Una sucesión describe cantidades que cambian por pasos numerados: un capital cada año, un error en cada iteración o una suma tras cada nuevo sumando. Calcular los primeros valores no basta: queremos entender qué ocurre cuando el número de pasos crece sin límite.
Laboratorio de sucesiones y Taylor · Índice del recorrido
1. Una función con índice entero
Escribimos (aₙ) para la sucesión y aₙ para el término de índice n. Aquí n empieza en 1. La regla aₙ=1/n da 1, 1/2, 1/3, … . En (4,1/4), 4 es el número del paso y 1/4 el resultado. La gráfica contiene puntos aislados: unirlos no crea términos intermedios.
Una lista finita no determina una regla única: infinitas fórmulas coinciden en diez términos y se comportan de forma distinta después.
2. Fórmula explícita y recurrencia
La fórmula explícita aₙ=2n+1 da a₁₀₀=201 directamente. La misma sucesión se define por a₁=3, aₙ₊₁=aₙ+2: necesitamos el término anterior. Sin dato inicial una recurrencia no determina una sucesión única.
Para a₁=1, aₙ₊₁=√(2+aₙ), obtenemos 1, √3, √(2+√3), … . Una ecuación para un posible límite no demuestra su existencia.
3. Progresiones aritméticas y geométricas
Una aritmética tiene diferencia constante: aₙ=a₁+(n−1)d. Si d>0 tiende a +∞; si d<0 a −∞; si d=0 es constante. Una geométrica tiene aₙ=a₁qⁿ⁻¹. El laboratorio usa qⁿ, cuyo primer término es q.
Para qⁿ: |q|<1 da límite 0; q=1 da 1; q=−1 oscila; q>1 tiende a +∞; q<−1 oscila con amplitud creciente. Para q=0 y n≥1 todo es 0. En la forma general también importa a₁: si a₁=0, toda la sucesión es nula.
4. El límite: todos los términos desde un índice
aₙ→L ⇔ para todo ε>0 existe un entero N tal que n≥N implica |aₙ−L|<ε.
ε es la precisión; N indica desde cuándo se cumple para siempre. Para 1/n y ε=0,05 necesitamos n>20: N=21. a₂₀=0,05 está en el borde, excluido por la desigualdad estricta.
La banda (L−ε,L+ε) es abierta. Cambiar ε cambia N, no el límite. El laboratorio obtiene N mediante una fórmula demostrada, no por el primer punto dentro. La gráfica puede terminar antes de N sin contradecir la convergencia. Un límite finito es único.
5. Converger, divergir, oscilar
Converger significa tener límite finito. Para n→+∞ se supera definitivamente cualquier umbral M: ningún término es el número «infinito». Una sucesión no convergente puede oscilar sin tender a ninguno de los infinitos, como (−1)ⁿ.
Estar acotada no basta: (−1)ⁿ lo está. Cambiar de signo no impide converger: (−1)ⁿ/n→0. Algunos textos llaman divergente a toda no convergente, otros solo a límites infinitos: aquí especificamos el comportamiento.
6. Tres técnicas para los límites
Potencia dominante: (2n+1)/(n+3)=(2+1/n)/(1+3/n)→2. El error es 5/(n+3): basta n>5/ε−3.
Racionalizar: √(n²+n)−n=n/[√(n²+n)+n]=1/[√(1+1/n)+1]→1/2. «∞−∞» no es calcular.
Encajar: −1/n≤sin(n)/n≤1/n. Ambos extremos tienden a 0, por tanto el centro también. Se aplican las reglas de límites finitos de sumas, productos y cocientes; en un cociente el límite del denominador debe ser no nulo.
7. Monotonía y acotación: demostración
Una sucesión real creciente y acotada superiormente converge al supremo; una decreciente y acotada inferiormente al ínfimo. «Creciente» puede incluir igualdades.
Para a₁=1, aₙ₊₁=√(2+aₙ), si 0≤aₙ≤2 entonces 0≤aₙ₊₁≤2: por inducción los términos quedan en [0,2]. Además √(2+aₙ)≥aₙ equivale aquí a (2−aₙ)(aₙ+1)≥0. Es creciente y acotada, luego converge.
Solo ahora L=√(2+L): L²−L−2=0 da 2 o −1. L≥0 excluye −1. Finalmente 2−aₙ₊₁=(2−aₙ)/(2+aₙ₊₁)≤(2−aₙ)/3, de modo que 0≤2−aₙ≤3⁻⁽ⁿ⁻¹⁾: también controlamos el error.
8. Subsucesiones y criterio de Cauchy
Una subsucesión elige índices estrictamente crecientes n₁<n₂<… . Si aₙ→L toda subsucesión tiene ese límite. En (−1)ⁿ los términos pares valen 1 y los impares −1: dos límites distintos prueban que no hay límite global. Una sola subsucesión convergente no basta.
En ℝ, converger equivale a ser de Cauchy: para todo ε>0 existe N tal que m,n≥N implica |aₙ−aₘ|<ε. Comparamos términos lejanos sin conocer L. El criterio afecta a toda la cola infinita, no a una muestra finita.
9. Sucesión y serie no son sinónimos
Una serie se estudia por sus sumas parciales Sₙ=a₁+…+aₙ. Para aₙ=1/2ⁿ, Sₙ=1−1/2ⁿ→1: los términos tienden a 0, las sumas a 1.
Si una serie converge, aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁→0. El recíproco es falso: 1/n→0, pero Hₙ=1+1/2+…+1/n→+∞. Entre 2ᵏ⁻¹+1 y 2ᵏ hay 2ᵏ⁻¹ términos de al menos 1/2ᵏ: cada bloque añade al menos 1/2, luego las sumas no están acotadas.
Para x fijo, los polinomios de Taylor evaluados en x, T₀(x), T₁(x), …, también forman una sucesión de sumas parciales. ¿Tienden realmente a f(x)?
10. El número e y los límites del ordenador
(1+1/n)ⁿ crece hacia e≈2,718281828. De u−u²/2≤ln(1+u)≤u para u≥0 resulta 0≤1−n ln(1+1/n)≤1/(2n). Con 1−e⁻ᵛ≤v para v≥0 se obtiene 0<e−(1+1/n)ⁿ≤e/(2n)<3/(2n). Esta cota sencilla, no óptima, da un N suficiente.
El ordenador tiene precisión finita: la recurrencia de raíces puede mostrar 2 aunque el valor matemático siga siendo menor. Cero mostrado no significa error exactamente nulo.
En el laboratorio elige uno de diez casos, pulsa Explorar y Reproducir para revelar los términos. Cambia ε para ver banda y N; compara 1/n con las sumas armónicas. La clasificación depende de la fórmula guiada, no de puntos observados. No es un solucionador de sucesiones arbitrarias.
Ejercicios: intenta antes de revelar
1. Halla a₁₀ para aₙ=3n−2.
Mostrar la solución razonada
3·10−2=28. El índice no es el valor.
2. Para 1/n, halla N con ε=0,01.
3. Para (2n+1)/(n+3), halla límite y N con ε=0,1.
4. ¿Converge (−0,8)ⁿ?
5. ¿Estar acotada basta?
Mostrar la solución razonada
No: las subsucesiones pares e impares de (−1)ⁿ tienen límites distintos, 1 y −1.
6. Calcula el límite de √(n²+n)−n.
Mostrar la solución razonada
Racionalizando: 1/[√(1+1/n)+1]→1/2.
7. Si aₙ→0, ¿siempre converge Σaₙ?
Mostrar la solución razonada
No: los términos armónicos tienden a 0, pero cada bloque entre potencias de 2 añade al menos 1/2. Las sumas no están acotadas.
8. Compara los límites de 1/2ⁿ y Sₙ=Σₖ₌₁ⁿ1/2ᵏ.
Mostrar la solución razonada
El término tiende a 0; Sₙ=1−1/2ⁿ tiende a 1. Son sucesiones distintas.
Taylor con resto: aproximar y controlar el error · Repasa los límites · Repasa las derivadas