Con le derivate partivamo da una funzione per trovarne il tasso di variazione. Ora percorriamo la strada inversa: data f, cerchiamo una funzione F la cui derivata sia f. Il risultato non è in generale una sola funzione, ma una famiglia. Qui studiamo gli integrali indefiniti; aree e integrali definiti saranno un passaggio distinto.
Che cosa significa cercare una primitiva?
Una funzione F è una primitiva di f su un intervallo I se è derivabile in ogni punto di I e F′(x)=f(x) su I. Per esempio, x³/3 è una primitiva di x², perché (x³/3)′=x².
∫f(x) dx = F₀(x)+C, su un intervallo in cui F₀′=f.
f è l’integranda; dx indica la variabile d’integrazione. Non stiamo moltiplicando una funzione per un misterioso numero dx: la scrittura identifica un’operazione e la variabile su cui lavoriamo.
Perché serve +C e perché descrive tutte le primitive su un intervallo
x³/3, x³/3+2 e x³/3-7 hanno la stessa derivata x², perché la derivata di una costante è zero. Per questo una primitiva sola non è l’intera risposta.
Se F e G sono due primitive della stessa f su I, (F-G)′=0. Per il teorema di Lagrange, una funzione con derivata zero su un intervallo è costante: F-G=C. Questo giustifica l’intera famiglia F₀+C, non soltanto alcuni esempi.
C è una costante reale arbitraria. Non è la variabile x e non va derivata come una funzione variabile.
Il dominio conta: ln|x| e costanti indipendenti
∫1/x dx=ln|x|+C su ogni intervallo che non attraversa zero. Per x>0, ln|x|=ln x; per x<0, ln|x|=ln(-x), la cui derivata è (1/(-x))·(-1)=1/x.
Il dominio ℝ∖{0} ha due componenti. La famiglia più generale sull’intero dominio usa ln(-x)+C₋ per x<0 e ln x+C₊ per x>0, con costanti indipendenti. Una sola C comune descrive soltanto una parte di tutte le possibilità sull’unione.
Nel laboratorio puoi scegliere il ramo: modificare C in un intervallo non obbliga gli altri rami ad avere la stessa costante. Non si attraversa un punto escluso con un’unica curva continua inventata.
Indefinito e definito: due oggetti differenti
∫f(x) dx indica una famiglia di funzioni. ∫ₐᵇ f(x) dx, quando definito, indica invece un numero associato a un intervallo; il collegamento tramite il teorema fondamentale richiede le sue ipotesi.
In questo capitolo non calcoliamo un’area tra due estremi. Impariamo a trovare F₀ e a controllarne la derivata. Anche se due formule sono legate, non bisogna confondere il tipo di risultato: funzione con +C oppure numero.
Gli integrali immediati si leggono al contrario dalle derivate
| Integranda | Una primitiva F₀ | Condizioni |
|---|---|---|
| k | kx | k costante |
| xⁿ | x^(n+1)/(n+1) | n≠-1; dominio appropriato |
| 1/x | ln|x| | x≠0, su un intervallo |
| 1/√x | 2√x | x>0 |
| eˣ | eˣ | ℝ |
| bˣ | bˣ/ln b | b>0, b≠1 |
| sin x | -cos x | Radianti |
| cos x | sin x | Radianti |
| 1/cos²x | tan x | Intervalli senza zeri di cos x |
| 1/(1+x²) | arctan x | ℝ |
| 1/√(1-x²) | arcsin x | -1<x<1 |
Alla primitiva della tabella si aggiunge C. Per potenze reali la formula vale certamente su x>0; eventuali domini più ampi vanno verificati. L’eccezione n=-1 è essenziale: non si può dividere per n+1=0.
Linearità: somme e fattori costanti
Si integrano separatamente le somme e si portano fuori i fattori costanti: ∫(af+bg) dx=a∫f dx+b∫g dx, interpretando le costanti arbitrarie nella famiglia finale.
∫(3x²-4x+2) dx=3·x³/3-4·x²/2+2x+C=x³-2x²+2x+C. Derivando troviamo di nuovo 3x²-4x+2.
Non esiste una regola analoga che trasformi l’integrale di un prodotto nel prodotto degli integrali, né un quoziente nel quoziente delle primitive.
Riconoscere la catena al contrario e i fattori mancanti
Per a≠0, ∫e^(ax+b) dx=e^(ax+b)/a+C, perché derivando l’esponenziale compare il fattore a. Analogamente ∫cos(ax+b) dx=sin(ax+b)/a+C.
Esempio: ∫e^(2x+1) dx=(1/2)e^(2x+1)+C. Non basta copiare e^(2x+1): la sua derivata sarebbe il doppio dell’integranda. Se a=0 l’integranda è una costante, da trattare separatamente.
Sostituzione: un cambio di variabile coerente
Se riconosci g(u(x))u′(x), poni u=u(x). La scrittura du=u′(x) dx riassume il cambio di variabile giustificato dalla regola della catena, non una cancellazione arbitraria di simboli.
Per ∫2x(x²+1)³ dx scegli u=x²+1, quindi du=2x dx. Ottieni ∫u³ du=u⁴/4+C e torni a x:
F(x)=(x²+1)⁴/4+C
Controllo: F′=(1/4)·4(x²+1)³·2x=2x(x²+1)³. Tutti i fattori e la variabile finale devono essere coerenti.
La struttura u′/u e il valore assoluto
Su intervalli dove u è derivabile e non si annulla, ∫u′(x)/u(x) dx=ln|u(x)|+C. Il valore assoluto permette anche u negativa, ma non permette u=0.
Per ∫2x/(x²+1) dx, u=x²+1 è sempre positivo: F₀=ln(x²+1) e F₀′=2x/(x²+1). Per ∫1/(x-2) dx serve invece ln|x-2|+C, separatamente nei due intervalli.
Integrazione per parti: invertire la regola del prodotto
Da (uv)′=u′v+uv′ ricaviamo:
∫u dv = uv - ∫v du
Per ∫x eˣ dx scegli u=x e dv=eˣdx; allora du=dx e v=eˣ. Ottieni x eˣ-∫eˣ dx=(x-1)eˣ+C. La derivata è eˣ+(x-1)eˣ=x eˣ.
Per ∫ln x dx, con x>0, scrivi ln x·1: u=ln x, dv=dx, v=x. Risulta x ln x-∫1 dx=x ln x-x+C.
Quando ripetere le parti e come scegliere
Conviene scegliere u in modo che derivandola si semplifichi e dv in modo che sia integrabile. Non è una regola infallibile: si controlla se il nuovo integrale è davvero più semplice.
∫x²eˣ dx=x²eˣ-2∫x eˣ dx=eˣ(x²-2x+2)+C. Qui le parti si ripetono e il grado del polinomio scende. La verifica con il prodotto conferma che la derivata è x²eˣ.
Per ∫x cos x dx, u=x e dv=cos x dx danno x sin x+cos x+C: il segno finale è positivo perché ∫sin x dx=-cos x.
Funzioni razionali: divisione e fratti semplici
Se il grado del numeratore è almeno quello del denominatore, inizia dalla divisione. Per esempio x²/(x-1)=x+1+1/(x-1), quindi una primitiva è x²/2+x+ln|x-1|, per x≠1.
Per 1/(x²-1) poni A/(x-1)+B/(x+1). Riunendo: 1=(A+B)x+(A-B); dunque A+B=0 e A-B=1, da cui A=1/2, B=-1/2.
F₀=(1/2)ln|x-1|-(1/2)ln|x+1|=(1/2)ln|(x-1)/(x+1)|. Si lavora su ciascuno dei tre intervalli separati da -1 e 1, con costanti indipendenti.
Prima trasformare: un’identità può semplificare
Non tutti gli integrali trigonometrici sono immediati nella forma iniziale. Usa sin²x=(1-cos 2x)/2:
∫sin²x dx=x/2-sin(2x)/4+C. Il fattore 1/4 tiene conto sia del mezzo iniziale sia della derivata dell’argomento 2x. Derivando: 1/2-(1/2)cos 2x=sin²x.
La scelta tra identità, sostituzione e parti dipende dalla struttura; non basta la presenza di un seno per scegliere automaticamente il metodo.
Radici e sostituzioni: non perdere il dominio
Per ∫x/√(1+x²) dx, poni u=1+x² e du=2x dx. Ottieni (1/2)∫u^(-1/2) du=√u+C, quindi F₀=√(1+x²).
Il radicando 1+x² è sempre positivo: qui il dominio è ℝ. Invece per 1/√x occorre x>0; il valore zero è escluso dal denominatore. Non è il simbolo della radice, da solo, a decidere l’intervallo.
Una condizione iniziale sceglie una sola primitiva
Se F′(x)=x², allora F(x)=x³/3+C. Chiedendo F(1)=2 otteniamo 1/3+C=2, quindi C=5/3.
In generale, per F=F₀+C e F(x₀)=y₀:
C = y₀-F₀(x₀)
Il punto deve appartenere all’intervallo della primitiva. Se il dominio ha componenti separate, la condizione su una componente non determina le costanti delle altre.
Esistenza di una primitiva e formula elementare sono questioni diverse
Ogni funzione continua su un intervallo ammette primitive su quell’intervallo. Questo non significa che esista sempre una formula fatta di un numero finito di polinomi, radici, esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche.
e^(-x²) è continua su ℝ e ha primitive, ma non una primitiva elementare. Si possono usare funzioni speciali o altri strumenti. Il fatto che un metodo scolastico o un software non trovi una formula non dimostra che la primitiva non esista.
La continuità è una condizione sufficiente, non necessaria. Per contro, una funzione con un salto non può essere una derivata su un intervallo contenente quel salto: le derivate hanno la proprietà dei valori intermedi.
Il controllo finale: derivare e confrontare sul dominio giusto
Una volta proposta F₀, calcola F₀′, semplifica e verifica F₀′=f su tutto l’intervallo dichiarato. Controlla coefficienti, segni, fattori interni ed esclusioni. È il criterio che decide se una proposta è una primitiva.
Per ∫cos(3x) dx, la proposta sin(3x) è sbagliata: deriva in 3cos(3x). La proposta sin(3x)/3 è corretta. Aggiungere C non corregge una derivata sbagliata.
Una verifica su alcuni valori numerici può trovare errori o suggerire compatibilità, ma non dimostra un’identità generale. Anche formule equivalenti possono dare esiti numerici diversi vicino a punti difficili.
Una strategia di scelta e gli errori da evitare
- Individua dominio e intervallo su cui vuoi una primitiva.
- Semplifica e separa le somme senza cancellare le esclusioni.
- Confronta con gli integrali immediati e cerca una catena al contrario.
- Prova una sostituzione coerente; se c’è un prodotto adatto, valuta le parti.
- Per le razionali considera divisione e fratti semplici; per la trigonometria eventuali identità.
- Torna alla variabile originale e aggiungi C.
- Deriva il risultato e confronta con l’integranda.
Errori frequenti: dimenticare C, applicare la potenza a n=-1, omettere un fattore nella sostituzione, sbagliare il segno nelle parti o imporre la stessa costante a componenti indipendenti.
Il laboratorio: famiglia, metodi e verifica
Scegli uno dei venti esempi per leggere il metodo e i passaggi. Sposta C: le primitive si traslano in verticale, mentre il grafico di F₀′ resta sovrapposto a f. Nei casi con più componenti scegli un intervallo e modifica la sua costante indipendente.
Puoi imporre il passaggio per (x₀,y₀), oppure proporre liberamente una coppia f e F₀. La ricerca automatica riconosce i casi predisposti e integra polinomi a coefficienti razionali di grado fino a 8; non è un integratore simbolico generale. La verifica libera è numerica e non viene presentata come una dimostrazione.
Scrivi F₀ senza +C, perché il cursore gestisce la costante. Usa x, radianti e decimali con punto. I limiti di sintassi, intervallo e complessità sono indicati per mantenere il calcolo controllabile.
Ripassa le derivate · Apri il laboratorio delle derivate
Sedici esercizi: apri la soluzione dopo aver provato
1. x^4
Trova la famiglia delle primitive.
Mostra la soluzione ragionata
La potenza dà x⁵/5+C. Derivando otteniamo x⁴; il dominio è ℝ.
2. 6*x^2-4*x+3
Usa la linearità.
Mostra la soluzione ragionata
Si integra termine per termine: 2x³-2x²+3x+C. La derivata è 6x²-4x+3.
3. 1/x
Perché ln x non basta per x<0?
Mostra la soluzione ragionata
ln x non è reale per x<0. ln|x| ha derivata 1/x per x≠0; si usano costanti indipendenti su (-∞,0) e (0,+∞).
4. 1/sqrt(x)
Indica formula e dominio.
Mostra la soluzione ragionata
x^(-1/2) si integra in 2√x+C, su x>0. Zero è escluso dall’integranda.
5. exp(3*x)
Correggi il fattore della catena.
Mostra la soluzione ragionata
Una primitiva è e^(3x)/3. La derivata moltiplica per 3 e restituisce e^(3x); aggiungi C.
6. cos(2*x)
Trova e verifica una primitiva.
Mostra la soluzione ragionata
sin(2x)/2+C; derivando la catena compare 2 e si ottiene cos(2x).
7. 2*x/(x^2+4)
Riconosci u′/u.
Mostra la soluzione ragionata
Con u=x²+4>0, du=2x dx. Una primitiva è ln(x²+4); vale su ℝ. Aggiungi C.
8. 3*x^2*exp(x^3)
Fai una sostituzione.
Mostra la soluzione ragionata
u=x³ e du=3x² dx danno ∫e^u du. Il risultato è e^(x³)+C; la verifica usa la catena.
9. x*exp(x)
Usa le parti.
10. ln(x)
Integra ln x come prodotto per 1.
11. x*cos(x)
Controlla il segno dopo le parti.
Mostra la soluzione ragionata
x sin x-∫sin x dx=x sin x+cos x+C. La derivata è x cos x.
12. 1/(x^2-1)
Scomponi in fratti semplici e indica gli intervalli.
Mostra la soluzione ragionata
1/[2(x-1)]-1/[2(x+1)] porta a (1/2)ln|(x-1)/(x+1)|+C su ogni componente di ℝ∖{-1,1}. Le tre costanti possono essere diverse.
13. sin(x)^2
Usa un’identità trigonometrica.
Mostra la soluzione ragionata
sin²x=(1-cos 2x)/2, quindi x/2-sin(2x)/4+C. Derivando torna sin²x.
14. x/sqrt(1+x^2)
Gestisci radice e fattore 2.
Mostra la soluzione ragionata
u=1+x² e du=2x dx danno √(1+x²)+C. La derivata è x/√(1+x²), su ℝ.
15. x^2
Se F′=x² e F(1)=2, trova C.
16. x^2*exp(x)
Ripeti l’integrazione per parti.
Mostra la soluzione ragionata
∫x²eˣdx=x²eˣ-2∫x eˣdx=eˣ(x²-2x+2)+C. Verificando con il prodotto, i termini extra si cancellano.