Antes de calcular un límite o una derivada conviene entender la función: dónde existe, qué valores toma y cómo se construye con funciones sencillas. Este capítulo abre el recorrido de Análisis y establece un vocabulario común con ejemplos, comprobaciones y un laboratorio de gráficas, composiciones e inversas.
Laboratorio de funciones elementales · Índice del recorrido
1. Una función no es solo una fórmula
Una función f:D→C asigna a cada x del dominio D un único valor f(x) del codominio C. Entradas distintas pueden compartir salida: x² envía 2 y −2 a 4. No se admiten dos salidas distintas para una entrada. Así, y=±√x no define una única función, mientras y=√x elige la raíz no negativa.
Dominio, codominio y regla forman parte de la definición. La misma fórmula x² en ℝ o en [0,+∞) describe funciones con propiedades distintas: solo la segunda es inyectiva. Un coste f(t)=3+2t puede tener dominio físico t≥0 aunque su fórmula admita cualquier real.
2. Leer f(x), gráficas e intervalos
f(x) es el valor en la entrada x, no un producto f×x. Si f(x)=x²+1, entonces f(−2)=5 y f(x+1)=(x+1)²+1: sustituimos la entrada completa con paréntesis. La gráfica reúne los puntos (x,f(x)). Una recta vertical no puede cortarla en dos puntos distintos con igual abscisa.
[a,b] incluye ambos extremos; (a,b) los excluye; [a,b) solo incluye a. En ±∞ el paréntesis siempre es abierto: infinito no es un extremo real incluido. ∪ une intervalos; ℝ∖{c} excluye c. Los ceros resuelven f(x)=0; la intersección con el eje vertical es (0,f(0)), solo si 0 pertenece al dominio.
3. Dominio: todas las condiciones a la vez
El dominio real natural reúne las entradas donde la expresión tiene sentido. Los polinomios no excluyen valores; un denominador no puede ser cero; una raíz de índice par exige radicando ≥0; un logaritmo exige argumento >0. Las raíces impares admiten negativos. Las condiciones simultáneas se intersectan, no se unen.
Para 1/√(4−x²), la raíz está también en el denominador: exigimos 4−x²>0, no ≥0. Así D=(−2,2). Para √(ln x) se exige x>0 y ln x≥0, dando D=[1,+∞). Para ln(√x), x≥0 y √x>0, dando D=(0,+∞). El orden cambia el dominio.
4. Simplificar no borra el dominio
(x²−1)/(x−1)=(x−1)(x+1)/(x−1)=x+1 solo para x≠1. Su gráfica es una recta sin (1,2). La función x+1 en todo ℝ es una prolongación, no exactamente la función inicial.
Para √[(x−1)/(x+2)] exigimos x≠−2 y (x−1)/(x+2)≥0. El cociente es positivo si x<−2, negativo si −2<x<1, cero en 1 y positivo si x>1. Por tanto, D=(−∞,−2)∪[1,+∞). Sustituirlo siempre por √(x−1)/√(x+2) perdería la rama x<−2, donde numerador y denominador del cociente son negativos.
5. Imagen y codominio no son sinónimos
El codominio es el conjunto de llegada declarado; la imagen Im f={f(x):x∈D} reúne valores realmente alcanzados. Si f:ℝ→ℝ, f(x)=x²+2, el codominio es ℝ pero la imagen [2,+∞). En efecto x²+2≥2 y cada y≥2 se obtiene con x=√(y−2). No basta una cota: comprobamos que todos los valores anunciados se alcanzan.
Una función es sobreyectiva si su imagen coincide con su codominio. x²+2 no lo es hacia ℝ, pero sí hacia [2,+∞). Estas propiedades dependen de los conjuntos elegidos, no solo de la fórmula.
6. Biblioteca de gráficas elementales
Aprendamos formas de referencia. Las potencias enteras positivas están definidas en ℝ; las pares tienen imagen no negativa y las impares también toman valores negativos. Las potencias enteras negativas excluyen cero. Distinguimos raíces pares e impares: √(x²)=|x|, mientras ∛(x³)=x para cualquier real.
En la tabla c>0 y c≠1; n∈ℤ en las exclusiones de la tangente. Los intervalos describen las funciones base, no todas sus transformaciones. El laboratorio permite comparar cada familia.
| Familia | Fórmula | Dominio | Imagen |
|---|---|---|---|
| Identidad | x | ℝ | ℝ |
| Cuadrado | x² | ℝ | [0,+∞) |
| Cubo | x³ | ℝ | ℝ |
| Valor absoluto | |x| | ℝ | [0,+∞) |
| Raíz cuadrada | √x | [0,+∞) | [0,+∞) |
| Raíz cúbica | ∛x | ℝ | ℝ |
| Recíproco | 1/x | ℝ∖{0} | ℝ∖{0} |
| Exponencial | cˣ | ℝ | (0,+∞) |
| Logaritmo | log_c(x) | (0,+∞) | ℝ |
| Seno | sin x | ℝ | [−1,1] |
| Coseno | cos x | ℝ | [−1,1] |
| Tangente | tan x | ℝ∖{π/2+nπ : n∈ℤ} | ℝ |
7. Ceros, signo, monotonía y simetrías
Los ceros de x²−4 son −2 y 2. Su signo es positivo fuera de ellos y negativo entre ellos. Una función es estrictamente creciente si x₁<x₂ implica f(x₁)<f(x₂) para todas las entradas consideradas; decrecer invierte la última desigualdad. x² decrece en (−∞,0] y crece en [0,+∞), sin ser monótona en ℝ. 1/x decrece en cada rama, no en todo ℝ∖{0}: −1<1 pero f(−1)=−1<f(1)=1.
En un dominio simétrico respecto de 0, f es par si f(−x)=f(x), impar si f(−x)=−f(x). Las pares son simétricas respecto del eje vertical; las impares respecto del origen. x² y |x| son pares, x³ y ∛x impares. √x no tiene dominio simétrico y no pertenece a esas clases. Una gráfica finita sugiere; las identidades demuestran.
8. Exponenciales, logaritmos y funciones periódicas
Para c>0, c≠1, cˣ es positiva, pasa por (0,1), crece si c>1 y decrece si 0<c<1. logcx exige x>0, pasa por (1,0) y tiene el mismo sentido de monotonía. Son funciones inversas. ln x es el logaritmo en base e, con la misma condición de dominio. Las identidades reales log(ab)=log a+log b y log(a/b)=log a−log b exigen a,b>0.
En radianes, sin x y cos x tienen periodo 2π y valores entre −1 y 1. tan x=sin x/cos x tiene periodo π y excluye x=π/2+nπ. Un periodo T significa que trasladar la entrada T conserva dominio y valores. No toda función oscilante es periódica y una gráfica corta no demuestra periodicidad.
9. Transformar una gráfica siguiendo puntos
Consideramos g(x)=a f(b(x−h))+k, b≠0. Si (u,f(u)) está en la gráfica original, resolvemos b(x−h)=u y obtenemos x=h+u/b. El punto pasa a ser (h+u/b, k+a f(u)). Esta correspondencia explica todas las transformaciones sin memorizar signos aparentemente opuestos.
- h positivo desplaza a la derecha, negativo a la izquierda.
- k desplaza arriba o abajo.
- |a| cambia la escala vertical; a<0 refleja verticalmente antes de trasladar k.
- La escala horizontal es 1/|b|: b=2 comprime, b=1/2 dilata; b<0 refleja horizontalmente antes de trasladar h.
Ejemplo: f(u)=u², a=−2, b=2, h=1, k=3 da g(x)=−8(x−1)²+3. El vértice (0,0) pasa a (1,3); (1,1) pasa a (3/2,1). La imagen es (−∞,3]. El laboratorio mueve puntos con estas fórmulas, no reconstruyéndolos desde píxeles.
10. Transformar también dominio e imagen
Para g(x)=a f(b(x−h))+k exigimos b(x−h)∈Df. Su imagen contiene k+ay con y∈Im f. Para g(x)=√(3−x), el radicando es −(x−3): dominio x≤3, imagen [0,+∞). El extremo (3,0) está incluido.
Si a=0, la expresión 0·f(b(x−h))+k vale k solo donde f(b(x−h)) está definida. Por ejemplo, 0·(1/x)+2 conserva x≠0: una constante con un punto excluido, no automáticamente una constante en todo ℝ. El laboratorio conserva esta restricción. b=0 exige comprobar f(0) por separado y no se incluye entre los parámetros.
11. Componer: el orden importa
(f∘g)(x)=f(g(x)): aplicamos primero g y después f. El dominio es {x∈Dg:g(x)∈Df}. Con f(u)=√u y g(x)=x², f(g(x))=√(x²)=|x| en ℝ. Al invertir el orden, g(f(x))=(√x)²=x, solo para x≥0. El orden cambia fórmula y dominio.
Incluso fórmulas finales iguales pueden describir funciones distintas: eln x=x solo si x>0, mientras ln(eˣ)=x para todo real. Con f=ln y g(x)=x², ln(x²)=2ln|x| si x≠0; 2ln x no vale en negativos. El laboratorio sigue entrada→función interior→función exterior y muestra los dominios exactos de los casos guiados.
12. Una inversa exige un retorno único
f es inyectiva si f(x₁)=f(x₂) implica x₁=x₂. Entonces su inversa f⁻¹:Im f→D devuelve cada salida a su única entrada. Una inversa en todo el codominio declarado exige además sobreyectividad: f debe ser biyectiva. La monotonía estricta es suficiente, no necesaria en dominios arbitrarios: 1/x es inyectiva sin ser globalmente monótona.
Para f(x)=2x+1, ponemos y=2x+1, resolvemos x=(y−1)/2 y renombramos la variable: f⁻¹(x)=(x−1)/2. Comprobamos f⁻¹(f(x))=x y f(f⁻¹(y))=y en sus respectivos dominios. No es 1/f(x)=1/(2x+1): inversa y recíproco son distintos.
x² en ℝ no es inyectiva: 1 y −1 dan 1. En [0,+∞) tiene inversa √x; en (−∞,0], inversa −√x. Ambas inversas tienen dominio [0,+∞), pero imágenes distintas. Las gráficas se reflejan respecto de y=x porque (u,f(u)) pasa a (f(u),u). Sin inyectividad, la reflexión es una relación, no una función inversa.
13. Ramas, comprobaciones y pasos siguientes
El seno en ℝ no es inyectivo. Al restringirlo a [−π/2,π/2] obtenemos arcsin, con dominio [−1,1] e imagen [−π/2,π/2]. sin(arcsin y)=y en [−1,1], pero arcsin(sin x)=x solo en la rama principal: en x=3π/4 el resultado es π/4. Siempre hay que declarar la rama usada.
- Lee los paréntesis y declara el dominio.
- Reconoce la familia y halla su imagen, distinta del codominio.
- Para transformaciones, sigue un punto con las fórmulas.
- Para composición, comprueba primero la función interior.
- Para una inversa, comprueba inyectividad y restricciones.
- Usa la gráfica como comprobación, no como prueba.
Compara doce familias, mueve el punto con el cursor o Iniciar, intercambia el orden en cinco parejas y explora nueve casos de inversas. El siguiente capítulo de límites añade la aproximación; el estudio de funciones reunirá dominio, límites y derivadas. El laboratorio trata casos guiados, no es un solucionador universal.
Ejercicios: intenta antes de revelar
1. ¿Cuál es la imagen de x²+2 en ℝ?
Mostrar la solución razonada
[2,+∞): mínimo 2 en x=0; todo y≥2 se obtiene en x=√(y−2). El codominio puede ser ℝ sin alcanzarse por completo.
2. ¿Dominio de 1/√(4−x²)?
Mostrar la solución razonada
Se exige 4−x²>0 porque la raíz está en el denominador. x²<4 da −2<x<2. Los extremos anularían el denominador.
3. ¿Dominio de √[(x−1)/(x+2)]?
Mostrar la solución razonada
El cociente es no negativo si x<−2 o x≥1. −2 excluido, 1 incluido: (−∞,−2)∪[1,+∞). En x=−3, el cociente vale 4 y la raíz 2.
4. ¿Cuánto vale √(x²) en x=−3?
Mostrar la solución razonada
√9=3, no −3. La raíz cuadrada da el valor no negativo, así que √(x²)=|x| en ℝ.
5. Transforma (1,1) con a=−2, b=2, h=1, k=3.
Mostrar la solución razonada
x=h+u/b=1+1/2=3/2; y=k+af(u)=3−2=1. El punto es (3/2,1). La escala horizontal divide la abscisa relativa, no la multiplica.
6. ¿Dominio e imagen de √(3−x)?
Mostrar la solución razonada
3−x≥0 implica x≤3, luego D=(−∞,3]. La raíz toma todo valor no negativo: imagen [0,+∞). Se incluye (3,0).
7. Con f=√x y g=x², evalúa ambos órdenes en x=−2.
Mostrar la solución razonada
f(g(−2))=√4=2. g(f(−2)) no está definida en reales: √(−2) no se admite. No basta simplificar formalmente (√x)² como x.
8. ¿ln(x²)=2ln x vale en x=−2?
Mostrar la solución razonada
No: ln4 existe, ln(−2) no. Para x≠0 la fórmula correcta es ln(x²)=2ln|x|. En x=−2 ambos miembros valen ln4.
9. ¿e^(ln x) y ln(e^x) son la misma función?
Mostrar la solución razonada
No: ambas se simplifican como x, pero la primera tiene dominio (0,+∞) y la segunda ℝ. Las identidades valen en sus dominios respectivos.
10. ¿Cuál es la inversa de x² en x≤0?
Mostrar la solución razonada
−√x, dominio [0,+∞), imagen (−∞,0]. Por ejemplo −3→9→−3. La raíz positiva volvería a la rama incorrecta.
11. Para f(x)=2x+1, compara inversa y recíproco.
Mostrar la solución razonada
La inversa es (x−1)/2 en ℝ. El recíproco es 1/(2x+1), con x≠−1/2. Son funciones distintas que responden a preguntas distintas.
12. ¿Cuánto vale arcsin(sin(3π/4))?
Mostrar la solución razonada
π/4, porque arcsin devuelve el valor en [−π/2,π/2]. 3π/4 está fuera de esa rama; el seno no es globalmente inyectivo.