Une suite décrit des quantités qui évoluent par étapes numérotées : un capital chaque année, une erreur à chaque itération ou une somme après chaque nouveau terme. Calculer les premières valeurs ne suffit pas : que se passe-t-il lorsque le nombre d’étapes augmente sans limite ?
Laboratoire suites et Taylor · Index du parcours
1. Une fonction à indice entier
On note (aₙ) la suite et aₙ son terme d’indice n. Ici n commence à 1. La règle aₙ=1/n donne 1, 1/2, 1/3, … . Dans (4,1/4), 4 est le numéro de l’étape et 1/4 le résultat. Le graphe contient des points isolés : les relier ne crée aucun terme intermédiaire.
Une liste finie ne détermine pas une règle unique : une infinité de formules coïncident sur dix termes puis évoluent différemment.
2. Formule explicite et récurrence
La formule explicite aₙ=2n+1 donne directement a₁₀₀=201. La même suite est définie par a₁=3, aₙ₊₁=aₙ+2 : il faut le terme précédent. Sans condition initiale, une récurrence ne détermine pas une suite unique.
Pour a₁=1, aₙ₊₁=√(2+aₙ), on obtient 1, √3, √(2+√3), … . Une équation pour une limite éventuelle ne démontre pas son existence.
3. Suites arithmétiques et géométriques
Une suite arithmétique a une différence constante : aₙ=a₁+(n−1)d. Si d>0 elle tend vers +∞ ; si d<0 vers −∞ ; si d=0 elle est constante. Une géométrique vérifie aₙ=a₁qⁿ⁻¹. Le laboratoire utilise qⁿ, de premier terme q.
Pour qⁿ : |q|<1 donne la limite 0 ; q=1 donne 1 ; q=−1 oscille ; q>1 tend vers +∞ ; q<−1 oscille avec amplitude croissante. Pour q=0 et n≥1 tout est nul. Dans la forme générale a₁ compte aussi : si a₁=0, toute la suite est nulle.
4. La limite : tous les termes à partir d’un rang
aₙ→L ⇔ pour tout ε>0 il existe un entier N tel que n≥N implique |aₙ−L|<ε.
ε est la précision ; N indique à partir de quand elle est respectée pour toujours. Pour 1/n et ε=0,05 il faut n>20 : N=21. a₂₀=0,05 est sur le bord, exclu par l’inégalité stricte.
La bande (L−ε,L+ε) est ouverte. Changer ε change N, pas la limite. Le laboratoire calcule N par une formule démontrée, pas par le premier point dans la bande. Le graphe peut finir avant N sans contredire la convergence. Une limite finie est unique.
5. Converger, diverger, osciller
Converger signifie avoir une limite finie. Pour n→+∞, tout seuil M est définitivement dépassé : aucun terme n’est le nombre « infini ». Une suite non convergente peut osciller sans tendre vers l’un des infinis, comme (−1)ⁿ.
Être bornée ne suffit pas : (−1)ⁿ est bornée. Changer de signe n’empêche pas de converger : (−1)ⁿ/n→0. Certains textes appellent divergente toute suite non convergente, d’autres seulement les limites infinies : nous précisons le comportement.
6. Trois techniques pour les limites
Puissance dominante : (2n+1)/(n+3)=(2+1/n)/(1+3/n)→2. L’erreur est 5/(n+3) : n>5/ε−3 suffit.
Rationaliser : √(n²+n)−n=n/[√(n²+n)+n]=1/[√(1+1/n)+1]→1/2. « ∞−∞ » n’est pas un calcul.
Encadrer : −1/n≤sin(n)/n≤1/n. Les bornes tendent vers 0, donc le centre aussi. Les règles des limites finies pour sommes, produits et quotients s’appliquent ; un quotient exige une limite non nulle au dénominateur.
7. Monotonie et bornes : démonstration
Une suite réelle croissante et majorée converge vers son supremum ; une décroissante et minorée vers son infimum. « Croissante » peut inclure des égalités.
Pour a₁=1, aₙ₊₁=√(2+aₙ), si 0≤aₙ≤2 alors 0≤aₙ₊₁≤2 : la récurrence garde les termes dans [0,2]. De plus √(2+aₙ)≥aₙ équivaut ici à (2−aₙ)(aₙ+1)≥0. La suite est croissante et majorée, donc convergente.
Alors seulement L=√(2+L) : L²−L−2=0 donne 2 ou −1. L≥0 exclut −1. Enfin 2−aₙ₊₁=(2−aₙ)/(2+aₙ₊₁)≤(2−aₙ)/3, donc 0≤2−aₙ≤3⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ : l’erreur est aussi contrôlée.
8. Sous-suites et critère de Cauchy
Une sous-suite choisit des indices strictement croissants n₁<n₂<… . Si aₙ→L toute sous-suite a cette limite. Pour (−1)ⁿ, les termes pairs valent 1 et les impairs −1 : deux limites différentes prouvent l’absence de limite globale. Une seule sous-suite convergente ne suffit pas.
Dans ℝ, converger équivaut à être de Cauchy : pour tout ε>0 il existe N tel que m,n≥N implique |aₙ−aₘ|<ε. On compare les termes éloignés sans connaître L. Le critère porte sur toute la queue infinie, pas un échantillon fini.
9. Suite et série ne sont pas synonymes
On étudie une série par ses sommes partielles Sₙ=a₁+…+aₙ. Pour aₙ=1/2ⁿ, Sₙ=1−1/2ⁿ→1 : les termes tendent vers 0, les sommes vers 1.
Si une série converge, aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁→0. La réciproque est fausse : 1/n→0, mais Hₙ=1+1/2+…+1/n→+∞. Entre 2ᵏ⁻¹+1 et 2ᵏ, on a 2ᵏ⁻¹ termes au moins égaux à 1/2ᵏ : chaque bloc ajoute au moins 1/2, donc les sommes ne sont pas bornées.
Pour x fixé, les polynômes de Taylor évalués en x, T₀(x), T₁(x), …, forment aussi une suite de sommes partielles. Tend-elle réellement vers f(x) ?
10. Le nombre e et les limites du calculateur
(1+1/n)ⁿ croît vers e≈2,718281828. De u−u²/2≤ln(1+u)≤u pour u≥0 découle 0≤1−n ln(1+1/n)≤1/(2n). Avec 1−e⁻ᵛ≤v pour v≥0, on obtient 0<e−(1+1/n)ⁿ≤e/(2n)<3/(2n). Cette borne simple, non optimale, donne un rang N suffisant.
Le calculateur a une précision finie : la récurrence des racines peut afficher 2 alors que la valeur mathématique est encore inférieure. Zéro affiché ne signifie pas erreur exactement nulle.
Dans le laboratoire choisissez un des dix cas, puis Explorer et Lecture pour révéler les termes. Changez ε pour voir la bande et N ; comparez 1/n aux sommes harmoniques. La classification dépend de la formule guidée, pas des points observés. Ce n’est pas un solveur de suites arbitraires.
Exercices : essayer avant de révéler
1. Trouver a₁₀ pour aₙ=3n−2.
Afficher la solution expliquée
3·10−2=28. L’indice n’est pas la valeur.
2. Pour 1/n, trouver N avec ε=0,01.
3. Pour (2n+1)/(n+3), trouver la limite et N avec ε=0,1.
4. (−0,8)ⁿ converge-t-elle ?
5. Être bornée suffit-il ?
Afficher la solution expliquée
Non : les sous-suites paire et impaire de (−1)ⁿ ont des limites différentes, 1 et −1.
6. Calculer la limite de √(n²+n)−n.
Afficher la solution expliquée
En rationalisant : 1/[√(1+1/n)+1]→1/2.
7. Si aₙ→0, Σaₙ converge-t-elle toujours ?
Afficher la solution expliquée
Non : les termes harmoniques tendent vers 0, mais chaque bloc entre puissances de 2 ajoute au moins 1/2. Les sommes ne sont pas bornées.
8. Comparer les limites de 1/2ⁿ et Sₙ=Σₖ₌₁ⁿ1/2ᵏ.
Afficher la solution expliquée
Le terme tend vers 0 ; Sₙ=1−1/2ⁿ tend vers 1. Ce sont deux suites différentes.
Taylor avec reste : approcher et contrôler l’erreur · Revoir les limites · Revoir les dérivées