Une primitive est une fonction ; une intégrale définie est un nombre. Cette distinction permet de mesurer accumulations et aires, puis d’aborder les rotations. La rotation d’une région produit un solide dont on calcule le volume ; celle d’une courbe produit une surface dont on calcule l’aire. Ces problèmes sont liés, mais leurs formules et unités diffèrent.
Un nombre associé à une fonction et deux bornes
∫ₐᵇ f(x) dx est l’intégrale définie de f entre a et b. f est l’intégrande, a et b les bornes, x la variable d’intégration. Le résultat est un nombre, non une famille F+C.
Si f est continue sur [a,b], a<b, l’intégrale existe. La continuité est suffisante, non nécessaire : certaines fonctions discontinues sont intégrables. Il faut toujours préciser domaine et sens de l’intégrale.
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Sommes de Riemann : des bandes à la limite
Partager [a,b] en n intervalles de largeur Δx=(b-a)/n. Choisir un point xᵢ* dans chacun et sommer Σ f(xᵢ*)Δx. Les points milieux donnent des rectangles ; les valeurs aux extrémités et les segments donnent des trapèzes.
∫ₐᵇ f(x) dx = lim Σ f(xᵢ*)Δx, lorsque la limite est bien définie à mesure que la subdivision s’affine.
Pour f(x)=x sur [0,2], la valeur est 2. Les points milieux sont déjà exacts pour cette droite, mais un nombre fini de rectangles n’est pas exact pour toute fonction. Le laboratoire compare points milieux, trapèzes et Simpson.
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Intégrale signée et aire géométrique
Les parties au-dessus de l’axe x contribuent positivement, celles au-dessous négativement. Pour x sur [-1,1], les deux triangles se compensent : ∫₋₁¹ x dx=0. Leur aire totale vaut pourtant 1/2+1/2=1.
A = ∫ₐᵇ |f(x)| dx, pour a<b.
En général |∫f|≠∫|f|. Trouver les zéros et séparer les intervalles en cas de changement de signe. Pour sin x sur [0,2π], l’intégrale vaut 0 et l’aire totale 4.
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Orientation, additivité et linéarité
∫ₐᵃ f=0 et ∫ᵦₐ f=-∫ₐᵇ f. De plus ∫ₐᶜ f+∫ᶜᵦ f=∫ₐᵇ f lorsque les intégrales existent au sens demandé.
La linéarité donne ∫(αf+βg)=α∫f+β∫g aux mêmes bornes. Si f≤g sur [a,b], alors ∫f≤∫g. Une aire ou un volume géométrique ne devient pas négatif lorsqu’on échange les bornes : on mesure sur l’intervalle ordonné.
Le théorème fondamental relie accumulation et dérivée
Si f est continue, la fonction d’accumulation G(x)=∫ₐˣ f(t) dt vérifie G′(x)=f(x). L’accumulation fournit donc une primitive.
Si F est une primitive de f sur un intervalle contenant [a,b], sous les hypothèses du théorème :
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b)-F(a)
Ne pas ajouter +C au nombre final : [F(b)+C]-[F(a)+C]=F(b)-F(a). La constante s’élimine ; elle n’a pas été oubliée.
Calcul détaillé et changement de variable
∫₀¹ x² dx=[x³/3]₀¹=1/3-0=1/3. Les crochets signifient valeur à la borne supérieure moins valeur à la borne inférieure.
Pour ∫₀¹ 2x(x²+1)³ dx, poser u=x²+1, du=2x dx. Changer les bornes : x=0 donne u=1, x=1 donne u=2. Donc ∫₁² u³ du=[u⁴/4]₁²=(16-1)/4=15/4.
On peut aussi revenir à x avant l’évaluation. Ne pas mélanger intégrande en u et bornes en x. Les parties définies s’écrivent ∫ₐᵇ u v′ dx=[uv]ₐᵇ-∫ₐᵇ u′v dx.
Aire entre deux courbes
Si f≥g sur [a,b], A=∫ₐᵇ [f(x)-g(x)] dx : hauteur supérieure moins inférieure. Si les courbes échangent leurs positions :
A = ∫ₐᵇ |f(x)-g(x)| dx
Entre y=x et y=x² sur [0,1], x≥x² et A=[x²/2-x³/3]₀¹=1/2-1/3=1/6. Trouver d’abord les intersections puis la courbe supérieure sur chaque morceau. Soustraire deux intégrales et prendre la valeur absolue ne suffit pas si des contributions se compensent.
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Valeur moyenne et unités
Pour a<b, la valeur moyenne est f_moyenne=(1/(b-a))∫ₐᵇ f(x) dx. Pour x² sur [0,1], elle vaut 1/3 : un rectangle de largeur 1 et hauteur 1/3 a la même intégrale.
Si f est une vitesse en m/s et x le temps en secondes, l’intégrale est un déplacement en mètres ; la distance parcourue demande d’intégrer la vitesse en valeur absolue. Dans les figures géométriques, les deux coordonnées sont des longueurs : l’intégrale possède des unités d’aire.
Pôles et bornes impropres
F(b)-F(a) n’autorise pas à franchir un point où l’intégrande n’est pas définie. ∫₋₁¹ 1/x dx n’existe pas comme intégrale impropre ordinaire : les deux parties séparées divergent. La compensation symétrique donne une valeur principale, notion différente.
En revanche, ∫₀¹ 1/√x dx=lim(t→0⁺)[2√x]ₜ¹=2. Les intégrales impropres se définissent par limites et peuvent converger ou diverger. Le laboratoire libre exige une fonction évaluable sur tout l’intervalle : un refus indique une limite de l’outil, non une preuve de divergence.
Que signifie « aire de rotation » ?
| Objet | Grandeur | Unités |
|---|---|---|
| Région plane | Aire A | u² |
| Région tournée autour d’un axe | Volume V du solide | u³ |
| Courbe tournée autour d’un axe | Aire S de la surface engendrée | u² |
Avant la formule, préciser axe, intervalle, figure tournée et grandeur recherchée. Tourner une courbe ne remplit pas automatiquement le volume intérieur : cela décrit son enveloppe.
Volume autour de x : méthode des disques
La rotation de la région entre y=f(x) et l’axe x donne des sections perpendiculaires en disques de rayon |f(x)|. Leur volume mince vaut environ πf(x)²Δx.
V = π∫ₐᵇ f(x)² dx
Cylindre : f=2 sur [0,3], donc V=π∫₀³4 dx=12π. Cône : f=x sur [0,2], donc V=π[x³/3]₀²=8π/3, conformément à πr²h/3 pour r=h=2.
Ce n’est pas π(∫f dx)² : on intègre le carré du rayon, pas le carré de l’aire plane.
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Un trou : méthode des couronnes
Pour une région avec 0≤g(x)≤f(x) tournée autour de x, chaque section a un rayon extérieur R=f et intérieur r=g :
V = π∫ₐᵇ [R(x)²-r(x)²] dx
Entre y=2 et y=1 sur [0,3], V=π∫₀³(4-1) dx=9π. Entre x et x² sur [0,1], V=π∫₀¹(x²-x⁴) dx=π(1/3-1/5)=2π/15.
Ne pas employer π(R-r)². Pour l’axe y=h, mesurer les distances à cet axe et reconstruire géométriquement les rayons ; si l’axe traverse la région, la formule ne s’applique pas aveuglément.
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Autour de y : coquilles cylindriques
Une bande verticale à x≥0 entre f≥g engendre une coquille autour de y : circonférence 2πx, hauteur f-g et épaisseur Δx.
V = 2π∫ₐᵇ x[f(x)-g(x)] dx
Pour f=2-x et g=0 sur [0,2], V=2π[x²-x³/3]₀²=8π/3. L’alternative par couronnes utilise des sections horizontales et une intégration en y.
Les bandes sont parallèles à l’axe pour les coquilles, perpendiculaires pour les disques/couronnes. Si la région traverse y, employer seulement |x| peut compter deux fois le même volume : séparer et analyser la géométrie. Le laboratoire des coquilles exige x≥0.
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Aire de la surface engendrée : la dérivée apparaît
Un petit arc a pour longueur ds≈√(1+f′(x)²) dx. Sa rotation produit une bande d’aire approximativement égale à circonférence multipliée par longueur inclinée, et non par largeur horizontale seule.
S_x = 2π∫ₐᵇ |f(x)|√(1+f′(x)²) dx
La formule vaut pour des courbes suffisamment régulières ; morceaux réguliers et limites convergentes se traitent séparément. Autour de y, avec x≥0, S_y=2π∫ₐᵇ x√(1+f′(x)²) dx.
Pour f=x sur [0,2], f′=1 et S_x=2π√2∫₀²x dx=4π√2. C’est l’aire latérale du cône πrℓ, avec r=2 et génératrice ℓ=2√2. Oublier le facteur contenant la dérivée donne une aire incorrecte.
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Aire latérale, bases et aire totale
Tourner y=2 sur [0,3] autour de x engendre seulement la surface latérale du cylindre : S_lat=2π·2·3=12π. Cette courbe n’engendre pas les deux bases.
Pour fermer le solide plein, ajouter πf(a)²+πf(b)², ici 8π. L’aire totale vaut 20π. Le cône précédent possède une seule base non nulle et S_tot=4π√2+4π.
Avec un trou, les bases sont des couronnes et une paroi intérieure peut être nécessaire : la courbe extérieure seule ne suffit pas. L’option du laboratoire ajoutant les bases concerne uniquement une courbe tournée autour de x.
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La sphère : même profil, volume et aire différents
La rotation du demi-cercle f(x)=√(R²-x²) sur [-R,R] autour de x engendre une sphère. Son volume est V=π∫₋ᴿᴿ(R²-x²) dx=4πR³/3.
À l’intérieur, f′=-x/√(R²-x²) et f√(1+f′²)=R. Donc S=2π∫₋ᴿᴿR dx=4πR², avec des limites aux bornes : la dérivée n’est pas finie en ±R, mais le produit se simplifie et se prolonge continûment.
Pour R=1, le laboratoire compare V=4π/3 et S=4π. Ce cas guidé utilise la forme simplifiée, non le produit numérique indéterminé 0·∞. Les deux bases ont un rayon nul.
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Une démarche fiable
- Dessiner région, courbes, bornes et axe.
- Choisir intégrale signée, aire, volume ou aire de surface.
- Repérer zéros, intersections, trous et points exclus.
- Construire l’intégrande : f, |f-g|, π(R²-r²), 2πrh ou 2πr√(1+f′²).
- Trouver une primitive ou choisir une quadrature ; vérifier les hypothèses.
- Évaluer bornes ou limites et préciser les unités.
- Comparer avec une formule géométrique si possible et affiner numériquement.
L’écart entre n et 2n subdivisions est un indicateur, pas une borne d’erreur garantie. Oscillations et pics étroits peuvent tromper l’échantillonnage.
Le laboratoire : bandes, rotations et comparaison
Douze cas guidés et formules libres ; six modes, trois quadratures et 8 à 512 subdivisions. Le graphique montre région et couche choisie ; les modes de rotation ajoutent un aperçu 3D de la construction du solide ou de la surface.
Le curseur d’angle et Démarrer/Pause montrent la construction. Le calcul concerne toujours un tour complet de 360°, même si l’aperçu est partiel. Les bases demandées pour la surface autour de x sont comptées séparément.
Valeurs numériques et comparaison n/2n ne prouvent ni existence ni exactitude. Les références exactes concernent seulement les exemples préparés non modifiés. Le laboratoire ne résout pas toutes les intégrales impropres ; il traite la sphère grâce à une simplification analytique explicite.
Revoir les primitives · Laboratoire des intégrales indéfinies
Seize exercices avec solutions masquées
1. Calculer ∫₀¹ x² dx.
Afficher la solution expliquée
Une primitive est x³/3 : [x³/3]₀¹=1/3. C’est un nombre, sans +C.
2. Intégrer x sur [-1,1].
Afficher la solution expliquée
[x²/2]₋₁¹=1/2-1/2=0 : les contributions opposées se compensent.
3. Calculer l’aire entre x et l’axe sur [-1,1].
Afficher la solution expliquée
Intégrer |x| ou additionner deux triangles d’aire 1/2. L’aire vaut 1, non zéro.
4. Calculer l’aire entre sin x et l’axe sur [0,2π].
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L’aire sur [0,π] vaut 2 et celle sur [π,2π] encore 2. Total 4, tandis que l’intégrale signée est nulle.
5. Trouver l’aire entre x et x² sur [0,1].
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x≥x², donc [x²/2-x³/3]₀¹=1/6. Les intersections sont 0 et 1.
6. Que change l’intégration de x de 2 à 0 ?
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Le signe s’inverse : ∫₂⁰x dx=[x²/2]₂⁰=-2. L’aire géométrique reste 2.
7. Tourner un rectangle de hauteur 2 et longueur 3 autour de x : volume ?
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V=π∫₀³4 dx=12π unités cubiques, conformément à πr²h.
8. Tourner la région sous x sur [0,2] autour de x.
Afficher la solution expliquée
V=π∫₀²x²dx=8π/3. Le cône a r=2 et h=2.
9. Tourner la région entre y=2 et y=1 sur [0,3] autour de x.
Afficher la solution expliquée
V=π∫₀³(2²-1²)dx=9π. Ne pas utiliser (2-1)².
10. Tourner la région entre x et x² sur [0,1] autour de x.
Afficher la solution expliquée
R=x, r=x², donc V=π∫₀¹(x²-x⁴)dx=2π/15.
11. Tourner la région sous 2-x sur [0,2] autour de y.
Afficher la solution expliquée
Les coquilles ont rayon x et hauteur 2-x : V=2π∫₀²x(2-x)dx=8π/3.
12. Tourner la région entre x et x² sur [0,1] autour de y.
Afficher la solution expliquée
V=2π∫₀¹x(x-x²)dx=2π(1/3-1/4)=π/6. Changer d’axe change le solide.
13. Trouver l’aire latérale du cylindre de rayon 2 et longueur 3.
Afficher la solution expliquée
f′=0, donc S=2π∫₀³2dx=12π unités carrées. Avec les deux bases : 20π.
14. Trouver l’aire engendrée par y=x sur [0,2] autour de x.
Afficher la solution expliquée
f′=1, donc S=2π√2∫₀²x dx=4π√2. C’est l’aire latérale ; la base ajoute 4π.
15. Calculer le volume de la sphère unité depuis un demi-cercle.
Afficher la solution expliquée
V=π∫₋₁¹(1-x²)dx=4π/3. Ne pas confondre avec l’aire de surface 4π.
16. Calculer l’aire de la sphère unité en justifiant les bornes.
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À l’intérieur, f√(1+f′²)=1 ; le prolongement par limite donne S=2π∫₋₁¹1dx=4π. Ne pas évaluer directement 0·∞ aux bornes.