Dire « environ » ne suffit pas : quelle erreur risque-t-on ? Taylor construit un polynôme avec les dérivées en un point et l’accompagne d’un reste. La question essentielle est où, et avec quelle précision, on peut l’utiliser.
Laboratoire suites et Taylor · Index du parcours
1. De la tangente au polynôme
Près du centre a, T₀(x)=f(a) conserve la valeur ; T₁(x)=f(a)+f′(a)(x−a) conserve aussi la pente. Pour conserver la dérivée seconde, on ajoute f″(a)(x−a)²/2. Ce n’est ni une interpolation en plusieurs points ni une régression : on impose valeur et dérivées au même point.
Le centre a et le point évalué x ne coïncident pas forcément. h=x−a mesure l’éloignement du centre.
2. Pourquoi les factorielles apparaissent
Écrivons P(x)=c₀+c₁(x−a)+…+cₙ(x−a)ⁿ. En a : P(a)=c₀. Après une dérivation : P′(a)=c₁. Après k dérivations : P⁽ᵏ⁾(a)=k!cₖ, car les termes inférieurs disparaissent et les supérieurs contiennent encore x−a.
cₖ=f⁽ᵏ⁾(a)/k!
Tₙ(x)=Σₖ₌₀ⁿ [f⁽ᵏ⁾(a)/k!](x−a)ᵏ
0!=1. Le degré est au plus n : certains coefficients peuvent être nuls. Le cas a=0 est celui de Maclaurin. Pour sin(x), T₂=T₁=x ; l’ordre maximal 2 n’impose pas le degré effectif 2.
3. Formule finie et reste de Lagrange
Une condition suffisante pratique : f possède n+1 dérivées continues sur un intervalle ouvert contenant tout le segment de a à x. Alors, pour x≠a, il existe ξ strictement entre a et x tel que :
f(x)=Tₙ(x)+Rₙ(x)
Rₙ(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x−a)ⁿ⁺¹/(n+1)!
Nous notons Rₙ le reste après Tₙ ; d’autres textes le notent Rₙ₊₁. ξ existe mais reste généralement inconnu. On ne peut pas le remplacer arbitrairement par a ou x. En x=a le reste est nul. La formule finie n’exige pas la convergence d’une série infinie.
4. De l’identité à une majoration garantie
Si |f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)|≤M sur tout le segment de a à x, alors :
|Rₙ(x)|≤M|x−a|ⁿ⁺¹/(n+1)!
M majore la dérivée sur tout le segment, pas en quelques points échantillonnés. L’erreur effective vaut |f(x)−Tₙ(x)| ; la borne peut être beaucoup plus grande. Une borne dépassant la tolérance ne certifie pas la précision, sans prouver que l’approximation soit mauvaise.
Sous les mêmes hypothèses, des intégrations par parties répétées donnent Rₙ(x)=(1/n!)∫ₐˣ f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)(x−t)ⁿdt. Les valeurs absolues et l’intégration de M|x−t|ⁿ donnent la majoration. Cette forme intégrale relie Taylor aux intégrales définies.
5. Trois exemples avec contrôle de l’erreur
e0.2, centre 0, ordre 3. Toutes les dérivées de eˣ valent eˣ. T₃(0,2)=1+0,2+0,2²/2+0,2³/6=1,221333333… . Sur [0 ; 0,2], M=e0.2. Le reste est au plus e0.2·0,2⁴/24≈0,000081427. L’erreur effective est environ 0,000069425, sous la borne.
ln(1,5), centre 0 pour f(x)=ln(1+x), ordre 4. T₄(0,5)=0,5−0,5²/2+0,5³/3−0,5⁴/4≈0,401041667. La dérivée cinquième vaut 24/(1+x)⁵, donc M=24 sur [0 ; 0,5]. La borne vaut 0,5⁵/5=0,00625 ; l’erreur effective environ 0,004423441.
√1,21, centre 0 pour √(1+x), ordre 2. T₂(0,21)=1+0,21/2−0,21²/8=1,0994875. La dérivée troisième vaut 3/[8(1+x)⁵ᐟ²], donc M=3/8. La borne est 0,0005788125 ; la valeur exacte est 1,1 et l’erreur 0,0005125.
6. Choisir l’ordre et le centre
Pour sin(0,1), T₃=x−x³/6. Avec M=1 la borne d’ordre 3 est 0,1⁴/24. Mais T₄=T₃ car le coefficient de x⁴ est nul : le théorème à l’ordre 4 donne la borne plus fine 0,1⁵/120≈8,33·10⁻⁸, sans changer le polynôme.
Pour estimer e1.1, on peut centrer en a=1 : T₂(1,1)=e[1+0,1+0,1²/2]. h vaut 0,1, pas x=1,1. Un centre proche peut demander moins de termes si ses dérivées sont connues.
Pour une tolérance δ, cherchons M|h|ⁿ⁺¹/(n+1)!≤δ. « Trouver l’ordre » explore de 0 à 30 : le premier ordre certifié par cette borne n’est pas forcément le degré effectif minimal donnant une erreur acceptable.
7. Formule finie, série et intervalle de validité
Pour x fixé, Tₙ(x)→f(x) exactement si Rₙ(x)→0 quand n→∞. Avoir toutes les dérivées ne suffit pas. Les séries de eˣ, sin(x), cos(x) représentent leurs fonctions pour tout réel.
Au centre 0, 1/(1−x)=1+x+x²+… seulement pour |x|<1. En x=−1, la fonction vaut 1/2 mais les sommes oscillent ; en x=1 elle est indéfinie. Le reste fini exact est Rₙ=xⁿ⁺¹/(1−x), ce qui permet de vérifier la distinction sans graphe.
ln(1+x)=x−x²/2+x³/3−… représente la fonction pour −1<x≤1 ; en x=1 la convergence ralentit et exige un argument séparé. La série de √(1+x) en 0 représente aussi la fonction aux deux bords −1 et 1. Le laboratoire exclut x=−1 pour racine et logarithme : la borne par dérivées continues sur le segment n’y est pas disponible.
Pour logarithme et racine centrés en a>−1, le rayon vaut 1+a ; pour 1/(1−x), |1−a|. Hors du rayon une formule finie avec reste peut rester valable sur la même branche du domaine, sans assurer la convergence quand n augmente. Les bords exigent une étude séparée.
8. Reste de Peano : une autre limite
Si f est de classe Cⁿ près de a, alors f(x)=Tₙ(x)+o((x−a)ⁿ) lorsque x→a. Cela signifie Rₙ(x)/(x−a)ⁿ→0 : n reste fixe et x approche le centre. Ce n’est pas n→∞ à x fixé, et cela ne fournit pas à lui seul un M numérique pour une distance finie.
Par exemple eˣ=1+x+x²/2+o(x²) donne limₓ→₀(eˣ−1−x)/x²=1/2. Garder seulement 1+x manquerait le premier terme non nul nécessaire.
9. Toutes les dérivées ne suffisent pas
Définissons f(0)=0 et f(x)=e^(−1/x²) pour x≠0. Toutes les dérivées en 0 sont nulles. Hors de 0, chaque dérivée est un polynôme en 1/x multiplié par e^(−1/x²), qui tend vers 0 plus vite que toute puissance ; il en va de même des quotients différentiels en 0.
Tous les Tₙ sont nuls. La série nulle converge partout mais ne représente f qu’en 0 : ailleurs f est positive. Ce cas est séparé dans le laboratoire : l’erreur effective apparaît, sans majoration du reste ni recherche d’ordre certifié. Le théorème de Lagrange n’est pas faux : les restes ne tendent pas vers 0 quand n→∞.
10. Expériences et limites du laboratoire
Choisissez parmi sept fonctions, puis centre a, point x et ordre n. Les graphes comparent fonction et polynôme ; le tableau donne cₖ et cₖ(x−a)ᵏ. Lecture augmente l’ordre de 0 à 30. Le panneau distingue valeur, approximation, erreur numérique et borne de Lagrange, avec M calculé analytiquement sur le segment.
Essayez 1/(1−x) en a=0 avec x=0,5, puis x=−1. Pour eˣ déplacez le centre de 0 à 1. Le cas plat conserve a=0. Les segments traversant pôles ou frontières du domaine sont rejetés. Les nombres sont arrondis : les garanties portent sur le polynôme mathématique, pas sur une arithmétique d’intervalles certifiée du calculateur.
Exercices : essayer avant de révéler
1. Construire T₃ de eˣ en 0.
2. Pourquoi c₂=f″(a)/2 et non f″(a) ?
Afficher la solution expliquée
La dérivée seconde de c₂(x−a)² vaut 2c₂ : poser 2c₂=f″(a) impose de diviser par 2!=2.
3. Estimer sin(0,1) avec T₄ en 0.
4. Une borne d’erreur de 0,01 prouve-t-elle une erreur égale à 0,01 ?
Afficher la solution expliquée
Non : elle garantit seulement |Rₙ|≤0,01. L’erreur effective peut être bien plus petite.
5. En centre 0, Tₙ de 1/(1−x) converge-t-il en x=−1 ?
Afficher la solution expliquée
Non : 1−1+1−… donne les sommes 1,0,1,0,… . La fonction vaut 1/2, sans convergence des polynômes vers elle.
6. Calculer limₓ→₀(eˣ−1−x)/x².
Afficher la solution expliquée
eˣ−1−x=x²/2+o(x²) ; diviser par x² donne la limite 1/2.
7. Toutes les dérivées nulles en 0 imposent-elles f identiquement nulle ?
Afficher la solution expliquée
Non : f(0)=0, f(x)=e^(−1/x²) pour x≠0 est positive hors de 0 et toutes ses dérivées en 0 sont nulles.
8. Pour ln(1+x), la borne de Lagrange centrée en 0 peut-elle inclure x=−1 ?
Afficher la solution expliquée
Non : ln(0) est indéfini et les dérivées ne sont pas continues sur ce segment. Calculer un polynôme ne suffit pas.
Suites : des premiers termes à la convergence · Revoir les limites · Revoir les dérivées