Una primitiva es una función; una integral definida es un número. Partimos de esta distinción para medir acumulaciones y áreas, y después estudiamos rotaciones. Girar una región produce un sólido cuyo volumen calculamos; girar una curva produce una superficie cuya área calculamos. Son problemas relacionados, pero sus fórmulas y unidades son distintas.
Un número asociado a una función y dos extremos
∫ₐᵇ f(x) dx es la integral definida de f desde a hasta b. f es el integrando, a y b los límites, y x la variable de integración. El resultado es un número, no una familia F+C.
Si f es continua en [a,b], a<b, la integral existe. La continuidad es suficiente, no necesaria: también hay funciones discontinuas integrables. Siempre hay que especificar dominio y sentido de la integral.
Explorar este caso en el laboratorio
Sumas de Riemann: de las franjas al límite
Divide [a,b] en n intervalos de anchura Δx=(b-a)/n. Elige xᵢ* en cada uno y suma Σ f(xᵢ*)Δx. Los puntos medios dan rectángulos; los extremos y segmentos permiten construir trapecios.
∫ₐᵇ f(x) dx = lim Σ f(xᵢ*)Δx, cuando el límite está bien definido al refinar la partición.
Para f(x)=x en [0,2], el valor es 2. Los puntos medios ya son exactos para esta recta, pero una cantidad finita de rectángulos no es exacta para toda función. El laboratorio compara puntos medios, trapecios y Simpson.
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Integral con signo y área geométrica
Las partes sobre el eje x contribuyen positivamente; las situadas debajo, negativamente. Para x en [-1,1], los dos triángulos se compensan: ∫₋₁¹ x dx=0. Sin embargo, su área total es 1/2+1/2=1.
A = ∫ₐᵇ |f(x)| dx, con a<b.
En general |∫f|≠∫|f|. Encuentra los ceros y separa intervalos si cambia el signo. Para sin x en [0,2π], la integral es 0 y el área total 4.
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Orientación, aditividad y linealidad
∫ₐᵃ f=0 y ∫ᵦₐ f=-∫ₐᵇ f. Además, ∫ₐᶜ f+∫ᶜᵦ f=∫ₐᵇ f cuando las integrales existen en el sentido requerido.
La linealidad da ∫(αf+βg)=α∫f+β∫g con los mismos límites. Si f≤g en [a,b], entonces ∫f≤∫g. Un área o volumen geométrico no se vuelve negativo al intercambiar extremos: se mide en el intervalo ordenado.
El teorema fundamental une acumulación y derivada
Si f es continua, la función de acumulación G(x)=∫ₐˣ f(t) dt satisface G′(x)=f(x). La acumulación proporciona una primitiva.
Si F es una primitiva de f en un intervalo que contiene [a,b], bajo las hipótesis del teorema:
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b)-F(a)
No añadas +C al número final: [F(b)+C]-[F(a)+C]=F(b)-F(a). La constante se cancela; no se ha olvidado.
Cálculo paso a paso y sustitución
∫₀¹ x² dx=[x³/3]₀¹=1/3-0=1/3. Los corchetes indican valor en el extremo superior menos valor en el inferior.
Para ∫₀¹ 2x(x²+1)³ dx, toma u=x²+1, du=2x dx. Cambia los límites: x=0 da u=1 y x=1 da u=2. Así ∫₁² u³ du=[u⁴/4]₁²=(16-1)/4=15/4.
También puedes volver a x antes de evaluar. No mezcles un integrando en u con límites en x. Las partes definidas se escriben ∫ₐᵇ u v′ dx=[uv]ₐᵇ-∫ₐᵇ u′v dx.
Área entre dos curvas
Si f≥g en [a,b], A=∫ₐᵇ [f(x)-g(x)] dx: altura superior menos inferior. Si las curvas intercambian posiciones:
A = ∫ₐᵇ |f(x)-g(x)| dx
Entre y=x e y=x² en [0,1], x≥x² y A=[x²/2-x³/3]₀¹=1/2-1/3=1/6. Primero encuentra intersecciones y después la curva superior de cada tramo. No basta restar dos integrales y tomar el valor absoluto si hay compensaciones.
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Valor medio y unidades
Para a<b, el valor medio es f_medio=(1/(b-a))∫ₐᵇ f(x) dx. Para x² en [0,1], vale 1/3: un rectángulo de base 1 y altura 1/3 tiene la misma integral.
Si f es velocidad en m/s y x es tiempo en segundos, la integral mide desplazamiento en metros; para distancia recorrida se integra el valor absoluto de la velocidad. En los dibujos geométricos, ambas coordenadas son longitudes y la integral tiene unidades de área.
Polos y extremos impropios
F(b)-F(a) no permite atravesar un punto donde el integrando no está definido. ∫₋₁¹ 1/x dx no existe como integral impropia ordinaria: las dos partes separadas divergen. La cancelación simétrica produce un valor principal, concepto distinto.
En cambio, ∫₀¹ 1/√x dx=lim(t→0⁺)[2√x]ₜ¹=2. Las integrales impropias se definen por límites y pueden converger o divergir. El laboratorio libre exige funciones evaluables en todo el intervalo: un rechazo señala una limitación de la herramienta, no demuestra divergencia.
¿Qué significa «área de rotación»?
| Objeto | Magnitud | Unidades |
|---|---|---|
| Región plana | Área A | u² |
| Región girada alrededor de un eje | Volumen V del sólido | u³ |
| Curva girada alrededor de un eje | Área S de la superficie generada | u² |
Antes de elegir fórmula, especifica eje, intervalo, figura que gira y medida buscada. Girar una curva no llena automáticamente el volumen interior: describe su revestimiento.
Volumen alrededor de x: discos
Al girar la región entre y=f(x) y el eje x, cada sección perpendicular es un disco de radio |f(x)|. Su volumen delgado es aproximadamente πf(x)²Δx.
V = π∫ₐᵇ f(x)² dx
Cilindro: f=2 en [0,3], luego V=π∫₀³4 dx=12π. Cono: f=x en [0,2], luego V=π[x³/3]₀²=8π/3, igual a πr²h/3 con r=h=2.
No es π(∫f dx)²: se integra el cuadrado del radio, no se eleva al cuadrado el área plana.
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Con un hueco: arandelas
Si gira una región con 0≤g(x)≤f(x) alrededor de x, cada sección tiene radio exterior R=f e interior r=g:
V = π∫ₐᵇ [R(x)²-r(x)²] dx
Entre y=2 e y=1 en [0,3], V=π∫₀³(4-1) dx=9π. Entre x y x² en [0,1], V=π∫₀¹(x²-x⁴) dx=π(1/3-1/5)=2π/15.
No uses π(R-r)². Para un eje y=h, mide distancias al eje y reconstruye los radios geométricamente; si atraviesa la región, la fórmula no se aplica a ciegas.
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Alrededor de y: capas cilíndricas
Una franja vertical en x≥0 entre f≥g genera una capa al girar alrededor de y: circunferencia 2πx, altura f-g y espesor Δx.
V = 2π∫ₐᵇ x[f(x)-g(x)] dx
Para f=2-x, g=0 en [0,2], V=2π[x²-x³/3]₀²=8π/3. La alternativa con arandelas usa secciones horizontales e integración en y.
Las franjas son paralelas al eje en las capas, perpendiculares en discos/arandelas. Si la región atraviesa y, usar solo |x| puede contar dos veces el mismo volumen: separa y analiza la geometría. El laboratorio de capas exige x≥0.
Explorar este caso en el laboratorio
Área superficial generada: aparece la derivada
Un pequeño arco tiene longitud ds≈√(1+f′(x)²) dx. Al girar, genera una banda de área aproximadamente igual a circunferencia por longitud inclinada, no solo por anchura horizontal.
S_x = 2π∫ₐᵇ |f(x)|√(1+f′(x)²) dx
Vale para curvas suficientemente regulares; pueden tratarse por separado tramos regulares y límites convergentes. Alrededor de y, con x≥0, S_y=2π∫ₐᵇ x√(1+f′(x)²) dx.
Para f=x en [0,2], f′=1 y S_x=2π√2∫₀²x dx=4π√2. Es el área lateral del cono πrℓ con r=2 y generatriz ℓ=2√2. Omitir el factor con la derivada da un área incorrecta.
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Área lateral, bases y área total
Girar y=2 en [0,3] alrededor de x genera solo la superficie lateral del cilindro: S_lat=2π·2·3=12π. Esa curva no genera las dos bases.
Para cerrar el sólido lleno, añadimos πf(a)²+πf(b)², aquí 8π. El área total es 20π. El cono anterior tiene una sola base no nula y S_total=4π√2+4π.
Si hay hueco, las bases son coronas y puede ser necesaria una pared interior: no basta la curva exterior. La opción de añadir bases del laboratorio se aplica solo a una curva girada alrededor de x.
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La esfera: mismo perfil, volumen y superficie distintos
La semicircunferencia f(x)=√(R²-x²) en [-R,R], al girar alrededor de x, genera una esfera. Su volumen es V=π∫₋ᴿᴿ(R²-x²) dx=4πR³/3.
En el interior, f′=-x/√(R²-x²) y f√(1+f′²)=R. Por tanto S=2π∫₋ᴿᴿR dx=4πR², interpretando los extremos mediante límites: la derivada no es finita en ±R, pero el producto se simplifica y se extiende continuamente.
Para R=1, el laboratorio compara V=4π/3 y S=4π. Este caso guiado usa la forma simplificada, no el producto numérico indeterminado 0·∞. Ambas bases tienen radio cero.
Explorar este caso en el laboratorio
Un procedimiento fiable
- Dibuja región, curvas, extremos y eje.
- Elige integral con signo, área, volumen o superficie.
- Identifica ceros, intersecciones, huecos y puntos excluidos.
- Construye el integrando: f, |f-g|, π(R²-r²), 2πrh o 2πr√(1+f′²).
- Busca una primitiva o una cuadratura numérica; comprueba las hipótesis.
- Evalúa extremos o límites y añade las unidades.
- Compara con fórmulas geométricas cuando sea posible y refina numéricamente.
La diferencia entre n y 2n subdivisiones es un indicador, no una cota de error garantizada. Oscilaciones y picos estrechos pueden engañar al muestreo.
El laboratorio: franjas, giros y comparación
Doce casos guiados y fórmulas libres; seis modos, tres cuadraturas y 8 a 512 subdivisiones. El gráfico muestra región y capa elegida; los modos de giro añaden una vista 3D de la construcción del sólido o superficie.
El deslizador de ángulo e Iniciar/Pausa muestran la construcción. El cálculo siempre corresponde a un giro completo de 360°, aunque la vista sea parcial. Las bases solicitadas para superficie alrededor de x se cuentan por separado.
Los valores numéricos y la comparación n/2n no prueban existencia ni exactitud. Las referencias exactas son solo de ejemplos preparados sin modificar. El laboratorio no resuelve todas las integrales impropias; trata la esfera con una simplificación analítica explícita.
Repasar las primitivas · Laboratorio de integrales indefinidas
Dieciséis ejercicios con soluciones ocultas
1. Calcula ∫₀¹ x² dx.
Mostrar la solución explicada
Una primitiva es x³/3: [x³/3]₀¹=1/3. Es un número, sin +C.
2. Integra x en [-1,1].
Mostrar la solución explicada
[x²/2]₋₁¹=1/2-1/2=0: las contribuciones opuestas se compensan.
3. Calcula el área entre x y el eje en [-1,1].
Mostrar la solución explicada
Integra |x| o suma dos triángulos de área 1/2. El área es 1, no cero.
4. Calcula el área entre sin x y el eje en [0,2π].
Mostrar la solución explicada
El área en [0,π] es 2 y en [π,2π] otras 2. Total 4, mientras la integral con signo es 0.
5. Encuentra el área entre x y x² en [0,1].
Mostrar la solución explicada
x≥x², por tanto [x²/2-x³/3]₀¹=1/6. Las intersecciones son 0 y 1.
6. ¿Qué cambia al integrar x de 2 a 0?
Mostrar la solución explicada
Se invierte el signo: ∫₂⁰x dx=[x²/2]₂⁰=-2. El área geométrica sigue siendo 2.
7. Gira un rectángulo de altura 2 y longitud 3 alrededor de x. ¿Volumen?
Mostrar la solución explicada
V=π∫₀³4 dx=12π unidades cúbicas, igual a πr²h.
8. Gira la región bajo x en [0,2] alrededor de x.
Mostrar la solución explicada
V=π∫₀²x²dx=8π/3. El cono tiene r=2 y h=2.
9. Gira la región entre y=2 e y=1 en [0,3] alrededor de x.
Mostrar la solución explicada
V=π∫₀³(2²-1²)dx=9π. No uses (2-1)².
10. Gira la región entre x y x² en [0,1] alrededor de x.
Mostrar la solución explicada
R=x, r=x², por tanto V=π∫₀¹(x²-x⁴)dx=2π/15.
11. Gira la región bajo 2-x en [0,2] alrededor de y.
Mostrar la solución explicada
Las capas tienen radio x y altura 2-x: V=2π∫₀²x(2-x)dx=8π/3.
12. Gira la región entre x y x² en [0,1] alrededor de y.
Mostrar la solución explicada
V=2π∫₀¹x(x-x²)dx=2π(1/3-1/4)=π/6. Cambiar el eje cambia el sólido.
13. Encuentra el área lateral del cilindro de radio 2 y longitud 3.
Mostrar la solución explicada
f′=0, entonces S=2π∫₀³2dx=12π unidades cuadradas. Con ambas bases: 20π.
14. Encuentra el área generada por y=x en [0,2] alrededor de x.
Mostrar la solución explicada
f′=1, por tanto S=2π√2∫₀²x dx=4π√2. Es el área lateral; la base añade 4π.
15. Calcula el volumen de la esfera unidad desde la semicircunferencia.
Mostrar la solución explicada
V=π∫₋₁¹(1-x²)dx=4π/3. No lo confundas con su superficie 4π.
16. Calcula el área de la esfera unidad justificando los extremos.
Mostrar la solución explicada
En el interior f√(1+f′²)=1; la extensión por límite da S=2π∫₋₁¹1dx=4π. No evalúes directamente 0·∞ en los extremos.