Una primitiva è una funzione; un integrale definito è un numero. Partiamo da questa distinzione per misurare accumuli e aree e poi passiamo alle rotazioni. Ruotare una regione produce un solido, di cui calcoliamo il volume; ruotare una curva produce una superficie, di cui calcoliamo l’area. Sono problemi collegati, ma le formule e le unità di misura sono diverse.
Un numero associato a una funzione e a due estremi
∫ₐᵇ f(x) dx è l’integrale definito di f da a a b. f è l’integranda, a e b sono gli estremi e x è la variabile d’integrazione. Qui il risultato è un numero, non una famiglia F+C.
Se f è continua su [a,b], con a<b, l’integrale esiste. La continuità è sufficiente, non necessaria: esistono anche funzioni discontinue integrabili. Occorre comunque specificare dominio e significato dell’integrale.
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Somme di Riemann: dalle strisce al limite
Dividiamo [a,b] in n intervalli di ampiezza Δx=(b-a)/n. Scegliamo un punto xᵢ* in ciascuno e sommiamo Σ f(xᵢ*)Δx. Con punti medi otteniamo rettangoli; con estremi e segmenti possiamo costruire trapezi.
∫ₐᵇ f(x) dx = lim Σ f(xᵢ*)Δx, quando il limite è ben definito al raffinarsi della partizione.
Per f(x)=x su [0,2], il valore è 2. La somma a punti medi è già esatta per questa retta; non significa che un numero finito di rettangoli sia esatto per ogni funzione. Il laboratorio confronta punti medi, trapezi e Simpson.
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Integrale con segno e area geometrica non coincidono sempre
Le parti sopra l’asse x contribuiscono positivamente, quelle sotto negativamente. Per f(x)=x su [-1,1] i due triangoli si compensano: ∫₋₁¹ x dx=0. Ma l’area totale è 1/2+1/2=1.
A = ∫ₐᵇ |f(x)| dx, con a<b.
In generale |∫f|≠∫|f|. Se f cambia segno, trova gli zeri e separa gli intervalli. Per sin x su [0,2π], l’integrale è 0, mentre l’area totale è 4.
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Orientazione, additività e linearità
∫ₐᵃ f=0 e ∫ᵦₐ f=-∫ₐᵇ f. Inoltre ∫ₐᶜ f+∫ᶜᵦ f=∫ₐᵇ f quando gli integrali sono definiti nel senso richiesto.
La linearità permette ∫(αf+βg)=α∫f+β∫g sugli stessi estremi. Se f≤g su [a,b], allora ∫f≤∫g. Un’area o un volume geometrico, invece, non diventa negativo scambiando le etichette degli estremi: si misura sull’intervallo ordinato.
Il teorema fondamentale collega accumulo e derivata
Se f è continua, la funzione di accumulo G(x)=∫ₐˣ f(t) dt soddisfa G′(x)=f(x). Dunque l’accumulo fornisce una primitiva.
Se F è una primitiva di f su un intervallo contenente [a,b], nelle ipotesi del teorema:
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b)-F(a)
Non si aggiunge +C al numero finale: [F(b)+C]-[F(a)+C]=F(b)-F(a). La costante si cancella, non viene dimenticata.
Calcolo passo passo e cambiamento di variabile
∫₀¹ x² dx=[x³/3]₀¹=1/3-0=1/3. Le parentesi indicano valore all’estremo superiore meno valore all’estremo inferiore.
Per ∫₀¹ 2x(x²+1)³ dx, poni u=x²+1 e du=2x dx. Gli estremi cambiano: x=0 dà u=1, x=1 dà u=2. Quindi ∫₁² u³ du=[u⁴/4]₁²=(16-1)/4=15/4.
Puoi anche tornare a x prima di valutare. Non mescolare però un’integranda in u con estremi ancora riferiti a x. Le parti definite si scrivono ∫ₐᵇ u v′ dx=[uv]ₐᵇ-∫ₐᵇ u′v dx.
Area compresa fra due curve
Se f≥g su [a,b], A=∫ₐᵇ [f(x)-g(x)] dx: altezza superiore meno inferiore. Se le curve si scambiano di posto, la formula generale è:
A = ∫ₐᵇ |f(x)-g(x)| dx
Fra y=x e y=x² su [0,1], x≥x² e A=[x²/2-x³/3]₀¹=1/2-1/3=1/6. Si trovano prima le intersezioni, poi si decide quale curva sta sopra in ogni tratto. Non basta sottrarre due integrali e prendere il valore assoluto se ci sono compensazioni.
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Valore medio e significato delle unità
Per a<b, il valore medio di f è f_medio=(1/(b-a))∫ₐᵇ f(x) dx. Per x² su [0,1] vale 1/3: il rettangolo di base 1 e altezza 1/3 ha lo stesso integrale.
Se f è una velocità in m/s e x è il tempo in secondi, l’integrale misura lo spostamento in metri; per la distanza percorsa serve l’integrale del valore assoluto della velocità. Nei disegni geometrici, ascissa e ordinata sono lunghezze e l’integrale ha unità di area.
Attenzione a poli ed estremi impropri
La formula F(b)-F(a) non autorizza ad attraversare un punto in cui l’integranda non è definita. ∫₋₁¹ 1/x dx non esiste come integrale improprio ordinario: le due parti separate da zero divergono. La cancellazione simmetrica conduce a un valore principale, che è un concetto diverso.
Invece ∫₀¹ 1/√x dx=lim(t→0⁺)[2√x]ₜ¹=2. Gli integrali impropri si definiscono tramite limiti e possono convergere o divergere. Il laboratorio libero richiede funzioni valutabili sull’intero intervallo: un rifiuto indica un limite dello strumento, non una prova di divergenza.
Che cosa significa «area di rotazione»?
| Oggetto | Grandezza | Unità |
|---|---|---|
| Regione nel piano | Area A | u² |
| Regione ruotata attorno a un asse | Volume V del solido | u³ |
| Curva ruotata attorno a un asse | Area S della superficie generata | u² |
Prima di scegliere una formula, specifica l’asse, l’intervallo, la figura che ruota e la misura cercata. La rotazione di una curva non riempie automaticamente il volume interno: descrive il suo rivestimento.
Volume attorno all’asse x: metodo dei dischi
Ruotando la regione fra y=f(x) e l’asse x, ogni sezione perpendicolare all’asse è un disco di raggio |f(x)|. Il suo volume sottile è circa πf(x)²Δx.
V = π∫ₐᵇ f(x)² dx
Cilindro: f=2 su [0,3], quindi V=π∫₀³4 dx=12π. Cono: f=x su [0,2], dunque V=π[x³/3]₀²=8π/3, uguale a πr²h/3 con r=h=2.
Non è π(∫f dx)²: si integra il quadrato del raggio, non si eleva al quadrato l’area piana.
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Con un foro: metodo delle rondelle
Se ruotiamo una regione con 0≤g(x)≤f(x) attorno all’asse x, la sezione ha raggio esterno R=f e interno r=g:
V = π∫ₐᵇ [R(x)²-r(x)²] dx
Fra y=2 e y=1 su [0,3], V=π∫₀³(4-1) dx=9π. Fra x e x² su [0,1], V=π∫₀¹(x²-x⁴) dx=π(1/3-1/5)=2π/15.
Non usare π(R-r)². Per un asse y=h si misurano le distanze dall’asse, ma i raggi esterno e interno vanno ricostruiti geometricamente; se l’asse attraversa la regione, la formula non si applica alla cieca.
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Attorno all’asse y: gusci cilindrici
Una striscia verticale a x≥0, fra f≥g, ruotando attorno all’asse y genera un guscio: circonferenza 2πx, altezza f-g e spessore Δx.
V = 2π∫ₐᵇ x[f(x)-g(x)] dx
Per f=2-x, g=0 su [0,2], V=2π[x²-x³/3]₀²=8π/3. L’alternativa a rondelle usa sezioni orizzontali e l’integrazione in y.
Le strisce sono parallele all’asse nei gusci, perpendicolari nei dischi/rondelle. Se la regione attraversa l’asse y, usare soltanto |x| può contare due volte lo stesso volume: occorre separare e analizzare la geometria. Il laboratorio dei gusci richiede x≥0.
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Area della superficie generata: compare la derivata
Un piccolo tratto di curva ha lunghezza ds≈√(1+f′(x)²) dx. Ruotando, genera una fascia di area circa circonferenza per lunghezza inclinata, non per sola larghezza orizzontale.
S_x = 2π∫ₐᵇ |f(x)|√(1+f′(x)²) dx
La formula vale per curve sufficientemente regolari; si possono trattare separatamente tratti regolari e limiti convergenti. Attorno all’asse y, con x≥0, si ha S_y=2π∫ₐᵇ x√(1+f′(x)²) dx.
Per f=x su [0,2], f′=1 e S_x=2π√2∫₀²x dx=4π√2. È l’area laterale del cono: πrℓ con r=2 e generatrice ℓ=2√2. Omettere il fattore con la derivata dà una superficie sbagliata.
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Superficie laterale, basi e superficie totale
Ruotando la curva y=2 su [0,3] attorno all’asse x si genera solo la superficie laterale del cilindro: S_lat=2π·2·3=12π. Le due basi non sono generate da quella curva.
Per chiudere il solido pieno aggiungiamo πf(a)²+πf(b)²: qui 8π. La superficie totale è quindi 20π. Il cono precedente ha una sola base non nulla e S_tot=4π√2+4π.
Se esiste un foro, le basi sono corone e può esserci anche una superficie interna: non basta la sola curva esterna. L’opzione «aggiungi basi» del laboratorio riguarda esclusivamente la curva singola ruotata attorno all’asse x.
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La sfera: stesso profilo, volume e superficie diversi
La semicirconferenza f(x)=√(R²-x²), su [-R,R], ruotata attorno all’asse x genera la sfera. Il volume è V=π∫₋ᴿᴿ(R²-x²) dx=4πR³/3.
All’interno, f′=-x/√(R²-x²) e f√(1+f′²)=R. Quindi S=2π∫₋ᴿᴿR dx=4πR², interpretando gli estremi tramite limite: la derivata non è finita in ±R, ma il prodotto si semplifica e si estende continuamente.
Con R=1, il laboratorio confronta V=4π/3 e S=4π. Questo caso guidato usa la forma semplificata, non il prodotto numerico indeterminato 0·∞. Le due basi hanno raggio zero.
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Una procedura affidabile
- Disegna regione, curve, estremi e asse.
- Scegli la grandezza: integrale con segno, area, volume o superficie.
- Individua zeri, intersezioni, fori e punti esclusi.
- Costruisci l’integranda corretta: f, |f-g|, π(R²-r²), 2πrh oppure 2πr√(1+f′²).
- Trova una primitiva o scegli una quadratura numerica; controlla le ipotesi.
- Valuta gli estremi o il limite e assegna le unità.
- Confronta con una formula geometrica, quando possibile, e con raffinamenti numerici.
La differenza fra n e 2n suddivisioni è un indicatore, non un limite d’errore garantito. Funzioni oscillanti o picchi stretti possono ingannare il campionamento.
Il laboratorio: strisce, rotazioni e confronto
Dodici casi guidati e formule libere; sei modalità, tre quadrature e suddivisioni da 8 a 512. Il grafico mostra la regione e lo strato selezionato; nei modi di rotazione un’anteprima tridimensionale mostra come nasce il solido o la superficie.
Il cursore dell’angolo e Avvia/Pausa visualizzano la costruzione. Il risultato si riferisce sempre a un giro completo di 360°, anche quando l’anteprima è parziale. Le basi, se richieste per la superficie attorno a x, sono conteggiate separatamente.
Valori numerici e confronto fra n e 2n non sono prove di esistenza o esattezza. I riferimenti esatti appartengono soltanto agli esempi predisposti non modificati. Il laboratorio non risolve automaticamente tutti gli integrali impropri; tratta la sfera con una semplificazione analitica esplicita.
Ripassa le primitive · Laboratorio degli integrali indefiniti
Sedici esercizi con soluzione nascosta
1. Calcola ∫₀¹ x² dx.
Mostra la soluzione ragionata
Una primitiva è x³/3: [x³/3]₀¹=1/3. È un numero; non aggiungere +C.
2. Calcola l’integrale di x su [-1,1].
Mostra la soluzione ragionata
[x²/2]₋₁¹=1/2-1/2=0: i contributi con segni opposti si compensano.
3. Calcola l’area fra x e l’asse su [-1,1].
Mostra la soluzione ragionata
Integra |x| oppure somma due triangoli di area 1/2. L’area è 1, non zero.
4. Calcola l’area fra sin x e l’asse su [0,2π].
Mostra la soluzione ragionata
Su [0,π] l’area è 2; su [π,2π] è ancora 2. Totale 4, mentre l’integrale con segno è 0.
5. Trova l’area fra x e x² su [0,1].
Mostra la soluzione ragionata
x≥x², quindi [x²/2-x³/3]₀¹=1/6. Le intersezioni sono 0 e 1.
6. Che cosa cambia integrando x da 2 a 0?
Mostra la soluzione ragionata
Si inverte il segno: ∫₂⁰x dx=[x²/2]₂⁰=-2. L’area geometrica sul medesimo tratto resta 2.
7. Ruota il rettangolo di altezza 2 e lunghezza 3 attorno a x: volume?
Mostra la soluzione ragionata
V=π∫₀³4 dx=12π unità cubiche, uguale a πr²h.
8. Ruota la regione sotto x su [0,2] attorno a x.
Mostra la soluzione ragionata
V=π∫₀²x²dx=8π/3. Il cono ha r=2 e h=2.
9. Ruota la regione fra y=2 e y=1 su [0,3] attorno a x.
Mostra la soluzione ragionata
V=π∫₀³(2²-1²)dx=9π. Non usare (2-1)².
10. Ruota la regione fra x e x² su [0,1] attorno a x.
Mostra la soluzione ragionata
R=x e r=x², dunque V=π∫₀¹(x²-x⁴)dx=2π/15.
11. Ruota la regione sotto 2-x su [0,2] attorno a y.
Mostra la soluzione ragionata
I gusci hanno r=x e altezza 2-x: V=2π∫₀²x(2-x)dx=8π/3.
12. Ruota la regione fra x e x² su [0,1] attorno a y.
Mostra la soluzione ragionata
V=2π∫₀¹x(x-x²)dx=2π(1/3-1/4)=π/6. Cambiare asse cambia il solido.
13. Trova la superficie laterale del cilindro di raggio 2 e lunghezza 3.
Mostra la soluzione ragionata
f′=0, quindi S=2π∫₀³2dx=12π unità quadrate. Aggiungendo le due basi si ottiene 20π.
14. Trova l’area generata ruotando y=x su [0,2] attorno a x.
Mostra la soluzione ragionata
f′=1, quindi S=2π√2∫₀²x dx=4π√2. È la superficie laterale; la base aggiunge 4π.
15. Calcola il volume della sfera unitaria dalla semicirconferenza.
Mostra la soluzione ragionata
V=π∫₋₁¹(1-x²)dx=4π/3. Non confonderlo con la superficie 4π.
16. Calcola l’area della sfera unitaria e giustifica gli estremi.
Mostra la soluzione ragionata
Nell’interno f√(1+f′²)=1; l’estensione per limite dà S=2π∫₋₁¹1dx=4π. Non si valuta direttamente 0·∞ agli estremi.