Prima di calcolare un limite o una derivata conviene capire quale funzione abbiamo davanti: dove esiste, quali valori può assumere e come nasce da funzioni più semplici. Questo capitolo apre il percorso di Analisi e costruisce un vocabolario comune, con esempi, controlli e un laboratorio di grafici, composizioni e inverse.
Laboratorio delle funzioni elementari · Indice del percorso
1. Una funzione non è soltanto una formula
Una funzione f:D→C associa a ogni elemento x del dominio D uno e un solo valore f(x) nel codominio C. Ingressi diversi possono avere lo stesso risultato: x² manda sia 2 sia −2 in 4. Non è invece permesso assegnare due risultati diversi allo stesso ingresso. Perciò y=±√x non definisce una singola funzione, mentre y=√x sceglie la radice non negativa.
Dominio, codominio e regola fanno parte della descrizione. La stessa formula x² su ℝ e su [0,+∞) descrive funzioni con proprietà diverse: solo la seconda è iniettiva. Un modello di costo f(t)=3+2t può avere t≥0 come dominio fisico, anche se la formula è calcolabile per ogni t reale.
2. Leggere f(x), il grafico e gli intervalli
f(x) indica il valore della funzione nell’ingresso x, non un prodotto f×x. Se f(x)=x²+1, allora f(−2)=5 e f(x+1)=(x+1)²+1: sostituiamo l’intero ingresso, con le parentesi. Il grafico è l’insieme dei punti (x,f(x)). Una retta verticale non può incontrarlo in due punti distinti con la stessa ascissa.
[a,b] include i due estremi; (a,b) li esclude; [a,b) include solo a. Con ±∞ la parentesi è sempre aperta: l’infinito non è un estremo reale incluso. Il simbolo ∪ unisce intervalli; ℝ∖{c} esclude c. Gli zeri risolvono f(x)=0; l’intersezione con l’asse verticale è (0,f(0)), ma solo se 0 appartiene al dominio.
3. Dominio: tutte le condizioni contemporaneamente
Nel dominio reale naturale cerchiamo tutti gli ingressi per cui l’espressione ha significato. I polinomi non impongono esclusioni; un denominatore deve essere diverso da zero; una radice di indice pari richiede radicando ≥0; un logaritmo richiede argomento >0. Una radice di indice dispari ammette anche numeri negativi. Le condizioni simultanee si intersecano, non si uniscono.
Per 1/√(4−x²), la radice è anche al denominatore: serve 4−x²>0, non ≥0. Quindi D=(−2,2). Per √(ln x), servono x>0 e ln x≥0: D=[1,+∞). Per ln(√x), servono x≥0 e √x>0: D=(0,+∞). L’ordine delle operazioni modifica il dominio.
4. Semplificare non cancella il dominio
(x²−1)/(x−1)=(x−1)(x+1)/(x−1)=x+1 solo per x≠1. Il grafico è una retta con il punto (1,2) escluso. La funzione x+1 definita su tutto ℝ è un prolungamento, non esattamente la funzione iniziale.
Per √[(x−1)/(x+2)] imponiamo x≠−2 e (x−1)/(x+2)≥0. Il rapporto è positivo per x<−2, negativo per −2<x<1, nullo in 1 e positivo per x>1. Dunque D=(−∞,−2)∪[1,+∞). Non possiamo sostituirlo ovunque con √(x−1)/√(x+2): quest’ultima espressione perderebbe il ramo x<−2, dove numeratore e denominatore del rapporto sono entrambi negativi.
5. Immagine e codominio: non sono sinonimi
Il codominio è l’insieme di arrivo dichiarato; l’immagine Im f={f(x):x∈D} raccoglie i valori effettivamente raggiunti. Se f:ℝ→ℝ, f(x)=x²+2, il codominio è ℝ ma l’immagine è [2,+∞). Infatti x²+2≥2 e, per ogni y≥2, x=√(y−2) produce proprio quel valore. Non basta quindi trovare una limitazione: bisogna controllare che i valori indicati siano tutti raggiungibili.
La funzione è suriettiva quando l’immagine coincide con il codominio. x²+2 non è suriettiva verso ℝ, ma lo è verso [2,+∞). Queste parole dipendono anche dagli insiemi scelti, non soltanto dalla formula.
6. La biblioteca dei grafici elementari
Impariamo alcune forme di riferimento. Le potenze intere positive sono definite su ℝ; quelle con esponente pari hanno immagine non negativa, quelle dispari attraversano anche i valori negativi. Le potenze intere negative escludono zero. Per le radici distinguiamo indice pari e dispari: √(x²)=|x|, mentre ∛(x³)=x per ogni x reale.
Nella tabella, c>0 e c≠1; n∈ℤ nelle esclusioni della tangente. Gli intervalli indicano i valori delle funzioni di base, non di ogni loro trasformazione. Il laboratorio permette di confrontarle tutte.
| Famiglia | Formula | Dominio | Immagine |
|---|---|---|---|
| Identità | x | ℝ | ℝ |
| Quadrato | x² | ℝ | [0,+∞) |
| Cubo | x³ | ℝ | ℝ |
| Valore assoluto | |x| | ℝ | [0,+∞) |
| Radice quadrata | √x | [0,+∞) | [0,+∞) |
| Radice cubica | ∛x | ℝ | ℝ |
| Reciproca | 1/x | ℝ∖{0} | ℝ∖{0} |
| Esponenziale | cˣ | ℝ | (0,+∞) |
| Logaritmo | log_c(x) | (0,+∞) | ℝ |
| Seno | sin x | ℝ | [−1,1] |
| Coseno | cos x | ℝ | [−1,1] |
| Tangente | tan x | ℝ∖{π/2+nπ : n∈ℤ} | ℝ |
7. Zeri, segno, monotonia e simmetrie
Gli zeri di x²−4 sono −2 e 2. Il segno è positivo per x<−2 o x>2, negativo fra gli zeri. Una funzione è strettamente crescente se x₁<x₂ implica f(x₁)<f(x₂), per tutti gli ingressi considerati; per la decrescenza si inverte l’ultima disuguaglianza. x² è decrescente su (−∞,0] e crescente su [0,+∞), ma non monotona su ℝ. 1/x è decrescente su ciascuno dei due rami: non su tutto ℝ∖{0}, perché −1<1 ma f(−1)=−1<f(1)=1.
Su un dominio simmetrico rispetto a 0, f è pari se f(−x)=f(x), dispari se f(−x)=−f(x). Le pari sono simmetriche rispetto all’asse verticale; le dispari rispetto all’origine. x² e |x| sono pari, x³ e ∛x dispari. La radice √x non ha un dominio simmetrico e non rientra in queste due classi. Un grafico finito suggerisce proprietà: le identità le dimostrano.
8. Esponenziali, logaritmi e funzioni periodiche
Per c>0, c≠1, cˣ è positiva, passa per (0,1) ed è crescente se c>1, decrescente se 0<c<1. logcx è definito solo per x>0, passa per (1,0) e ha lo stesso verso di monotonia. Le due funzioni sono inverse. ln x è il logaritmo in base e; non è una nuova regola di dominio. Le identità log(ab)=log a+log b e log(a/b)=log a−log b richiedono a,b>0 nei reali.
In radianti, sin x e cos x hanno periodo 2π e valori fra −1 e 1. tan x=sin x/cos x ha periodo π ed esclude x=π/2+nπ. Dire che T è un periodo significa che traslare l’ingresso di T conserva dominio e valori. Non tutte le funzioni oscillanti sono periodiche e una finestra corta non dimostra una periodicità.
9. Trasformare un grafico seguendo i punti
Consideriamo g(x)=a f(b(x−h))+k, con b≠0. Se (u,f(u)) è sul grafico originale, imponiamo b(x−h)=u: ne segue x=h+u/b. Il punto diventa quindi (h+u/b, k+a f(u)). Questa corrispondenza spiega tutte le trasformazioni, senza memorizzare segni apparentemente contrari.
- h sposta a destra se positivo, a sinistra se negativo.
- k sposta in alto o in basso.
- |a| cambia la scala verticale; a<0 riflette verticalmente prima della traslazione k.
- La scala orizzontale è 1/|b|: b=2 comprime, b=1/2 dilata; b<0 riflette orizzontalmente prima della traslazione h.
Esempio: f(u)=u², a=−2, b=2, h=1, k=3. Otteniamo g(x)=−8(x−1)²+3. Il vertice (0,0) diventa (1,3); (1,1) diventa (3/2,1). L’immagine è (−∞,3]. Nel laboratorio il punto si sposta applicando queste formule, non mediante una ricostruzione dai pixel.
10. Trasformare anche dominio e immagine
Per g(x)=a f(b(x−h))+k dobbiamo imporre b(x−h)∈Df. L’immagine è l’insieme dei valori k+ay con y∈Im f. Per g(x)=√(3−x), il radicando è −(x−3): dominio x≤3, immagine [0,+∞). L’estremo del grafico è (3,0), incluso.
Attenzione ad a=0: l’espressione 0·f(b(x−h))+k vale k soltanto dove f(b(x−h)) è definita. Per esempio 0·(1/x)+2 conserva x≠0: è una costante con un punto escluso, non la funzione costante definita automaticamente su tutto ℝ. Il laboratorio conserva questa restrizione. Il caso b=0 richiede un controllo distinto di f(0) e non è incluso nei parametri del laboratorio.
11. Comporre: l’ordine conta
(f∘g)(x)=f(g(x)): si applica prima g, poi f. Il dominio è {x∈Dg:g(x)∈Df}. Con f(u)=√u e g(x)=x², f(g(x))=√(x²)=|x| su ℝ. Nell’ordine opposto g(f(x))=(√x)²=x, ma soltanto per x≥0. L’ordine cambia formula e dominio.
Anche quando la formula finale sembra uguale, le funzioni possono differire: eln x=x solo per x>0, mentre ln(eˣ)=x per ogni x reale. Con f=ln e g(x)=x², ln(x²)=2ln|x| per x≠0; non possiamo scrivere 2ln x sui negativi. Nel laboratorio il percorso x→funzione interna→funzione esterna mostra ogni passaggio e il dominio esatto dei casi guidati.
12. L’inversa richiede un ritorno univoco
f è iniettiva se f(x₁)=f(x₂) implica x₁=x₂. In quel caso possiamo definire l’inversa f⁻¹:Im f→D, che riporta ogni uscita al suo unico ingresso. Per avere un’inversa sull’intero codominio dichiarato serve anche suriettività: f deve essere biiettiva. La stretta monotonia è una condizione sufficiente di iniettività, non una condizione necessaria su domini qualsiasi: 1/x è iniettiva pur non essendo globalmente monotona sul suo dominio.
Con f(x)=2x+1, poniamo y=2x+1, risolviamo x=(y−1)/2 e rinominiamo la variabile: f⁻¹(x)=(x−1)/2. Verifichiamo f⁻¹(f(x))=x e f(f⁻¹(y))=y sui rispettivi domini. Non è 1/f(x)=1/(2x+1): inversa e reciproco sono operazioni diverse.
x² su ℝ non è iniettiva: 1 e −1 producono 1. Su [0,+∞) ha inversa √x; su (−∞,0] ha inversa −√x. In entrambi i casi il dominio dell’inversa è [0,+∞), ma l’immagine cambia. I grafici si riflettono rispetto a y=x perché il punto (u,f(u)) diventa (f(u),u). Senza iniettività la riflessione è una relazione, non il grafico di un’inversa-funzione.
13. Rami, controlli e percorso successivo
Il seno su ℝ non è iniettivo. Restringendolo a [−π/2,π/2], otteniamo l’inversa arcsin, con dominio [−1,1] e immagine [−π/2,π/2]. sin(arcsin y)=y su [−1,1], ma arcsin(sin x)=x solo nel ramo principale: per x=3π/4 il risultato è π/4. Analogamente, un’inversa richiede sempre di dichiarare quale ramo si usa.
- Leggi la formula con le parentesi e dichiara il dominio.
- Riconosci la famiglia e trova l’immagine, senza confonderla con il codominio.
- Se ci sono trasformazioni, segui un punto con le formule.
- Se c’è composizione, controlla prima la funzione interna.
- Se cerchi l’inversa, verifica l’iniettività e l’eventuale restrizione.
- Usa il grafico come controllo, non come dimostrazione.
Nel laboratorio confronta le dodici famiglie, muovi il punto con il cursore o Avvia, scambia l’ordine nelle cinque coppie e sperimenta nove casi di inverse. Il capitolo seguente sui limiti aggiunge l’idea dell’avvicinamento; lo studio di funzione riunirà poi dominio, limiti e derivate. I risultati del laboratorio sono derivati dai casi guidati, non da un risolutore universale.
Esercizi: prova prima di aprire
1. Qual è l’immagine di x²+2 su ℝ?
Mostra la soluzione ragionata
[2,+∞): il minimo 2 si ottiene in x=0; per ogni y≥2 scegli x=√(y−2). Il codominio potrebbe essere ℝ, ma non tutti i suoi valori sono raggiunti.
2. Dominio di 1/√(4−x²)?
Mostra la soluzione ragionata
Serve 4−x²>0 perché la radice è al denominatore. Da x²<4 otteniamo −2<x<2. Gli estremi non sono ammessi: annullerebbero il denominatore.
3. Dominio di √[(x−1)/(x+2)]?
Mostra la soluzione ragionata
Il rapporto è non negativo per x<−2 oppure x≥1. −2 è escluso, 1 incluso: (−∞,−2)∪[1,+∞). In x=−3, per esempio, il rapporto vale 4 e la radice vale 2.
4. Quanto vale √(x²) per x=−3?
Mostra la soluzione ragionata
√9=3, non −3. La radice quadrata restituisce il valore non negativo, quindi √(x²)=|x| su ℝ.
5. Trasforma (1,1) con a=−2, b=2, h=1, k=3.
Mostra la soluzione ragionata
x=h+u/b=1+1/2=3/2; y=k+af(u)=3−2=1. Il nuovo punto è (3/2,1). Il fattore orizzontale divide l’ascissa relativa, non la moltiplica.
6. Dominio e immagine di √(3−x)?
Mostra la soluzione ragionata
3−x≥0 implica x≤3, quindi D=(−∞,3]. La radice assume tutti i valori non negativi: immagine [0,+∞). Il punto (3,0) è incluso.
7. Con f=√x e g=x², valuta i due ordini in x=−2.
Mostra la soluzione ragionata
f(g(−2))=√4=2. g(f(−2)) non è definita nei reali: l’operazione interna √(−2) non è ammessa. Non basta semplificare formalmente (√x)² in x.
8. ln(x²)=2ln x vale anche per x=−2?
Mostra la soluzione ragionata
No: ln4 esiste, ln(−2) no. La formula valida su x≠0 è ln(x²)=2ln|x|. Per x=−2 entrambi i membri di questa formula valgono ln4.
9. e^(ln x) e ln(e^x) sono la stessa funzione?
Mostra la soluzione ragionata
No: entrambe si semplificano in x, ma la prima ha dominio (0,+∞), la seconda ℝ. Le identità inverse valgono sui rispettivi domini.
10. Qual è l’inversa di x² sul ramo x≤0?
Mostra la soluzione ragionata
−√x, con dominio [0,+∞) e immagine (−∞,0]. Per esempio −3→9→−3. La radice positiva tornerebbe al ramo sbagliato.
11. Per f(x)=2x+1, confronta inversa e reciproco.
Mostra la soluzione ragionata
L’inversa è (x−1)/2, definita su ℝ. Il reciproco è 1/(2x+1), con x≠−1/2. Sono funzioni diverse e rispondono a domande diverse.
12. Quanto vale arcsin(sin(3π/4))?
Mostra la soluzione ragionata
π/4, perché arcsin restituisce il valore nel ramo [−π/2,π/2]. 3π/4 è fuori da quel ramo; il seno non è globalmente iniettivo.