Un límite responde a esta pregunta: ¿hacia qué comportamiento se dirige f(x) cuando x se acerca a un punto o se aleja sin cota? No pregunta solamente cuánto vale la función en ese punto. Partimos de esta diferencia y después aprendemos a calcular y justificar las respuestas.
Primero la idea: acercarse no significa llegar
Considera f(x)=2x+1 cerca de x=2. Por la izquierda: x=1,9 → f(x)=4,8; x=1,99 → 4,98. Por la derecha: x=2,1 → 5,2; x=2,01 → 5,02. Las abscisas se acercan a 2 y las ordenadas a 5.
lim(x→2) (2x+1)=5
El límite no es el último valor de una tabla: no existe un «último número antes de 2». Describe lo que ocurre cuando podemos acercarnos tanto como queramos.
Leer la notación de un límite
En lim(x→a) f(x)=L, a es el punto al que se dirige la variable; L es el valor al que se dirige la función. Son cantidades distintas y no tienen por qué coincidir. x→a⁻ significa acercarse con x<a; x→a⁺ con x>a.
El símbolo ∞ no es un número que se pueda sustituir. x→+∞ significa que x se hace arbitrariamente grande; x→-∞, que se hace negativo con valor absoluto arbitrariamente grande. En cambio, f(x)→+∞ se refiere a las ordenadas, no a las abscisas.
El límite y el valor f(a) son cosas distintas
Para f(x)=(x²-1)/(x-1), x=1 está excluido. Para x≠1 factorizamos y simplificamos: f(x)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1. Por tanto, el límite en 1 es 2 aunque f(1) no esté definida.
Si definimos g asignando g(1)=5 y manteniendo g(x)=x+1 para x≠1, el límite sigue siendo 2: cambiar solo el punto no cambia los valores cercanos. Compara «Hueco» y «Valor asignado distinto» en el laboratorio: un círculo vacío y un punto lleno representan información diferente.
Los límites laterales deben contar la misma historia
Cuando el dominio permite ambas aproximaciones, el límite bilateral finito L existe si y solo si los límites izquierdo y derecho existen y ambos son L. Una comparación análoga se aplica a un único límite infinito del mismo signo.
Para f(x)=-1 si x<0; f(x)=1 si x≥0, el límite izquierdo en cero es -1 y el derecho es 1. No existe límite bilateral aunque f(0)=1. Para 1/x en cero obtenemos -∞ por la izquierda y +∞ por la derecha: no podemos llamar al resultado simplemente «infinito».
Para 1/x², ambos lados tienden a +∞. Decimos que el límite es +∞, distinguiéndolo de un límite finito.
El dominio va antes de la aproximación
Solo nos acercamos mediante valores permitidos. El dominio de √x es [0,+∞): en cero estudiamos el límite derecho, que vale 0. No inventamos raíces reales para x negativos. El dominio de ln x es (0,+∞) y su límite derecho en cero es -∞.
a debe ser un punto de acumulación del dominio: tiene que haber valores permitidos distintos de a arbitrariamente próximos. Las exclusiones siguen siendo válidas tras simplificar algebraicamente. Si solo hay un lado disponible, lo indicamos sin atribuir una aproximación al otro.
Cuándo se puede sustituir: continuidad
En un punto interior del dominio, f es continua en a si f(a) está definida y lim(x→a) f(x)=f(a). En extremos incluidos se usa el lado disponible. Polinomios, exponenciales y funciones trigonométricas elementales son continuos en sus respectivos dominios; sumas, productos y composiciones conservan la continuidad donde estén definidos.
Para lim(x→2)(x²+1), sustituimos y obtenemos 5. En un cociente podemos sustituir si el denominador no es cero en el punto. La sustitución se deduce de la continuidad: no es una regla sin condiciones.
Reglas de cálculo y sus condiciones
Si f→L y g→M con L y M finitos, entonces f+g→L+M, cf→cL y fg→LM. Para f/g→L/M hace falta M≠0. En raíces y composiciones se comprueban el dominio y la continuidad de la función exterior.
Que un denominador tienda a cero no implica por sí solo un límite infinito: el numerador puede anularse también, el signo cambiar o el comportamiento oscilar. Las reglas con cantidades infinitas también requieren condiciones; ∞-∞ no es una resta ordinaria.
Las formas indeterminadas no son respuestas
Las principales son 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 0·∞, 1^∞, 0^0 y ∞^0. Describen el comportamiento de las partes, pero no determinan el resultado final.
Cerca de cero, x/x→1, x²/x→0 y x/x²=1/x tiene laterales distintos: los tres parten de 0/0. Una forma indeterminada invita a transformar la expresión, no a asignarle automáticamente 0 o 1.
Estas potencias indican formas de límite, no valores numéricos asignados a 0⁰ o 1^∞.
Primer método: factorizar y simplificar
Calculamos lim(x→2)(x²-4)/(x-2). La sustitución da 0/0. Factorizamos: x²-4=(x-2)(x+2). Para x≠2 el cociente es x+2, así que el límite vale 4.
No hemos definido la función original en 2: la hemos sustituido por una expresión igual en puntos cercanos distintos de 2, suficientes para el límite. Se cancelan factores comunes, no sumandos: no se puede cancelar x en (x+1)/x.
Segundo método: usar el conjugado
En lim(x→0)(√(1+x)-1)/x aparece 0/0. Multiplicamos numerador y denominador por √(1+x)+1:
(√(1+x)-1)/x = [(1+x)-1]/[x(√(1+x)+1)] = 1/[√(1+x)+1], para x≠0 en el dominio. Ahora sustituimos: límite 1/2.
La misma idea resuelve √(x²+x)-x cuando x→+∞. Al racionalizar obtenemos x/[√(x²+x)+x]=1/[√(1+1/x)+1]→1/2. El paso usa x>0: para x negativos hay que recordar √(x²)=|x|.
Límites en el infinito y términos dominantes
En (2x²+1)/(x²+3) dividimos todos los términos por x²: (2+1/x²)/(1+3/x²)→2, tanto en +∞ como en -∞. La recta y=2 es asíntota horizontal en ambos sentidos.
Para cocientes de polinomios: grado del numerador menor → límite 0; grados iguales → cociente de coeficientes principales; grado mayor → estudiar potencia dominante y signo, separadamente en cada sentido. Por ejemplo, x³/x²=x va a +∞ por la derecha y a -∞ por la izquierda.
Exponenciales y logaritmos necesitan comparaciones específicas: para x→+∞, a>0 y b>1, ln x / x^a→0 y x^a / b^x→0. No se comparan «grados» de funciones que no son polinomios.
Límites notables: reconocer la estructura
Con ángulos en radianes, lim(x→0) sin x / x=1. A partir de 1-cos x=2 sin²(x/2), obtenemos (1-cos x)/x²=(1/2)[sin(x/2)/(x/2)]²→1/2.
Otros límites fundamentales cuando x→0 son ln(1+x)/x→1, (e^x-1)/x→1 y (1+x)^(1/x)→e, dentro del dominio. Para α real fijo, [(1+x)^α-1]/x→α, con base positiva cerca de cero.
Ejemplo: sin(3x)/x=3·sin(3x)/(3x)→3. De igual manera aparece un factor 3 en ln(1+3x)/x y el resultado es 3. Encontrar un seno o un logaritmo no basta: deben corresponder argumentos, denominadores y factores.
Comparación, oscilaciones y ausencia de límite
Como |sin(1/x)|≤1, tenemos |x sin(1/x)|≤|x|. Las cotas -|x| y |x| tienden a 0: el teorema del sándwich da x sin(1/x)→0, aunque la función oscile.
En cambio, sin(1/x) no tiene límite en cero. Las sucesiones positivas x_n=1/(π/2+2πn) y z_n=1/(3π/2+2πn) tienden ambas a 0, pero sus valores son siempre 1 y -1 respectivamente. Ni siquiera existe el límite derecho; a la izquierda se obtiene una contradicción análoga.
Esta es una justificación matemática, más sólida que una curva que parece agitada. El laboratorio también presenta muestras de ambas sucesiones.
Por qué una tabla puede engañar
Una tabla contiene un número finito de valores; un límite se refiere a todos los puntos suficientemente cercanos. Muestras mal elegidas pueden ocultar oscilaciones, huecos o detalles estrechos. Los gráficos también tienen resolución finita.
Además, el ordenador redondea. En (1-cos x)/x², para x muy pequeño, cos x puede redondearse a 1 y la resta pierde información. La expresión equivalente 2[sin(x/2)/x]² es más estable. El caso guiado la usa; la entrada libre evalúa la fórmula escrita y puede mostrar el problema. En una exponencial con entradas muy negativas, un 0 numérico puede ser redondeo, no un cero exacto.
El significado preciso: primero ε, después δ
Escribir lim(x→a) f(x)=L significa: para toda precisión ε>0 pedida en las ordenadas, podemos encontrar δ>0 tal que, para todo x del dominio con 0<|x-a|<δ, se cumpla |f(x)-L|<ε.
δ puede depender de ε, no del x particular que comprobamos. La condición 0<|x-a| excluye a. Para f(x)=2x+1, a=2 y L=5: |f(x)-5|=2|x-2|. Basta elegir δ=ε/2. Si ε=0,1, tomamos δ=0,05.
La banda ε del laboratorio representa la exigencia; comprobar una sola muestra no es una prueba. En el caso afín, la identidad anterior garantiza todos los puntos del intervalo.
Un procedimiento razonado sin usar enseguida las derivadas
- Identifica punto o sentido en el infinito y dominio disponible.
- Separa los lados y comprueba signos cuando haga falta.
- Prueba la sustitución solo si está justificada.
- Reconoce la posible forma indeterminada.
- Elige una transformación: factorización, conjugado, término dominante, límite notable o comparación.
- Concluye indicando valor, lado y condiciones; compara los laterales.
- Usa gráfico y tabla como comprobación, no como única justificación.
La regla de l’Hôpital usa derivadas y tiene hipótesis precisas; no es necesaria para estos primeros ejemplos. La retomaremos en el recorrido sobre derivadas.
Explorar y conectar con el estudio de funciones
Elige uno de los dieciséis casos guiados y mueve el control: cerca de un punto, x=a-h y x=a+h con h decreciente; en el infinito crece |x|. Inicia la animación, detenla y compara abscisas, ordenadas y f(a). Los casos en el infinito usan una escala logarítmica para |x|, expresamente indicada en el eje.
Activa el zoom cerca del punto y cambia ε para mostrar una banda alrededor del límite finito conocido. En exploración libre, un L opcional es solo tu hipótesis: el laboratorio no certifica automáticamente un límite. Cada caso guiado acompaña las muestras con una explicación analítica.
Los límites sirven para estudiar continuidad, huecos, asíntotas y bordes del dominio. La derivada también nacerá de un límite: el cociente incremental.
Estudio de funciones: el recorrido completo · Abrir el laboratorio de estudio de funciones
Doce ejercicios: intenta resolverlos antes de abrir la solución
1. x^2+1
Calcula el límite cuando x→2 y justifica la sustitución.
Mostrar la solución explicada
Es un polinomio continuo en ℝ: el límite vale 2²+1=5 y coincide con f(2).
2. (x^2-4)/(x-2)
Calcula el límite cuando x→2 sin rellenar el punto excluido.
Mostrar la solución explicada
Para x≠2 el cociente es x+2, así que el límite es 4. La función original sigue sin estar definida en 2.
3. (sqrt(1+x)-1)/x
Resuelve la forma 0/0 en cero.
Mostrar la solución explicada
Usa el conjugado: para x≠0 la expresión vale 1/(√(1+x)+1), que tiende a 1/2.
4. abs(x)/x
Compara los límites laterales en cero.
Mostrar la solución explicada
Para x<0 vale -1, para x>0 vale 1. Los laterales son distintos: no existe límite bilateral.
5. 1/(x-2)^2
¿Qué sucede a ambos lados de 2?
Mostrar la solución explicada
El denominador es positivo y tiende a 0 por ambos lados; el numerador es 1. Los límites laterales y bilateral valen +∞. x=2 es asíntota vertical.
6. (3*x^2-x)/(2*x^2+1)
Calcula el límite cuando x→+∞.
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Divide por x²: (3-1/x)/(2+1/x²)→3/2. No sustituyas ∞ como si fuera un número.
7. (1-cos(2*x))/x^2
Usa un límite notable en cero.
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1-cos(2x)=2sin²x. El cociente es 2(sin x/x)² y tiende a 2. Numéricamente, la expresión original puede perder precisión.
8. ln(1+3*x)/x
Reconoce la estructura en cero.
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Escribe 3·ln(1+3x)/(3x). El segundo factor tiende a 1, así que el límite vale 3; cerca de cero debe cumplirse 1+3x>0.
9. x*sin(1/x)
Justifica el límite aunque la función oscile.
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|x sin(1/x)|≤|x|→0. La comparación demuestra el límite 0; no basta decir que la oscilación parece pequeña.
10. sin(1/x)
¿Por qué las muestras de una tabla no bastan aquí?
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Las sucesiones positivas x_n=1/(π/2+2πn) y z_n=1/(3π/2+2πn) tienden a cero, pero dan 1 y -1. No existe límite derecho, por tanto tampoco bilateral.
11. 3*x-2
Demuestra el límite 1 cuando x→1 eligiendo δ según ε.
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|3x-2-1|=3|x-1|. Para todo ε>0 elige δ=ε/3: 0<|x-1|<δ implica |f(x)-1|<ε.
12. sqrt(x^2+4*x)-x
Resuelve la forma ∞-∞ cuando x→+∞.
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Racionaliza: 4x/(√(x²+4x)+x)=4/(√(1+4/x)+1), para x>0. El límite es 2.