Avant de calculer une limite ou une dérivée, comprenons la fonction : où elle existe, quelles valeurs elle prend et comment elle se construit à partir de fonctions simples. Ce chapitre ouvre le parcours d’Analyse et établit un vocabulaire commun avec exemples, vérifications et laboratoire de graphes, compositions et réciproques.
Laboratoire des fonctions usuelles · Index du parcours
1. Une fonction ne se réduit pas à une formule
Une fonction f:D→C associe à chaque x de son domaine D une seule valeur f(x) du codomaine C. Des entrées différentes peuvent partager une sortie : x² envoie 2 et −2 sur 4. Deux sorties différentes pour une même entrée sont interdites. Ainsi y=±√x ne définit pas une seule fonction, tandis que y=√x choisit la racine non négative.
Domaine, codomaine et règle font partie de la définition. La même formule x² sur ℝ ou sur [0,+∞) décrit des fonctions aux propriétés différentes : seule la seconde est injective. Un modèle de coût f(t)=3+2t peut avoir t≥0 comme domaine physique, bien que sa formule accepte tout réel.
2. Lire f(x), les graphes et les intervalles
f(x) est la valeur à l’entrée x, pas un produit f×x. Si f(x)=x²+1, alors f(−2)=5 et f(x+1)=(x+1)²+1 : remplaçons l’entrée entière avec les parenthèses. Le graphe est formé des points (x,f(x)). Une droite verticale ne peut le rencontrer en deux points distincts de même abscisse.
[a,b] inclut les deux bornes ; (a,b) les exclut ; [a,b) inclut seulement a. Aux bornes ±∞, la parenthèse est ouverte : l’infini n’est pas une borne réelle incluse. ∪ réunit des intervalles ; ℝ∖{c} exclut c. Les zéros résolvent f(x)=0 ; l’intersection avec l’axe vertical est (0,f(0)), seulement si 0 est dans le domaine.
3. Domaine : toutes les conditions simultanément
Le domaine réel naturel contient les entrées pour lesquelles l’expression a un sens. Les polynômes n’excluent rien ; un dénominateur est non nul ; une racine d’indice pair exige un radicande ≥0 ; un logarithme exige un argument >0. Les racines d’indice impair acceptent aussi les négatifs. Les conditions simultanées s’intersectent, elles ne se réunissent pas.
Pour 1/√(4−x²), la racine est au dénominateur : il faut 4−x²>0, pas ≥0. Donc D=(−2,2). Pour √(ln x), il faut x>0 et ln x≥0, d’où D=[1,+∞). Pour ln(√x), il faut x≥0 et √x>0, d’où D=(0,+∞). L’ordre change le domaine.
4. Simplifier n’efface pas le domaine
(x²−1)/(x−1)=(x−1)(x+1)/(x−1)=x+1 seulement pour x≠1. Le graphe est une droite privée de (1,2). La fonction x+1 sur tout ℝ est un prolongement, pas exactement la fonction initiale.
Pour √[(x−1)/(x+2)], imposons x≠−2 et (x−1)/(x+2)≥0. Le quotient est positif pour x<−2, négatif pour −2<x<1, nul en 1 et positif pour x>1. Donc D=(−∞,−2)∪[1,+∞). Le remplacer partout par √(x−1)/√(x+2) ferait perdre la branche x<−2, où numérateur et dénominateur du quotient sont tous deux négatifs.
5. Image et codomaine sont différents
Le codomaine est l’ensemble d’arrivée déclaré ; l’image Im f={f(x):x∈D} contient les valeurs réellement atteintes. Si f:ℝ→ℝ, f(x)=x²+2, le codomaine est ℝ mais l’image [2,+∞). En effet x²+2≥2 et chaque y≥2 est produit par x=√(y−2). Une borne ne suffit pas : vérifions que chaque valeur annoncée est atteinte.
Une fonction est surjective si son image égale son codomaine. x²+2 n’est pas surjective vers ℝ, mais l’est vers [2,+∞). Ces propriétés dépendent des ensembles choisis, pas seulement de la formule.
6. Une bibliothèque de graphes usuels
Apprenons quelques formes de référence. Les puissances entières positives sont définies sur ℝ ; les paires ont une image non négative, les impaires prennent aussi des valeurs négatives. Les puissances entières négatives excluent zéro. Distinguons racines paires et impaires : √(x²)=|x|, tandis que ∛(x³)=x pour tout réel.
Dans le tableau, c>0 et c≠1 ; n∈ℤ pour les exclusions de la tangente. Les intervalles décrivent les fonctions de base, pas toutes leurs transformations. Le laboratoire permet de comparer chaque famille.
| Famille | Formule | Domaine | Image |
|---|---|---|---|
| Identité | x | ℝ | ℝ |
| Carré | x² | ℝ | [0,+∞) |
| Cube | x³ | ℝ | ℝ |
| Valeur absolue | |x| | ℝ | [0,+∞) |
| Racine carrée | √x | [0,+∞) | [0,+∞) |
| Racine cubique | ∛x | ℝ | ℝ |
| Fonction inverse | 1/x | ℝ∖{0} | ℝ∖{0} |
| Exponentielle | cˣ | ℝ | (0,+∞) |
| Logarithme | log_c(x) | (0,+∞) | ℝ |
| Sinus | sin x | ℝ | [−1,1] |
| Cosinus | cos x | ℝ | [−1,1] |
| Tangente | tan x | ℝ∖{π/2+nπ : n∈ℤ} | ℝ |
7. Zéros, signe, monotonie et symétries
Les zéros de x²−4 sont −2 et 2. Son signe est positif à l’extérieur et négatif entre eux. Une fonction est strictement croissante si x₁<x₂ implique f(x₁)<f(x₂) pour toutes les entrées considérées ; la décroissance inverse la dernière inégalité. x² décroît sur (−∞,0] et croît sur [0,+∞), sans être monotone sur ℝ. 1/x décroît sur chaque branche, pas sur tout ℝ∖{0} : −1<1 mais f(−1)=−1<f(1)=1.
Sur un domaine symétrique par rapport à 0, f est paire si f(−x)=f(x), impaire si f(−x)=−f(x). Les paires sont symétriques par rapport à l’axe vertical ; les impaires par rapport à l’origine. x² et |x| sont paires, x³ et ∛x impaires. √x n’a pas de domaine symétrique et n’appartient à aucune de ces classes. Un graphe fini suggère ; les identités démontrent.
8. Exponentielles, logarithmes et fonctions périodiques
Pour c>0, c≠1, cˣ est positive, passe par (0,1), croît si c>1 et décroît si 0<c<1. logcx exige x>0, passe par (1,0) et a le même sens de monotonie. Ces fonctions sont réciproques. ln x est le logarithme en base e, avec la même condition de domaine. Les identités réelles log(ab)=log a+log b et log(a/b)=log a−log b exigent a,b>0.
En radians, sin x et cos x ont période 2π et valeurs entre −1 et 1. tan x=sin x/cos x a période π et exclut x=π/2+nπ. Une période T signifie que translater l’entrée de T conserve domaine et valeurs. Toute fonction oscillante n’est pas périodique et un graphe court ne prouve pas la périodicité.
9. Transformer un graphe en suivant les points
Considérons g(x)=a f(b(x−h))+k, b≠0. Si (u,f(u)) est sur le graphe initial, résolvons b(x−h)=u : x=h+u/b. Le point devient (h+u/b, k+a f(u)). Cette correspondance explique toutes les transformations sans mémoriser des signes apparemment inversés.
- h positif déplace à droite, négatif à gauche.
- k déplace vers le haut ou le bas.
- |a| modifie l’échelle verticale ; a<0 réfléchit verticalement avant la translation k.
- L’échelle horizontale vaut 1/|b| : b=2 comprime, b=1/2 dilate ; b<0 réfléchit horizontalement avant la translation h.
Exemple : f(u)=u², a=−2, b=2, h=1, k=3 donne g(x)=−8(x−1)²+3. Le sommet (0,0) devient (1,3) ; (1,1) devient (3/2,1). L’image est (−∞,3]. Le laboratoire déplace les points par ces formules, pas par reconstruction depuis les pixels.
10. Transformer aussi domaine et image
Pour g(x)=a f(b(x−h))+k, exigeons b(x−h)∈Df. L’image contient les valeurs k+ay avec y∈Im f. Pour g(x)=√(3−x), le radicande vaut −(x−3) : domaine x≤3, image [0,+∞). L’extrémité (3,0) est incluse.
Si a=0, l’expression 0·f(b(x−h))+k vaut k seulement là où f(b(x−h)) est définie. Ainsi 0·(1/x)+2 conserve x≠0 : une constante avec un point exclu, pas automatiquement une constante sur tout ℝ. Le laboratoire garde cette restriction. b=0 exige une vérification séparée de f(0) et n’est pas proposé parmi les paramètres.
11. Composer : l’ordre compte
(f∘g)(x)=f(g(x)) : appliquer g, puis f. Le domaine est {x∈Dg:g(x)∈Df}. Avec f(u)=√u et g(x)=x², f(g(x))=√(x²)=|x| sur ℝ. Inversement g(f(x))=(√x)²=x, seulement pour x≥0. L’ordre change formule et domaine.
Des formules finales identiques peuvent encore décrire des fonctions différentes : eln x=x seulement pour x>0, alors que ln(eˣ)=x pour tout réel. Avec f=ln et g(x)=x², ln(x²)=2ln|x| pour x≠0 ; 2ln x est invalide sur les négatifs. Le laboratoire suit entrée→fonction intérieure→fonction extérieure et donne les domaines exacts des cas guidés.
12. Une réciproque exige un retour univoque
f est injective si f(x₁)=f(x₂) implique x₁=x₂. Sa réciproque f⁻¹:Im f→D ramène alors chaque sortie à son unique entrée. Une réciproque sur tout le codomaine déclaré exige aussi la surjectivité : f doit être bijective. La stricte monotonie suffit, sans être nécessaire sur tout domaine : 1/x est injective malgré l’absence de monotonie globale.
Pour f(x)=2x+1, posons y=2x+1, résolvons x=(y−1)/2 puis renommons la variable : f⁻¹(x)=(x−1)/2. Vérifions f⁻¹(f(x))=x et f(f⁻¹(y))=y sur les domaines respectifs. Ce n’est pas 1/f(x)=1/(2x+1) : réciproque et inverse multiplicatif sont différents.
x² sur ℝ n’est pas injective : 1 et −1 donnent 1. Sur [0,+∞), sa réciproque est √x ; sur (−∞,0], elle vaut −√x. Les deux réciproques ont domaine [0,+∞), mais des images différentes. Les graphes se réfléchissent par rapport à y=x car (u,f(u)) devient (f(u),u). Sans injectivité, la réflexion est une relation, pas le graphe d’une fonction réciproque.
13. Branches, vérifications et suite du parcours
Le sinus sur ℝ n’est pas injectif. Restreint à [−π/2,π/2], il a pour réciproque arcsin, de domaine [−1,1] et image [−π/2,π/2]. sin(arcsin y)=y sur [−1,1], mais arcsin(sin x)=x seulement sur la branche principale : en x=3π/4, le résultat vaut π/4. Précisez toujours la branche utilisée.
- Lisez les parenthèses et annoncez le domaine.
- Reconnaissez la famille et trouvez l’image, distincte du codomaine.
- Pour les transformations, suivez un point par les formules.
- Pour une composition, vérifiez d’abord la fonction intérieure.
- Pour une réciproque, vérifiez injectivité et restriction.
- Utilisez le graphe comme contrôle, pas comme preuve.
Comparez douze familles, déplacez le point avec le curseur ou Démarrer, échangez l’ordre dans cinq couples et explorez neuf cas de réciproques. Le chapitre suivant sur les limites ajoute l’approche ; l’étude de fonction réunira domaine, limites et dérivées. Le laboratoire traite des cas guidés, pas un solveur universel.
Exercices : essayer avant de révéler
1. Quelle est l’image de x²+2 sur ℝ ?
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[2,+∞) : minimum 2 en x=0 ; tout y≥2 est atteint en x=√(y−2). Le codomaine peut être ℝ, sans être entièrement atteint.
2. Domaine de 1/√(4−x²) ?
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Il faut 4−x²>0 car la racine est au dénominateur. x²<4 donne −2<x<2. Les bornes annuleraient le dénominateur.
3. Domaine de √[(x−1)/(x+2)] ?
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Le quotient est non négatif pour x<−2 ou x≥1. −2 exclu, 1 inclus : (−∞,−2)∪[1,+∞). En x=−3, le quotient vaut 4 et la racine 2.
4. Que vaut √(x²) en x=−3 ?
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√9=3, pas −3. La racine carrée donne la valeur non négative, donc √(x²)=|x| sur ℝ.
5. Transformer (1,1) avec a=−2, b=2, h=1, k=3.
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x=h+u/b=1+1/2=3/2 ; y=k+af(u)=3−2=1. Le point devient (3/2,1). L’échelle horizontale divise l’abscisse relative, elle ne la multiplie pas.
6. Domaine et image de √(3−x) ?
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3−x≥0 donne x≤3, donc D=(−∞,3]. La racine prend toute valeur non négative : image [0,+∞). Le point (3,0) est inclus.
7. Avec f=√x et g=x², évaluer les deux ordres en x=−2.
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f(g(−2))=√4=2. g(f(−2)) n’est pas définie dans les réels : √(−2) est interdite. Simplifier formellement (√x)² en x ne suffit pas.
8. ln(x²)=2ln x vaut-elle en x=−2 ?
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Non : ln4 existe, ln(−2) non. Pour x≠0, la bonne formule est ln(x²)=2ln|x|. En x=−2, les deux membres valent ln4.
9. e^(ln x) et ln(e^x) sont-elles la même fonction ?
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Non : toutes deux se simplifient en x, mais la première a domaine (0,+∞), la seconde ℝ. Les identités valent sur les domaines respectifs.
10. Quelle est la réciproque de x² sur x≤0 ?
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−√x, domaine [0,+∞), image (−∞,0]. Par exemple −3→9→−3. La racine positive retournerait à la mauvaise branche.
11. Pour f(x)=2x+1, comparer réciproque et inverse multiplicatif.
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La réciproque est (x−1)/2 sur ℝ. L’inverse multiplicatif est 1/(2x+1), avec x≠−1/2. Ce sont des fonctions et des questions différentes.
12. Que vaut arcsin(sin(3π/4)) ?
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π/4, car arcsin renvoie la valeur dans [−π/2,π/2]. 3π/4 est hors de cette branche ; le sinus n’est pas globalement injectif.