Un limite risponde alla domanda: verso quale comportamento si dirige f(x) quando x si avvicina a un punto, oppure si allontana senza fine? Non chiede soltanto quanto vale la funzione nel punto. Partiamo da questa differenza, poi impariamo a calcolare e a motivare le risposte.
Prima l’idea: avvicinarsi non significa arrivare
Considera f(x)=2x+1 vicino a x=2. Da sinistra: x=1,9 → f(x)=4,8; x=1,99 → 4,98. Da destra: x=2,1 → 5,2; x=2,01 → 5,02. Le ascisse si avvicinano a 2 e le ordinate a 5.
lim(x→2) (2x+1)=5
Il limite non è l’ultimo valore di una tabella: non esiste un «ultimo numero prima di 2». Descrive ciò che accade quando possiamo avvicinarci quanto vogliamo.
Leggere la scrittura del limite
In lim(x→a) f(x)=L, a è il punto verso cui va la variabile; L è il valore verso cui va la funzione. Sono due quantità diverse: non devono coincidere. x→a⁻ significa avvicinamento con x<a; x→a⁺ con x>a.
Il simbolo ∞ non è un numero da sostituire. x→+∞ significa che x diventa arbitrariamente grande; x→-∞ che diventa negativo con valore assoluto arbitrariamente grande. Invece f(x)→+∞ riguarda le ordinate, non le ascisse.
Il limite e il valore f(a) non sono la stessa cosa
Per f(x)=(x²-1)/(x-1) il punto x=1 è escluso. Per x≠1 possiamo fattorizzare e semplificare: f(x)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1. Dunque il limite in 1 è 2, anche se f(1) non esiste.
Se costruiamo g assegnando g(1)=5 e mantenendo g(x)=x+1 per x≠1, il limite resta 2: cambiare il solo punto non cambia i valori vicini. Nel laboratorio confronta «Buco» e «Valore assegnato diverso»: un cerchietto vuoto e un punto pieno rappresentano informazioni diverse.
Limiti laterali: devono raccontare la stessa storia
Quando il dominio consente entrambi gli avvicinamenti, il limite bilatero finito L esiste se e solo se il limite sinistro e il destro esistono e sono entrambi L. Vale un confronto analogo per un unico limite infinito con lo stesso segno.
Per f(x)=-1 se x<0; f(x)=1 se x≥0, il limite sinistro in zero è -1 e il destro è 1. Il bilatero non esiste, sebbene f(0)=1. Per 1/x in zero troviamo -∞ a sinistra e +∞ a destra: non possiamo chiamare il risultato semplicemente «infinito».
Per 1/x² entrambi i lati tendono a +∞. Diciamo che il limite è +∞, distinguendolo da un limite finito.
Il dominio viene prima dell’avvicinamento
Ci si avvicina soltanto attraverso valori ammessi. Per √x, il dominio è [0,+∞): in zero studiamo il limite destro, pari a 0. Non inventiamo valori della radice per x negativi. Per ln x il dominio è (0,+∞) e il limite destro in zero è -∞.
Il punto a deve essere un punto di accumulazione del dominio: devono esserci valori ammessi diversi da a arbitrariamente vicini. Le esclusioni restano valide anche dopo una semplificazione algebrica. Nei casi con un solo lato disponibile, specifichiamo quel lato senza attribuire un inesistente avvicinamento all’altro.
Quando si può sostituire: la continuità
In un punto interno del dominio, f è continua in a quando f(a) è definita e lim(x→a) f(x)=f(a). Negli estremi inclusi si usa il lato disponibile. Polinomi, esponenziali e funzioni trigonometriche elementari sono continui sul rispettivo dominio; somme, prodotti e composizioni conservano la continuità dove sono definiti.
Per lim(x→2)(x²+1) sostituiamo e otteniamo 5. Per un quoziente si può sostituire se il denominatore nel punto non è zero. La sostituzione è una conseguenza della continuità, non una regola da applicare senza controlli.
Le regole di calcolo e le loro condizioni
Se f→L e g→M con L e M finiti, allora f+g→L+M, cf→cL, fg→LM. Per il quoziente f/g→L/M occorre M≠0. Per radici e composizioni si controllano dominio e continuità della funzione esterna.
Un denominatore che tende a zero non implica da solo un limite infinito: il numeratore potrebbe annullarsi, il segno potrebbe cambiare o il comportamento oscillare. Anche le regole con quantità infinite richiedono ipotesi; ∞-∞ non si tratta come una sottrazione ordinaria.
Le forme indeterminate non sono risposte
Le forme principali sono 0/0, ∞/∞, ∞-∞, 0·∞, 1^∞, 0^0 e ∞^0. Descrivono i comportamenti dei pezzi, ma non determinano il risultato finale.
Vicino a zero, x/x→1, x²/x→0 e x/x²=1/x ha laterali diversi: tutti partono da 0/0. Una forma indeterminata invita a trasformare l’espressione, non ad assegnarle automaticamente 0 o 1.
Le scritture di potenze qui indicano forme di limite, non assegnazioni di valore alle espressioni numeriche 0⁰ o 1^∞.
Primo metodo: scomporre e semplificare
Calcoliamo lim(x→2)(x²-4)/(x-2). La sostituzione dà 0/0. Scomponiamo il numeratore: x²-4=(x-2)(x+2). Per x≠2 il quoziente vale x+2, quindi il limite è 4.
Non abbiamo reso definita la funzione in 2: abbiamo sostituito con un’espressione uguale nei punti vicini diversi da 2, sufficienti per il limite. Si cancellano fattori comuni, non addendi: non si può cancellare x in (x+1)/x.
Secondo metodo: usare il coniugato
Per lim(x→0)(√(1+x)-1)/x compare 0/0. Moltiplichiamo numeratore e denominatore per √(1+x)+1:
(√(1+x)-1)/x = [(1+x)-1]/[x(√(1+x)+1)] = 1/[√(1+x)+1], per x≠0 nel dominio. Ora sostituiamo: limite 1/2.
La stessa idea risolve √(x²+x)-x per x→+∞. Razionalizzando otteniamo x/[√(x²+x)+x]=1/[√(1+1/x)+1]→1/2. Il passaggio usa x>0: per x negativi bisogna ricordare che √(x²)=|x|.
Limiti all’infinito e confronto dei termini dominanti
Per (2x²+1)/(x²+3) dividiamo tutti i termini per x²: (2+1/x²)/(1+3/x²)→2, sia a +∞ sia a -∞. La retta y=2 è un asintoto orizzontale in entrambi i versi.
Per quozienti di polinomi: grado del numeratore minore → limite 0; gradi uguali → rapporto dei coefficienti principali; grado maggiore → si studiano potenza dominante e segno, separatamente nei due versi. Per esempio x³/x²=x va a +∞ a destra e a -∞ a sinistra.
La crescita delle esponenziali e dei logaritmi richiede confronti specifici: per x→+∞, a>0 e b>1, ln x / x^a→0 e x^a / b^x→0. Non si confrontano «gradi» di funzioni che non sono polinomi.
Limiti notevoli: riconoscere la struttura
Con angoli in radianti: lim(x→0) sin x / x=1. Da 1-cos x=2 sin²(x/2) segue (1-cos x)/x²=(1/2)[sin(x/2)/(x/2)]²→1/2.
Altri fondamentali: ln(1+x)/x→1, (e^x-1)/x→1 e (1+x)^(1/x)→e per x→0, nelle condizioni di dominio. Per un α reale fissato, [(1+x)^α-1]/x→α, con base positiva vicino a zero.
Esempio: sin(3x)/x=3·sin(3x)/(3x)→3. Per ln(1+3x)/x raccogliamo allo stesso modo il fattore 3 e otteniamo 3. Non basta trovare un seno o un logaritmo: argomento, denominatore e fattori devono corrispondere.
Confronto, oscillazioni e limiti che non esistono
Poiché |sin(1/x)|≤1, abbiamo |x sin(1/x)|≤|x|. I due estremi -|x| e |x| vanno a 0: per il teorema del confronto anche x sin(1/x)→0, pur oscillando.
Invece sin(1/x) non ha limite in zero. Le successioni positive x_n=1/(π/2+2πn) e z_n=1/(3π/2+2πn) tendono entrambe a 0, ma i valori sono rispettivamente sempre 1 e -1. Già il limite destro non esiste; a sinistra si ottiene un’analoga contraddizione.
Questa è una motivazione matematica, più forte di una curva che sembra agitata. Nel laboratorio trovi anche i campioni delle due successioni.
Perché una tabella può ingannare
Una tabella contiene un numero finito di valori; un limite riguarda tutti i punti sufficientemente vicini. Campioni scelti male possono nascondere oscillazioni, buchi o dettagli stretti. Anche la grafica ha una risoluzione finita.
Inoltre il computer arrotonda. In (1-cos x)/x², per x molto piccolo cos x può essere arrotondato a 1: la sottrazione perde informazione. La forma equivalente 2[sin(x/2)/x]² è più stabile. L’esempio guidato usa questa forma; l’inserimento libero valuta la formula scritta e può mostrare il problema. Per l’esponenziale a grandi valori negativi, un risultato numerico 0 può essere un arrotondamento, non uno zero esatto della funzione.
Il significato preciso: prima ε, poi δ
Scrivere lim(x→a) f(x)=L significa: per ogni precisione ε>0 richiesta sulle ordinate, possiamo trovare δ>0 tale che, per tutti gli x del dominio con 0<|x-a|<δ, valga |f(x)-L|<ε.
La scelta di δ può dipendere da ε, non dal singolo x che controlliamo. La condizione 0<|x-a| esclude il punto a. Per f(x)=2x+1, a=2, L=5, abbiamo |f(x)-5|=2|x-2|. Basta scegliere δ=ε/2. Se ε=0,1, prendiamo δ=0,05.
La banda ε nel laboratorio rende visibile la richiesta; il confronto di un solo campione con la banda non è una dimostrazione. Nell’esempio lineare, invece, l’identità precedente garantisce tutti i punti dell’intervallo.
Una procedura ragionata, senza usare subito le derivate
- Individua punto o verso all’infinito e dominio disponibile.
- Se serve, separa i due lati e controlla i segni.
- Prova la sostituzione soltanto quando è lecita.
- Riconosci l’eventuale forma indeterminata.
- Scegli una trasformazione: fattorizzazione, coniugato, termine dominante, limite notevole o confronto.
- Concludi specificando valore, lato e condizioni; confronta i laterali.
- Usa grafico e tabella come controllo, non come unica giustificazione.
La regola di de l’Hôpital usa le derivate e ha ipotesi precise: non serve introdurla per risolvere questi primi esempi. La riprenderemo nel percorso sulle derivate.
Esplora, poi collega allo studio di funzione
Scegli uno dei sedici casi guidati e sposta il cursore: vicino a un punto, x=a-h e x=a+h con h che diminuisce; all’infinito cresce |x|. Avvia l’animazione, fermala e confronta ascisse, ordinate e f(a). Il grafico degli esempi all’infinito usa una scala logaritmica per |x|, dichiarata sull’asse.
Attiva lo zoom vicino al punto e modifica ε per visualizzare una banda intorno al limite finito noto. Nell’esplorazione libera, l’eventuale L è soltanto una tua ipotesi: il laboratorio non certifica automaticamente il limite. Ogni esempio guidato affianca una spiegazione analitica ai campioni.
I limiti servono nello studio di funzione per continuità, buchi, asintoti e comportamento ai bordi. La derivata nascerà a sua volta da un limite: il rapporto incrementale.
Studio di funzione: il percorso completo · Apri il laboratorio dello studio di funzione
Dodici esercizi: prima prova, poi apri la soluzione
1. x^2+1
Calcola il limite per x→2 e spiega perché puoi sostituire.
Mostra la soluzione ragionata
È un polinomio, continuo su ℝ: il limite vale 2²+1=5 e coincide con f(2).
2. (x^2-4)/(x-2)
Calcola il limite per x→2 senza assegnare un valore al punto escluso.
Mostra la soluzione ragionata
Per x≠2 il quoziente è x+2; quindi il limite è 4. La funzione originale resta non definita in 2.
3. (sqrt(1+x)-1)/x
Risolvi la forma 0/0 in zero.
Mostra la soluzione ragionata
Usa il coniugato: per x≠0 l’espressione vale 1/(√(1+x)+1), che tende a 1/2.
4. abs(x)/x
Confronta i limiti laterali in zero.
Mostra la soluzione ragionata
Per x<0 vale -1, per x>0 vale 1. I laterali sono diversi: il limite bilatero non esiste.
5. 1/(x-2)^2
Che cosa accade nei due lati di 2?
Mostra la soluzione ragionata
Il denominatore è positivo e tende a 0 da entrambi i lati, il numeratore è 1: entrambi i laterali e il bilatero valgono +∞. x=2 è asintoto verticale.
6. (3*x^2-x)/(2*x^2+1)
Calcola il limite per x→+∞.
Mostra la soluzione ragionata
Dividi per x²: (3-1/x)/(2+1/x²)→3/2. Non sostituire ∞ come se fosse un numero.
7. (1-cos(2*x))/x^2
Usa un limite notevole in zero.
Mostra la soluzione ragionata
1-cos(2x)=2sin²x. Il quoziente è 2(sin x/x)² e tende a 2. Nel calcolo numerico la forma originale può perdere precisione.
8. ln(1+3*x)/x
Riconosci la struttura in zero.
Mostra la soluzione ragionata
Scrivi 3·ln(1+3x)/(3x). Il secondo fattore tende a 1, quindi il limite è 3; vicino a zero serve 1+3x>0.
9. x*sin(1/x)
Giustifica il limite anche se la funzione oscilla.
Mostra la soluzione ragionata
|x sin(1/x)|≤|x|→0. Il confronto dimostra che il limite è 0; non basta dire che l’oscillazione sembra piccola.
10. sin(1/x)
Perché i campioni di una tabella non bastano in questo caso?
Mostra la soluzione ragionata
Le due successioni positive x_n=1/(π/2+2πn) e z_n=1/(3π/2+2πn) tendono a zero ma danno 1 e -1. Non esiste il limite destro, dunque neppure il bilatero.
11. 3*x-2
Dimostra il limite 1 per x→1 scegliendo δ in funzione di ε.
Mostra la soluzione ragionata
|3x-2-1|=3|x-1|. Per ogni ε>0 scegli δ=ε/3: 0<|x-1|<δ implica |f(x)-1|<ε.
12. sqrt(x^2+4*x)-x
Risolvi la forma ∞-∞ per x→+∞.
Mostra la soluzione ragionata
Razionalizza: 4x/(√(x²+4x)+x)=4/(√(1+4/x)+1), per x>0. Il limite è 2.