Primeras ecuaciones diferenciales: de las pendientes a los modelos

Hasta ahora derivábamos funciones conocidas o recuperábamos primitivas. Ahora conocemos una ley que relaciona una cantidad con su velocidad de cambio y buscamos una función que la respete. Pasamos de calcular una curva a construir un modelo dinámico. Empezamos por el primer orden, con ejemplos resueltos y limitaciones explícitas.

Laboratorio de primeras ecuaciones diferenciales · Índice del recorrido

1. La incógnita es una función

En 2x+3=7 buscamos un número. En y′(t)=F(t,y(t)) buscamos una función derivable en un intervalo: su derivada debe igualar el miembro derecho en todo punto. t es la variable independiente, y la cantidad que evoluciona e y′ su tasa instantánea de cambio. Verificar una solución exige derivar y sustituir en la ecuación, no comprobar unos pocos valores.

El orden es el de la derivada más alta: y′=2t es de primer orden, y″+y=0 de segundo. Aquí estudiamos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, con una variable independiente. Las ecuaciones en derivadas parciales y los sistemas quedan para después.

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2. Una familia y una condición inicial

De y′=2t obtenemos y=t²+C: todas esas parábolas tienen la derivada requerida. La condición y(0)=3 impone C=3, luego y(t)=t²+3. Comprobamos y′=2t e y(0)=3. La ecuación con un dato inicial forma un problema de Cauchy. Con y(t₀)=y₀ resulta y=t²+y₀−t₀².

En forma integral, y′=F(t,y), y(t₀)=y₀ equivale, bajo las hipótesis habituales de continuidad, a y(t)=y₀+∫_t₀^tF(s,y(s))ds. El cambio total acumula las tasas. Aún no es una fórmula explícita porque y también aparece dentro de la integral.

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3. Leer un campo de pendientes

En cada punto (t,y), F(t,y) indica la pendiente que debe tener una solución al pasar por él. Un segmento corto con esa inclinación forma el campo de pendientes. Para y′=−y los segmentos bajan sobre el eje, son horizontales en y=0 y suben debajo. Las curvas se acercan a 0 hacia adelante en el tiempo.

El campo no es una solución: indica tangentes locales. El dato inicial fija un punto por el que pasar. En el laboratorio puedes tocar la gráfica para leer F(t,y) e inspeccionar un segmento tangente; esto no cambia el dato inicial, que tiene su propio campo.

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4. Separar variables sin perder soluciones

Si y′=g(t)h(y), buscamos primero los equilibrios h(y)=0. Donde h(y)≠0, escribimos y′/h(y)=g(t) e integramos: ∫dy/h(y)=∫g(t)dt+C. Esto se deriva de la regla de la cadena, no de tratar siempre dy y dt como números independientes. La relación obtenida puede quedar implícita.

Ejemplo: y′=2t(y+1). Primero encontramos la solución constante y=−1. Para y≠−1, la integración da ln|y+1|=t²+C. Exponenciando y absorbiendo signo y constante: y=Ce^t²−1; C=0 recupera también el equilibrio. Con y(0)=2, C=3. Dividir inmediatamente por y+1 olvidando su cero haría perder una solución.

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5. Crecimiento, decaimiento y tiempos característicos

«La velocidad de crecimiento es proporcional a la cantidad presente» se traduce como y′=ky. Para y≠0, y′/y=k da ln|y|=kt+C e y=Ce^kt. Incluimos el equilibrio y=0. Con y(0)=y₀: y(t)=y₀e^kt. Si y₀>0, k>0 produce crecimiento y k<0 decaimiento; k=0 mantiene la cantidad constante.

Ejemplo: y₀=5 y k=0,2 por hora. Tras 5 horas y=5e≈13,5914. El tiempo de duplicación es ln 2/k≈3,4657 horas. Para y′=−λy con λ>0, la semivida es ln 2/λ. Los parámetros tienen unidades de tiempo inverso: kt es adimensional. k=0,2 no significa multiplicar por 1,2 cada hora: el factor continuo es e^0,2.

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6. Enfriamiento hacia una temperatura ambiente

Con temperatura ambiente constante A y tasa proporcional a la diferencia térmica, el modelo es y′=−k(y−A), k>0. Si z=y−A, entonces z′=−kz y y(t)=A+(y₀−A)e^−kt. Por encima de A el cuerpo se enfría; por debajo se calienta. y=A es un equilibrio estable.

Una bebida parte de 80 °C en un ambiente a 20 °C. Tomamos k=(ln 2)/10 por minuto: en 10 minutos se reduce a la mitad la diferencia y y(10)=20+60/2=50 °C; en 20 minutos y(20)=35 °C. Se divide por dos la diferencia con el ambiente, no el valor de temperatura del cuerpo. El modelo supone ambiente y coeficiente constantes: la curva no sustituye medidas y validación experimental.

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7. Crecimiento con límite: modelo logístico

El crecimiento exponencial ignora recursos finitos. Introducimos capacidad K>0: y′=ry(1−y/K), r>0. Los equilibrios son y=0 e y=K. El crecimiento es positivo para 0<y<K y negativo para y>K. Separamos usando K/[y(K−y)]=1/y+1/(K−y), y obtenemos ln|y|−ln|K−y|=rt+C.

Para y₀>0 la solución hacia adelante es y(t)=K/[1+(K/y₀−1)e^−rt], incluido y₀=K; y₀=0 da por separado y=0. Con K=10, r=1, y₀=2: y=10/(1+4e^−t) e y(ln 4)=5. Para 0<y₀<K la tasa máxima ocurre en y=K/2 porque y′=rK/4−(r/K)(y−K/2)². No toda población real sigue una logística.

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8. Ecuaciones lineales y factor integrante

Una ecuación lineal de primer orden tiene forma y′+a(t)y=b(t), sin términos como y² o yy′. Con a y b continuas en un intervalo, elegimos μ(t)=exp(∫a(t)dt), que no se anula. Como μ′=aμ, al multiplicar obtenemos μy′+μay=μb, es decir, (μy)′=μb. Integrando y dividiendo por μ: y=[C+∫μb dt]/μ. Basta una primitiva para μ: su constante multiplicativa no importa.

Ejemplo completo: y′+2y=4t, y(0)=1. μ=e^2t y (e^2ty)′=4te^2t. Por partes, ∫4te^2tdt=e^2t(2t−1)+C. Así y=2t−1+Ce^−2t. El dato inicial impone 1=−1+C, C=2: y=2t−1+2e^−2t. Comprobación: y′=2−4e^−2t; al sumar 2y queda 4t.

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9. Existencia, unicidad e intervalo de validez

Un dato inicial no siempre selecciona una sola solución. Una condición suficiente local es: F continua en un rectángulo abierto alrededor de (t₀,y₀) y localmente Lipschitz respecto de y, uniformemente en t. Lipschitz significa que una constante L común controla |F(t,y₁)−F(t,y₂)|≤L|y₁−y₂| en un entorno adecuado. Una derivada parcial ∂F/∂y continua allí es una condición suficiente fácil de comprobar. Se obtiene solución única en un intervalo suficientemente pequeño, no necesariamente para todo tiempo.

Única pero no global: y′=y², y(0)=1 da y=1/(1−t), con intervalo maximal que contiene 0 igual a (−∞,1). Diverge cuando t→1⁻. La misma expresión racional para t>1 no prolonga la solución a través del polo.

No única: y′=2√|y|, y(0)=0 admite y=0 y, para cada τ≥0, y=0 hasta τ e y=(t−τ)² después, para t≥0. Las derivadas laterales en el empalme valen 0: son soluciones auténticas. F es continua pero no localmente Lipschitz en y=0. El laboratorio muestra una curva elegida con τ, no «la solución única».

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10. Euler: avanzar por la tangente

Con tₙ=t₀+nh y h>0, Euler explícito conserva la pendiente actual durante todo el paso: yₙ₊₁=yₙ+hF(tₙ,yₙ). Para y′=y, y(0)=1 y h=0,5: y₁=1+0,5×1=1,5; y₂=1,5+0,5×1,5=2,25. En t=1 la solución exacta vale e≈2,71828 y el error absoluto es aproximadamente 0,46828.

Con suficiente regularidad, en un intervalo fijo y bajo las condiciones necesarias de estabilidad, el error global es O(h): reducir h a la mitad tiende asintóticamente a reducirlo por dos. Dos pruebas no certifican una cota de error. Para y′=−ky, Euler da yₙ₊₁=(1−kh)yₙ: estabilidad asintótica exige |1−kh|<1, o 0<kh<2. Conservar no negatividad exige además kh≤1. Las oscilaciones numéricas no tienen por qué existir en el modelo.

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11. Heun: predicción y corrección

Heun explícito evalúa dos pendientes: k₁=F(tₙ,yₙ); predicción ỹ=yₙ+hk₁; después k₂=F(tₙ+h,ỹ). Corrige con su media: yₙ₊₁=yₙ+h(k₁+k₂)/2. Para y′=y, y₀=1, h=0,5: k₁=1, ỹ=1,5, k₂=1,5, y₁=1,625. El siguiente paso da y₂=2,640625, más próximo a e que Euler.

Es un Runge–Kutta explícito de orden 2: en condiciones regulares el error global es O(h²). No es el trapecio implícito, que evalúa F en el valor corregido aún desconocido. Heun no siempre es mejor en cada paso y problema: importan estabilidad y dominio. Para y′=2√|y| con dato cero, ambos métodos se quedan exactamente en cero: una solución válida aunque difiera de la curva elegida con τ.

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12. Un procedimiento práctico y el laboratorio

1. Define cantidades, variable independiente y unidades.
2. Traduce la ley a una ecuación y precisa el dato inicial.
3. Clasifica: integración directa, separable, lineal o fuera de alcance.
4. Comprueba equilibrios y divisiones; resuelve e impón el dato.
5. Determina el intervalo de validez; verifica derivada y dato inicial.
6. Compara con el modelo físico antes de aproximar numéricamente.

Elige un caso, modifica parámetros y pulsa Explorar. El cursor, Un paso e Iniciar avanzan la construcción numérica mientras la referencia sigue visible. Reduce el paso a la mitad para comparar errores nodales. La tabla muestra valores y diferencias; el detalle explica el último paso. Son siete familias guiadas, no un solucionador simbólico universal. Una malla finita no demuestra existencia, unicidad ni convergencia.

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Ejercicios: intenta antes de revelar

1. Resuelve y′=2t, y(0)=−2.

2. y′=−0,5y, y(0)=8: ¿valor tras ln 4?

3. Ambiente a 20, y₀=80: ¿cuándo y=50?

4. Logística K=10, r=1, y₀=2: ¿cuándo y=5?

5. ¿Qué solución se pierde al dividir y′=2t(y+1) por y+1?

6. Resuelve y′+2y=4t, y(0)=1.

7. y′=y², y(0)=1: ¿podemos llegar a t=2?

8. Dos pasos h=0,5 para y′=y, y₀=1: compara Euler y Heun.

9. y′=−3y, h=1: ¿por qué Euler oscila y crece?

10. El método queda en cero pero la curva τ=1 crece: ¿es incorrecto?

Límites · Derivadas

Para profundizar

• OpenStax · Differential equations
• OpenStax · Direction fields and Euler
• OpenStax · Separable equations
• OpenStax · Logistic equation
• Jiří Lebl · Integrating factor
• UC Berkeley · Initial-value problems
• William Trench · Improved Euler method