Después de los límites abordamos una nueva pregunta: ¿a qué ritmo cambia una cantidad en un instante o punto concreto? La derivada nace de un límite, pero también se convierte en una función que estudiar. Construimos su significado antes de las reglas y conectamos cálculos, gráficas y aplicaciones.
¿Qué mide una derivada?
Si s(t) es una posición en metros y t un tiempo en segundos, [s(t+h)-s(t)]/h mide la velocidad media en el intervalo. Para obtener la velocidad instantánea hacemos tender h a cero. Si una función describe el coste en euros según la cantidad producida, su derivada mide euros por unidad de producto.
La derivada es una tasa de variación local: no es la altura de la gráfica. Una función puede ser positiva pero decreciente, por lo que su derivada es negativa. Las unidades son las de la salida divididas entre las de la entrada.
Cociente incremental y recta secante
Fijamos P=(a,f(a)) y un punto cercano Q=(a+h,f(a+h)), con h≠0. El incremento horizontal es h y el vertical f(a+h)-f(a). La pendiente de la secante PQ es:
Q(h) = [f(a+h)-f(a)]/h
h puede ser positivo o negativo. No cambies solo el signo del denominador: para h negativo cambia también a+h. El punto a y los puntos cercanos utilizados deben pertenecer al dominio.
La derivada es un límite, no una división entre cero
La derivada ordinaria en un punto interior a es el límite finito:
f′(a) = lim(h→0) [f(a+h)-f(a)]/h
Calculamos el cociente para h≠0 y después estudiamos el límite. Sustituir h=0 y obtener 0/0 no es un resultado. Para que exista la derivada, los límites izquierdo y derecho del cociente incremental deben coincidir y ser finitos.
f′(a) indica un número, mientras que f′(x) indica la función derivada. Las notaciones y′ y dy/dx expresan el mismo concepto; dy/dx no permite tratar siempre sus símbolos como una fracción ordinaria.
Un cálculo completo por definición: f(x)=x²
Tenemos f(a+h)=(a+h)²=a²+2ah+h² y f(a)=a². Por tanto:
Q(h)=[a²+2ah+h²-a²]/h=(2ah+h²)/h=2a+h, para h≠0.
Haciendo h→0 obtenemos f′(a)=2a, es decir, f′(x)=2x. En a=1 la derivada vale 2; para h=0,1 el cociente es 2,1 y para h=-0,1 es 1,9. Ambos se acercan a 2 desde lados opuestos.
Para una constante c, el numerador c-c es 0 y la derivada es 0. Para una recta mx+q, el cociente incremental siempre vale m, por lo que su derivada es m.
Ecuación de la tangente y aproximación local
Si f es derivable en a, la tangente pasa por (a,f(a)) con pendiente f′(a):
y = f(a) + f′(a)(x-a)
Para x² en a=1: y=1+2(x-1)=2x-1. La secante tiene pendiente Q(h), todavía dependiente de h. Una tangente puede atravesar la gráfica: no tiene por qué tocarla en un solo punto.
Para incrementos pequeños, f(a+h)≈f(a)+f′(a)h. Para √x en a=4: √(4,04)≈2+(1/4)·0,04=2,01. Es una aproximación, no una igualdad exacta; la derivabilidad solo garantiza un error pequeño comparado con h, no un error generalmente nulo.
Derivabilidad y continuidad: una sola implicación
Si f es derivable en a, es continua allí. Para h≠0, f(a+h)-f(a)=Q(h)·h; si Q(h) tiende a un número finito, el producto tiende a 0.
El recíproco es falso. |x| es continua en cero, pero sus cocientes incrementales son -1 por la izquierda y 1 por la derecha: no existe una derivada única. La continuidad es necesaria, no suficiente.
Si falta el punto, como x=1 en (x²-1)/(x-1), ni siquiera podemos formar el cociente con f(1). La función original no tiene derivada en ese punto, aunque fuera de él la derivada sea 1.
Puntos angulosos, cúspides, tangentes verticales y bordes
|x|en cero: dos pendientes laterales finitas y distintas, punto anguloso.|x|^(2/3)en cero: cocientes hacia -∞ por la izquierda y +∞ por la derecha, cúspide con semitangentes verticales; no hay derivada finita.cbrt(x)en cero: cocientes hacia +∞ por ambos lados, tangente vertical x=0 pero ninguna derivada ordinaria finita.√xen cero: el dominio solo permite el cociente derecho, que tiende a +∞. Es un comportamiento unilateral en el borde, no una derivada ordinaria bilateral.- Una función con salto no es continua en el punto: no puede ser derivable allí.
El cociente simétrico [f(a+h)-f(a-h)]/(2h) no sustituye la definición: para |x| en cero siempre vale 0, pero la derivada no existe.
Derivadas fundamentales y sus dominios
| Función | Derivada | Condiciones |
|---|---|---|
| c | 0 | c constante |
| xⁿ | nx^(n-1) | Para n entero positivo, en ℝ |
| x^α | αx^(α-1) | Para α real, al menos en x>0; otros casos requieren el dominio adecuado |
| 1/x | -1/x² | x≠0 |
| √x | 1/(2√x) | x>0 |
| eˣ | eˣ | ℝ |
| bˣ | bˣ ln b | b>0, b≠1 |
| ln x | 1/x | x>0 |
| log_b x | 1/(x ln b) | x>0, b>0, b≠1 |
| sin x | cos x | Radianes |
| cos x | -sin x | Radianes |
| tan x | 1/cos²x | cos x≠0, radianes |
La tabla no elimina las exclusiones de la función original. Por ejemplo, (ln|x|)′=1/x para x≠0, mientras que ln x no está definido para x negativos.
Sumas, diferencias y factores constantes
Donde las funciones sean derivables, (u+v)′=u′+v′, (u-v)′=u′-v′ y (cu)′=cu′, con c constante.
Ejemplo: f(x)=3x⁴-2x²+7x-5. Derivamos término a término: f′(x)=12x³-4x+7. El término -5 desaparece por ser constante; 7x da 7, no 0.
Simplifica antes cuando esté permitido: x·x=x². Conserva el dominio original al simplificar una fracción.
Productos y cocientes: no se deriva cada parte por separado
(uv)′=u′v+uv′, no u′v′. Para x sin x, f′=1·sin x+x·cos x.
(u/v)′=(u′v-uv′)/v², con v≠0. Para (x²+1)/(x-1):
f′=[2x(x-1)-(x²+1)]/(x-1)²=(x²-2x-1)/(x-1)²=1-2/(x-1)², para x≠1. Cuidado con el orden de la resta y el denominador al cuadrado.
Funciones compuestas: regla de la cadena
Para f(x)=g(u(x)), derivamos la exterior en el valor interior y multiplicamos por la derivada de la interior:
f′(x)=g′(u(x))·u′(x)
Para (3x+1)⁴: exterior u⁴ → 4u³; interior 3x+1 → 3. Por tanto, f′=4(3x+1)³·3=12(3x+1)³. Para sin(x²) obtenemos 2x cos(x²); para ln(x²+1), 2x/(x²+1).
La cadena se combina con productos y cocientes. Para x²e^(3x), f′=2xe^(3x)+3x²e^(3x). Omitir el factor interior es uno de los errores frecuentes.
Un paso más: derivación implícita y logarítmica
Si x²+y²=25 define localmente y como función derivable de x, también derivamos y mediante la cadena: 2x+2y·y′=0, por tanto y′=-x/y donde y≠0. En y=0 la fórmula no da una pendiente finita y hace falta un análisis separado.
Para y=x^x, con x>0, tomamos logaritmos: ln y=x ln x. Derivando: y′/y=ln x+1, luego y′=x^x(ln x+1). La regla de las potencias de exponente constante no basta cuando el exponente también depende de x.
Signo de la derivada, extremos y optimización
En un intervalo, f′>0 implica crecimiento y f′<0 decrecimiento. No unas intervalos separados por un punto excluido. Los puntos con f′=0 son candidatos, no máximos o mínimos automáticos: x³ crece al atravesar cero.
El cambio de + a - indica máximo local; de - a +, mínimo local. Comprueba también puntos no derivables y extremos incluidos. Para optimizar en un intervalo cerrado, compara todos los candidatos con los extremos.
Ejemplo: rectángulo de perímetro 20. Si un lado es x, el otro es 10-x; A(x)=x(10-x) para 0<x<10. A′=10-2x es positiva antes de 5 y negativa después. El área máxima es A(5)=25, alcanzada por el cuadrado 5×5.
Segunda derivada: cómo cambia la pendiente
La segunda derivada f″ es la derivada de f′. Donde f″>0 aumenta la pendiente, con concavidad hacia arriba; donde f″<0 disminuye, con concavidad hacia abajo. Para una posición s(t), s′ es velocidad y s″ aceleración: metros por segundo y metros por segundo al cuadrado.
Una inflexión requiere un cambio real de concavidad en un punto de la gráfica. x⁴ tiene f″=12x², nula en cero pero positiva a ambos lados: no hay inflexión. x³ tiene f″=6x, que cambia de signo: inflexión en cero.
El test f′(a)=0 y f″(a)>0 da un mínimo local; con f″(a)<0, un máximo, bajo las hipótesis habituales de regularidad. Si f″(a)=0, el test no concluye.
Rolle y Lagrange: conectar variación media e instantánea
Rolle: si f es continua en [u,v], derivable en (u,v) y f(u)=f(v), existe al menos un c interior con f′(c)=0. Para f(x)=x² en [-1,1], c=0.
Teorema del valor medio: con continuidad en [u,v] y derivabilidad en (u,v), existe c interior tal que f′(c)=[f(v)-f(u)]/(v-u). Una tangente es paralela a la secante de los extremos. Para x² en [0,2], la pendiente media es 2 y f′(1)=2.
Las hipótesis importan: |x| en [-1,1] tiene valores iguales en los extremos, pero no es derivable en cero y no tiene ningún punto con derivada cero. No se puede aplicar Rolle ignorando el punto anguloso.
Volver a los límites: l’Hôpital con prudencia
Para las formas 0/0 o ∞/∞, bajo las hipótesis del teorema, podemos estudiar el cociente de las derivadas. En una versión habitual, f y g son derivables en un entorno reducido del punto, g′≠0 y el límite de f′/g′ existe, finito o infinito. También deben cumplirse las demás condiciones del dominio y del cociente.
lim(x→0)(e^x-1)/x=lim(x→0)e^x/1=1, si la derivada de la exponencial ya se ha establecido independientemente. No se debe usar una regla para demostrar el límite del que se obtuvo esa misma regla.
No es la regla de derivación de un cociente: comparamos límites de cocientes, sin afirmar (f/g)′=f′/g′. Otras formas indeterminadas requieren antes una transformación; si basta una factorización sencilla, suele ser más clara.
Derivación simbólica y estimación numérica son distintas
Una fórmula de f′ procede de reglas y condiciones. Una diferencia finita utiliza un h pequeño pero no nulo: es una estimación. Si h es demasiado grande, el cociente sigue lejos de la derivada; si es demasiado pequeño, restar valores casi iguales hace perder cifras.
Los casos guiados usan cocientes equivalentes estables cuando es posible: para x², Q(h)=2a+h; para eˣ, Q(h)=e^a·expm1(h)/h. El significado matemático no cambia. La entrada libre evalúa la fórmula y advierte sobre las limitaciones del cálculo, sin certificar automáticamente la derivabilidad.
Que una fórmula derivada no se pueda evaluar no demuestra por sí solo que la función no sea derivable: puede requerir simplificación o un estudio separado del cociente incremental. Una gráfica también es un muestreo, no una demostración.
Cómo explorar el laboratorio
Elige uno de los diecisiete casos o introduce una función. El punto a se puede modificar incluso en casos guiados; el selector muestra h positivo, negativo o ambos. El control reduce |h| de 1 a 10⁻⁶. Iniciar, Pausa y Un paso muestran la convergencia de las secantes.
En la primera gráfica compara f, las secantes y la tangente cuando esté justificada; la segunda muestra f′ y, opcionalmente, f″. Activa el zoom cerca del punto y compara las tablas, incluido el cociente simétrico. Las explicaciones distinguen los casos no regulares.
Las definiciones guiadas a trozos están preconfiguradas. La entrada libre usa expresiones en x, radianes y decimales con punto. Las conclusiones generales se justifican razonando, no mediante unos pocos valores en pantalla.
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Dieciséis ejercicios: abrir la solución después del intento
1. x^2
Obtén la derivada en 2 por definición y la tangente.
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Q(h)=4+h→4. El punto es (2,4), así que y=4+4(x-2)=4x-4.
2. 3*x^4-2*x^2+7*x-5
Deriva término a término.
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f′=12x³-4x+7. En cero la pendiente es 7 y f(0)=-5: tangente y=-5+7x.
3. x*sin(x)
Aplica la regla del producto.
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f′=sin x+x cos x. En cero f′=0 y f=0: tangente horizontal y=0.
4. (x^2+1)/(x-1)
Deriva el cociente conservando el dominio.
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f′=[2x(x-1)-(x²+1)]/(x-1)²=1-2/(x-1)², x≠1. En cero f=-1 y f′=-1: y=-1-x.
5. (3*x+1)^4
Identifica función exterior e interior.
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Exterior u⁴, interior 3x+1: f′=4(3x+1)³·3=12(3x+1)³. En cero la pendiente es 12.
6. ln(x^2+1)
Usa la cadena para el logaritmo.
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El argumento siempre es positivo. f′=2x/(x²+1), que en 1 vale 1. La tangente es y=ln 2+(x-1).
7. sqrt(1+x^2)
Deriva la raíz compuesta.
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f′=[1/(2√(1+x²))]·2x=x/√(1+x²). En cero la pendiente es 0 y f=1: y=1.
8. x^2*exp(3*x)
Combina producto y cadena.
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f′=2xe^(3x)+3x²e^(3x)=e^(3x)(2x+3x²). En 1 vale 5e³.
9. abs(x)
¿Un cociente simétrico nulo demuestra derivabilidad?
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No. Los cocientes izquierdo y derecho son -1 y 1, por lo que la derivada no existe. El cociente simétrico es 0, pero no es el límite exigido por la definición.
10. cbrt(x)
Describe la pendiente en cero.
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Q(h)=cbrt(h)/h=1/|h|^(2/3)→+∞ por ambos lados. Tangente vertical x=0, ninguna derivada ordinaria finita.
11. sqrt(x)
¿Por qué hay que atender al borde del dominio?
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No hay muestras reales a la izquierda de cero. A la derecha Q(h)=1/√h→+∞. Es un comportamiento unilateral en el borde, no una derivada bilateral finita.
12. x^3
¿Una derivada nula implica un extremo?
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No. f′=3x²≥0 y la función crece al atravesar cero. f″=6x cambia de signo: inflexión con tangente horizontal.
13. x^4
Aplica el test de la segunda derivada en cero.
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f′(0)=0 y f″(0)=0: el test no concluye. El signo de f′=4x³ da un mínimo. f″=12x² no cambia de signo: no hay inflexión.
14. x*(10-x)
Maximiza el área del rectángulo de perímetro 20.
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Para 0<x<10, A′=10-2x cambia de positiva a negativa en 5. A(5)=25 es el máximo; los lados son 5 y 5.
15. x^x
Deriva usando logaritmos, para x>0.
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De ln y=x ln x resulta y′/y=ln x+1. Por tanto, y′=x^x(ln x+1), que en 1 vale 1.
16. x^2
Encuentra el punto de Lagrange para x² en [0,2].
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Es continua en [0,2] y derivable en (0,2). La pendiente media es (4-0)/(2-0)=2. Al resolver 2c=2 obtenemos c=1, interior al intervalo.