Prime equazioni differenziali: dalle pendenze ai modelli

Finora abbiamo derivato funzioni note o ricostruito primitive. Ora conosciamo una legge che lega una quantità alla sua velocità di variazione e cerchiamo la funzione che la rispetta. È il passaggio dal calcolo di una curva alla costruzione di un modello dinamico. Partiamo dal primo ordine, con esempi risolti e limiti ben dichiarati.

Laboratorio delle prime equazioni differenziali · Indice del percorso

1. L’incognita è una funzione

In 2x+3=7 cerchiamo un numero. In y′(t)=F(t,y(t)) cerchiamo una funzione derivabile su un intervallo: la sua derivata deve coincidere con il membro destro in ogni punto. t è la variabile indipendente, y la quantità che evolve, y′ il suo tasso istantaneo di variazione. Per verificare una soluzione occorre derivarla e sostituirla nell’equazione, non controllare solo qualche valore.

L’ordine è quello della derivata più alta: y′=2t è di primo ordine, y″+y=0 di secondo. Qui studiamo equazioni ordinarie del primo ordine, con una sola variabile indipendente. Le equazioni alle derivate parziali e i sistemi saranno sviluppi successivi.

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2. Una famiglia e una condizione iniziale

Da y′=2t otteniamo y=t²+C: tutte queste parabole hanno la derivata richiesta. La condizione y(0)=3 sceglie C=3, dunque y(t)=t²+3. Verifica: y′=2t e y(0)=3. La coppia «equazione + dato iniziale» è un problema di Cauchy. Con y(t₀)=y₀ la stessa equazione dà y=t²+y₀−t₀².

In forma integrale, y′=F(t,y), y(t₀)=y₀ equivale, sotto le usuali ipotesi di continuità, a y(t)=y₀+∫_t₀^tF(s,y(s))ds. Il cambiamento totale è l’accumulo dei tassi. Non è ancora una formula esplicita perché y compare anche dentro l’integrale.

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3. Leggere un campo di direzioni

In ogni punto (t,y), F(t,y) indica la pendenza che una soluzione deve avere passando di lì. Disegniamo un breve segmento con quella inclinazione: la rete di segmenti è il campo di direzioni. Per y′=−y i segmenti scendono sopra l’asse, sono orizzontali su y=0 e salgono sotto. Le curve si avvicinano a 0 andando avanti nel tempo.

Il campo non è la soluzione: ne indica localmente la tangente. Il dato iniziale stabilisce un punto da attraversare. Nel laboratorio puoi toccare il grafico per leggere F(t,y) e vedere un segmento tangente; non sposti così il dato iniziale, che si modifica nel relativo campo.

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4. Separare le variabili senza perdere soluzioni

Se y′=g(t)h(y), cerchiamo prima gli equilibri h(y)=0. Dove h(y)≠0 scriviamo y′/h(y)=g(t) e integriamo: ∫dy/h(y)=∫g(t)dt+C. È una conseguenza della regola della catena, non un’autorizzazione a trattare sempre dy e dt come numeri indipendenti. La relazione ottenuta può restare implicita.

Esempio: y′=2t(y+1). Prima troviamo y=−1, che è soluzione costante. Per y≠−1, ∫dy/(y+1)=∫2t dt dà ln|y+1|=t²+C. Esponenziando e incorporando segno e costante, y=Ce^t²−1; qui C=0 recupera anche l’equilibrio. Con y(0)=2 abbiamo C=3. Dividere subito per y+1 e dimenticare il caso zero avrebbe perso una soluzione.

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5. Crescita, decadimento e tempi caratteristici

«La velocità di crescita è proporzionale alla quantità presente» si traduce in y′=ky. Per y≠0: y′/y=k, quindi ln|y|=kt+C e y=Ce^kt. L’equilibrio y=0 va incluso. Con y(0)=y₀ otteniamo y(t)=y₀e^kt. Se y₀>0, k>0 produce crescita, k<0 decadimento; k=0 mantiene la quantità costante.

Esempio: y₀=5 e k=0,2 all’ora. Dopo 5 ore y=5e≈13,5914. Il tempo di raddoppio è ln 2/k≈3,4657 ore. Per y′=−λy con λ>0, il tempo di dimezzamento è ln 2/λ. k e λ hanno unità di tempo inverso: kt deve essere adimensionale. k=0,2 non significa moltiplicare per 1,2 ogni ora: il fattore continuo in un’ora è e^0,2.

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6. Raffreddamento verso un ambiente

Se l’ambiente resta a temperatura A e la variazione è proporzionale alla differenza rispetto all’ambiente, il modello è y′=−k(y−A), k>0. Con z=y−A si ha z′=−kz; dunque y(t)=A+(y₀−A)e^−kt. Sopra A il corpo si raffredda, sotto A si riscalda; y=A è equilibrio stabile.

Una bevanda parte da 80 °C in un ambiente a 20 °C. Poniamo k=(ln 2)/10 al minuto: in 10 minuti la differenza dall’ambiente si dimezza e y(10)=20+60/2=50 °C; in 20 minuti y(20)=35 °C. Si dimezza lo scarto dall’ambiente, non il valore della temperatura del corpo. Il modello assume ambiente costante e coefficiente invariato: una curva matematica non sostituisce misure e verifica sperimentale.

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7. Crescita con un limite: la logistica

Un modello esponenziale ignora le risorse finite. Introduciamo una capacità K>0: y′=ry(1−y/K), r>0. Gli equilibri sono y=0 e y=K. Per 0<y<K la crescita è positiva; per y>K è negativa. Separando, K/[y(K−y)]=1/y+1/(K−y): otteniamo ln|y|−ln|K−y|=rt+C.

Per y₀>0 la soluzione in avanti è y(t)=K/[1+(K/y₀−1)e^−rt], inclusa y₀=K; per y₀=0 la soluzione è y=0, da trattare separatamente. Con K=10, r=1, y₀=2: y=10/(1+4e^−t) e y(ln 4)=5. Per 0<y₀<K, la massima velocità si ha a y=K/2 perché y′=rK/4−(r/K)(y−K/2)². Questo non significa che ogni popolazione reale segua una logistica.

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8. Equazioni lineari e fattore integrante

Una lineare del primo ordine ha forma y′+a(t)y=b(t); non devono comparire y² o prodotti yy′. Con a e b continui su un intervallo scegliamo μ(t)=exp(∫a(t)dt), che non si annulla. Poiché μ′=aμ, moltiplicando otteniamo μy′+μay=μb, cioè (μy)′=μb. Integrando e dividendo per μ: y=[C+∫μb dt]/μ. Una singola primitiva per μ basta: la sua costante moltiplicativa è irrilevante.

Esempio completo: y′+2y=4t, y(0)=1. μ=e^2t; (e^2ty)′=4te^2t. Per parti, ∫4te^2tdt=e^2t(2t−1)+C. Quindi y=2t−1+Ce^−2t. Dal dato iniziale 1=−1+C, C=2: y=2t−1+2e^−2t. Verifica: y′=2−4e^−2t; sommando 2y rimane 4t.

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9. Esistenza, unicità e intervallo di validità

Non sempre un dato iniziale seleziona una sola soluzione. Una condizione sufficiente locale è: F continua in un rettangolo aperto attorno a (t₀,y₀) e localmente Lipschitz rispetto a y, uniformemente in t. Lipschitz significa che una stessa costante L controlla |F(t,y₁)−F(t,y₂)|≤L|y₁−y₂| in un intorno adatto. Una derivata parziale ∂F/∂y continua lì è una condizione sufficiente semplice da controllare. Si ottiene una soluzione unica su un intervallo abbastanza piccolo, non necessariamente per ogni tempo.

Unica ma non globale: y′=y², y(0)=1 dà y=1/(1−t), con intervallo massimale contenente 0 uguale a (−∞,1). Per t→1⁻ diverge. La stessa espressione razionale per t>1 non prolunga la soluzione attraverso il polo.

Non unica: y′=2√|y|, y(0)=0 ammette y=0 e, per ogni τ≥0, y=0 fino a τ e y=(t−τ)² dopo τ, per t≥0. Nel raccordo la derivata da entrambi i lati è 0, quindi sono vere soluzioni. F è continua ma non localmente Lipschitz in y=0. Il laboratorio mostra una di queste curve scelta con τ: non la presenta come l’unica soluzione.

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10. Eulero: avanzare lungo la tangente

Con tₙ=t₀+nh e h>0, il metodo di Eulero esplicito usa la pendenza attuale per tutto il passo: yₙ₊₁=yₙ+hF(tₙ,yₙ). Per y′=y, y(0)=1 e h=0,5: y₁=1+0,5×1=1,5; y₂=1,5+0,5×1,5=2,25. A t=1 la soluzione è e≈2,71828: l’errore assoluto vale circa 0,46828.

Con sufficiente regolarità, su un intervallo fisso e con le necessarie condizioni di stabilità, l’errore globale è O(h): dimezzare h tende asintoticamente a dimezzarlo. Non è un limite d’errore certificato ricavato da due sole prove. Per y′=−ky, Eulero dà yₙ₊₁=(1−kh)yₙ: la stabilità asintotica richiede |1−kh|<1, dunque 0<kh<2. Per conservare anche la non negatività dei dati positivi occorre kh≤1. Oscillazioni numeriche non significano oscillazioni nel modello.

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11. Heun: previsione e correzione

Heun esplicito valuta due pendenze: k₁=F(tₙ,yₙ); previsione ỹ=yₙ+hk₁; poi k₂=F(tₙ+h,ỹ). Corregge con la media: yₙ₊₁=yₙ+h(k₁+k₂)/2. Per y′=y, y₀=1, h=0,5: k₁=1, ỹ=1,5, k₂=1,5, y₁=1,625. Al passo seguente y₂=2,640625, più vicino a e rispetto a Eulero.

È un Runge–Kutta esplicito di ordine 2: nelle condizioni regolari l’errore globale è O(h²). Non è il trapezio implicito, che valuterebbe F nel valore corretto ancora incognito. Heun non è sempre migliore per ogni passo e problema: anche stabilità e dominio contano. Per y′=2√|y| con dato zero, entrambi i metodi restano esattamente a zero: è una soluzione valida, anche se una curva scelta con τ è diversa.

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12. Un percorso pratico e il laboratorio

1. Definisci quantità, variabile indipendente e unità.
2. Traduci la legge in un’equazione e specifica il dato iniziale.
3. Classifica: primitiva diretta, separabile, lineare o caso non coperto.
4. Controlla equilibri e divisioni; ricava la soluzione e imponi il dato.
5. Determina l’intervallo di validità; verifica derivata e dato iniziale.
6. Confronta con il modello fisico e solo dopo con un’approssimazione numerica.

Nel laboratorio scegli un caso, modifica i parametri e premi Esplora. Il cursore, Un passo e Avvia fanno avanzare la costruzione numerica; la soluzione di riferimento resta visibile. Dimezza il passo per confrontare gli errori ai nodi. La tabella mostra valori e scarti; il dettaglio esplicita il calcolo dell’ultimo passo. Si tratta di sette famiglie guidate, non di un risolutore simbolico universale. Una griglia finita non dimostra esistenza, unicità o convergenza.

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Esercizi: prova prima di aprire

1. Risolvi y′=2t, y(0)=−2.

2. y′=−0,5y, y(0)=8: valore dopo ln 4?

3. Ambiente a 20, y₀=80: quando y=50?

4. Logistica K=10, r=1, y₀=2: quando y=5?

5. Quale soluzione perdi dividendo y′=2t(y+1) per y+1?

6. Risolvi y′+2y=4t, y(0)=1.

7. y′=y², y(0)=1: possiamo arrivare a t=2?

8. Due passi h=0,5 per y′=y, y₀=1: confronta Eulero e Heun.

9. y′=−3y, h=1: perché Eulero oscilla e cresce?

10. Il metodo resta a zero ma la curva con τ=1 cresce: è un errore?

Limiti · Derivate

Riferimenti per approfondire

• OpenStax · Differential equations
• OpenStax · Direction fields and Euler
• OpenStax · Separable equations
• OpenStax · Logistic equation
• Jiří Lebl · Integrating factor
• UC Berkeley · Initial-value problems
• William Trench · Improved Euler method