolar o un programa no encuentre una fórmula no demuestra que no exista una primitiva.
La continuidad es suficiente, no necesaria. En cambio, una función con un salto no puede ser una derivada en un intervalo que contenga ese salto: las derivadas tienen la propiedad del valor intermedio.
La comprobación final: derivar en el dominio correcto
Propuesta F₀, calcula F₀′, simplifica y verifica F₀′=f en todo el intervalo declarado. Revisa coeficientes, signos, factores interiores y exclusiones. Este es el criterio decisivo.
Para ∫cos(3x) dx, sin(3x) es incorrecta: su derivada es 3cos(3x). La propuesta sin(3x)/3 es correcta. Sumar C no arregla una derivada equivocada.
Algunos valores numéricos pueden detectar errores o sugerir compatibilidad, pero no demuestran una identidad general. Incluso fórmulas equivalentes pueden comportarse de modo distinto numéricamente cerca de puntos difíciles.
Una estrategia para elegir y errores que evitar
- Identifica el dominio y el intervalo donde buscas una primitiva.
- Simplifica y separa sumas sin borrar exclusiones.
- Compara con integrales inmediatas y busca una cadena al revés.
- Prueba una sustitución coherente; considera partes para un producto apropiado.
- En racionales, considera división y fracciones simples; en trigonometría, identidades.
- Vuelve a la variable original y añade C.
- Deriva y compara con el integrando.
Errores frecuentes: olvidar C, aplicar la potencia a n=-1, omitir un factor de sustitución, equivocarse de signo en partes o imponer la misma constante a componentes independientes.
El laboratorio: familia, métodos y comprobación
Elige uno de veinte ejemplos para leer el método y los pasos. Mueve C: las primitivas se trasladan verticalmente y F₀′ sigue superpuesta a f. En dominios con varias componentes, elige un intervalo y su constante independiente.
Puedes imponer el paso por (x₀,y₀) o proponer libremente f y F₀. La sugerencia automática reconoce los casos preparados e integra polinomios con coeficientes racionales de grado hasta 8; no es un integrador simbólico general. La comprobación libre es numérica y no se presenta como demostración.
Escribe F₀ sin +C: el deslizador gestiona la constante. Usa x, radianes y punto decimal. Los límites de sintaxis, ventana y complejidad mantienen controlado el cálculo.
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Dieciséis ejercicios: intenta antes de revelar la solución
1. x^4
Encuentra la familia de primitivas.
Mostrar la solución explicada
La regla de potencias da x⁵/5+C. La derivada devuelve x⁴; el dominio es ℝ.
2. 6*x^2-4*x+3
Usa linealidad.
Mostrar la solución explicada
Integra término a término: 2x³-2x²+3x+C. La derivada es 6x²-4x+3.
3. 1/x
¿Por qué no basta ln x para x<0?
Mostrar la solución explicada
ln x no es real para x<0. ln|x| tiene derivada 1/x para x≠0; usa constantes independientes en (-∞,0) y (0,+∞).
4. 1/sqrt(x)
Indica fórmula y dominio.
Mostrar la solución explicada
x^(-1/2) se integra en 2√x+C en x>0. El integrando excluye cero.
5. exp(3*x)
Corrige el factor de la cadena.
Mostrar la solución explicada
Una primitiva es e^(3x)/3. La derivación multiplica por 3 y devuelve e^(3x); añade C.
6. cos(2*x)
Encuentra y comprueba una primitiva.
Mostrar la solución explicada
sin(2x)/2+C; al derivar, la cadena introduce 2 y se obtiene cos(2x).
7. 2*x/(x^2+4)
Reconoce u′/u.
Mostrar la solución explicada
u=x²+4>0, du=2x dx. Una primitiva es ln(x²+4) en ℝ. Añade C.
8. 3*x^2*exp(x^3)
Haz una sustitución.
Mostrar la solución explicada
u=x³ y du=3x² dx dan ∫e^u du. El resultado es e^(x³)+C; se verifica con la cadena.
9. x*exp(x)
Usa partes.
10. ln(x)
Integra ln x como producto por 1.
Mostrar la solución explicada
u=ln x, dv=dx: x ln x-∫1dx=x ln x-x+C en x>0.
11. x*cos(x)
Revisa el signo después de partes.
Mostrar la solución explicada
x sin x-∫sin x dx=x sin x+cos x+C. La derivada es x cos x.
12. 1/(x^2-1)
Descompón e indica los intervalos.
Mostrar la solución explicada
1/[2(x-1)]-1/[2(x+1)] lleva a (1/2)ln|(x-1)/(x+1)|+C en cada componente de ℝ∖{-1,1}. Las tres constantes pueden ser distintas.
13. sin(x)^2
Usa una identidad trigonométrica.
Mostrar la solución explicada
sin²x=(1-cos 2x)/2, luego x/2-sin(2x)/4+C. Al derivar vuelve sin²x.
14. x/sqrt(1+x^2)
Gestiona la raíz y el factor 2.
Mostrar la solución explicada
u=1+x² y du=2x dx dan √(1+x²)+C. La derivada es x/√(1+x²), en ℝ.
15. x^2
Si F′=x² y F(1)=2, encuentra C.
16. x^2*exp(x)
Repite la integración por partes.
Mostrar la solución explicada
∫x²eˣdx=x²eˣ-2∫x eˣdx=eˣ(x²-2x+2)+C. Al comprobar con el producto, los términos extra se cancelan.