¿Podemos sumar infinitos números y obtener un resultado finito? Depende de los términos y de su orden. Partimos de sumas calculables y llegamos a criterios que deciden la convergencia sin conocer una fórmula para el resultado. Conectamos las sucesiones con una comprensión más profunda de Taylor.
Series: sumas parciales y convergencia · Índice del recorrido
1. Término, suma parcial y serie
Una sucesión es una lista ordenada a₁,a₂,… . La serie Σₙ₌₁∞aₙ se define mediante S_N=a₁+…+a_N. No efectuamos una suma infinita de una vez: estudiamos el límite de sumas finitas.
Σₙ₌₁∞aₙ=S ⇔ lim(N→∞) S_N=S, con S finito.
Para aₙ=1/2ⁿ, los términos tienden a 0 y S_N a 1: son sucesiones distintas. Aquí converger significa tener límite finito; en los demás casos distinguimos crecimiento infinito y oscilación.
2. Serie geométrica: demostrar la fórmula
Con primer término 1, S_N=1+q+…+qN−1, donde el último exponente es N−1. Multiplicamos por q y restamos: (1−q)S_N=1−qᴺ. Para q≠1:
S_N=(1−qᴺ)/(1−q). Si |q|<1: S=1/(1−q), R_N=S−S_N=qᴺ/(1−q).
Con q=1/2: S_N=2−2¹⁻ᴺ y S=2. Tras 10 términos el error es 1/512≈0,001953125; tras 11, 1/1024<0,001. Con primer término A multiplicamos todo por A. Para q=1, S_N=N; para q=−1 las sumas alternan 1 y 0. A=0 siempre da cero.
3. Una condición necesaria, no suficiente
Si S_N→S, entonces a_N=S_N−S_(N−1)→0. Si aₙ no tiende a 0 la serie no converge. En Σn/(n+1) el término tiende a 1: las sumas crecen sin límite.
El recíproco es falso: la armónica Σ1/n diverge a +∞. Entre 2ᵏ⁻¹+1 y 2ᵏ hay 2ᵏ⁻¹ términos de al menos 1/2ᵏ: cada bloque añade al menos 1/2. Aunque 1/n→0, las sumas superan cualquier umbral.
4. Telescópicas: cancelaciones en sumas finitas
Como 1/[n(n+1)]=1/n−1/(n+1), escribimos primero la suma finita: S_N=(1−1/2)+(1/2−1/3)+…+(1/N−1/(N+1))=1−1/(N+1). Después tomamos el límite: S=1 y R_N=1/(N+1).
Bastan N=99 términos para error como máximo 0,01. No cancelamos informalmente dos sumas infinitas divergentes: las cancelaciones se realizan en una expresión finita.
5. Comparar series de términos positivos
Si definitivamente 0≤aₙ≤bₙ y Σbₙ converge, también converge Σaₙ. Si Σaₙ diverge a +∞, también Σbₙ. Cuidado con el sentido: ser mayor que una serie convergente no permite concluir.
Para n≥1, 0<1/(n²+3)≤1/n², luego converge. En cambio 1/(n+1)≥1/(2n), luego diverge como la armónica.
Para aₙ,bₙ>0, si aₙ/bₙ→L con 0<L<∞, ambas series tienen el mismo carácter. Comparamos (3n+1)/(n³+2) con 1/n²: el cociente tiende a 3. El criterio decide convergencia, no proporciona automáticamente la suma.
6. Criterio integral y series p
Si f es continua, positiva y decreciente para x≥1, Σf(n) converge exactamente cuando converge la integral impropia ∫₁∞f(x)dx. Los rectángulos sobre y bajo la gráfica justifican la comparación. La serie y la integral no tienen por qué valer lo mismo.
Σₙ₌₁∞1/nᵖ converge ⇔ p>1.
Para p>1, ∫₁∞x⁻ᵖdx=1/(p−1). Para 0<p≤1 la integral diverge; para p≤0 los términos ni siquiera tienden a cero. p=1 es el umbral, no un valor para redondear.
Para p>1, (N+1)¹⁻ᵖ/(p−1)≤R_N≤N¹⁻ᵖ/(p−1). Añadir estos extremos a S_N encierra la suma incluso sin fórmula exacta.
7. Cociente y raíz: no concluir también es un resultado
Si aₙ es no nulo desde cierto índice y existe L=lim |aₙ₊₁/aₙ|, L<1 da convergencia absoluta y L>1 (incluido infinito) da divergencia. L=1 no concluye. El criterio de la raíz usa L=lim ⁿ√|aₙ|, cuando existe, con las mismas conclusiones.
Para aₙ=3ⁿ/n!, el cociente es 3/(n+1)→0: convergencia absoluta. Para aₙ=n!/3ⁿ es (n+1)/3→∞: divergencia. Tanto 1/n como 1/n² dan L=1, pero la primera serie diverge y la segunda converge. El valor 1 no decide.
Si estos límites no existen, estas versiones sencillas no se aplican: elige otro criterio. Las versiones con límite superior quedan para profundizar.
8. Series alternadas y resto de Leibniz
Para Σ(−1)ⁿ⁻¹bₙ con bₙ≥0 decreciente hacia 0, las sumas pares crecen, las impares decrecen y su distancia tiende a 0. Comparten límite S. Si la monotonía empieza desde cierto índice, los términos iniciales no cambian la convergencia; aplica la cota solo en la cola donde se cumplen las hipótesis.
|S−S_N|≤b_(N+1). S está entre S_N y S_(N+1).
Para 1−1/2+1/3−… la suma es ln 2. Con N=99 el error es como máximo 1/100=0,01; con N=999 como máximo 0,001. Alternar signos no basta: bₙ debe tender a cero y cumplir las hipótesis. 1−1+1−… no converge en el sentido ordinario de sumas parciales.
9. Convergencia absoluta y condicional
Si converge Σ|aₙ|, Σaₙ converge absolutamente y por tanto converge. Si converge Σaₙ pero diverge Σ|aₙ|, la convergencia es condicional. La armónica alternada es condicional; Σ(−1)ⁿ⁻¹/n² es absoluta porque converge Σ1/n².
Para Σ(−1)ⁿ⁻¹/nᵖ: p>1 da convergencia absoluta; 0<p≤1 condicional; p≤0 términos que no tienden a cero. Reordenar una serie condicional puede cambiar la suma o destruir la convergencia. El laboratorio conserva siempre el orden original.
10. Series de potencias: centro, radio y extremos
Una serie Σₙ₌₀∞cₙ(x−a)ⁿ tiene centro a y radio R, quizá 0 o ∞: converge absolutamente si |x−a|<R y diverge si |x−a|>R. Para R finito positivo, estudia cada extremo por separado mediante sustitución. En el centro solo queda c₀: la potencia cero vale 1 incluso para x=a.
Para Σxⁿ, R=1 y no converge ningún extremo. Para Σₙ₌₁∞(−1)ⁿ⁻¹xⁿ/n, R=1; x=1 converge condicionalmente a ln 2 y x=−1 diverge a −∞. Para Σₙ₌₁∞xⁿ/n², R=1 y ambos extremos convergen absolutamente. Un mismo radio no implica un mismo intervalo.
Σxⁿ/n! tiene R=∞ y representa eˣ. Σn!xⁿ tiene R=0: para x≠0, el cociente de términos absolutos es (n+1)|x|→∞; en x=0 queda el término constante 1. Cocientes o raíces de coeficientes permiten obtener el radio cuando existen sus límites.
11. De series a funciones, conservando las hipótesis
Dentro del radio se puede derivar e integrar una serie de potencias término a término; el radio se conserva, pero los extremos pueden cambiar. De la geométrica, para |x|<1:
1/(1−x)=Σₙ₌₀∞xⁿ; derivando: 1/(1−x)²=Σₙ₌₁∞n xⁿ⁻¹. Integrando desde 0 hasta x: −ln(1−x)=Σₙ₌₁∞xⁿ/n. No extendemos automáticamente las identidades a los extremos.
Taylor elige cₙ=f⁽ⁿ⁾(a)/n!. Tener todas las derivadas no garantiza representar f: el resto debe tender a cero. Este punto y los restos de Lagrange y Peano se desarrollan en el capítulo de Taylor, que sigue a este en el recorrido.
12. Un método práctico y el laboratorio
- Escribe el término general y comprueba si tiende a cero.
- Busca una estructura conocida: geométrica, telescópica, serie p.
- Para términos positivos elige comparación, integral, cociente o raíz, comprobando hipótesis.
- Con signos alternados comprueba primero convergencia absoluta y luego, si procede, Leibniz.
- Para una serie de potencias determina el radio y estudia cada extremo por separado.
- Después busca suma y cota del resto: converger no significa conocer una fórmula exacta.
El laboratorio ofrece nueve familias guiadas. N cuenta sumandos: exponencial y geométrica de potencias empiezan en índice 0 y terminan en N−1. El deslizador controla cuántos se ven; Reproducir añade uno por segundo. Cambia entre gráfica de términos y sumas parciales.
La clasificación procede de fórmulas y criterios, no de puntos dibujados. Solo se indica suma exacta cuando está prevista; en otro caso puede mostrarse un intervalo basado en el resto. «Buscar N» busca una cota suficiente hasta 2000 términos: no encontrarla no prueba divergencia ni imposibilidad. Los números están redondeados, sin aritmética de intervalos certificada.
Ejercicios: intenta antes de revelar
1. ¿Cuántos términos de 1+1/2+1/4+… bastan para error como máximo 0,001?
Mostrar la solución razonada
La suma es 2 y |R_N|=2¹⁻ᴺ. N=10 da 1/512>0,001; N=11 da 1/1024<0,001. Bastan once términos.
2. Calcula Σ1/[n(n+1)] y el resto tras 99 términos.
Mostrar la solución razonada
S_N=1−1/(N+1), luego S=1 y R_99=1/100=0,01. La cancelación se demuestra en la suma finita.
3. Compara Σ1/n y Σ1/n².
Mostrar la solución razonada
Ambos términos tienden a cero, pero la primera serie diverge y la segunda converge: el umbral es p>1.
4. El criterio del cociente da L=1: ¿podemos concluir divergencia?
Mostrar la solución razonada
No. Los cocientes de 1/n y 1/n² tienden a 1, pero las series tienen distinto carácter. Hace falta otro criterio.
5. ¿Converge absolutamente Σ(−1)ⁿ⁻¹/√n?
Mostrar la solución razonada
Converge por Leibniz, pero no absolutamente: Σ1/√n tiene p=1/2≤1. La convergencia es condicional.
6. Halla el intervalo de Σ(−1)ⁿ⁻¹xⁿ/n desde n=1.
Mostrar la solución razonada
R=1. En x=1 aparece la armónica alternada convergente; en x=−1, −Σ1/n divergente. El intervalo es (−1,1].
7. ¿Qué cambia para Σxⁿ/n²?
Mostrar la solución razonada
R sigue siendo 1, pero ambos extremos convergen absolutamente porque los términos absolutos son 1/n². El intervalo es [−1,1].
8. ¿Cuál es el radio de Σn!xⁿ desde n=0?
Mostrar la solución razonada
Para x≠0, |aₙ₊₁/aₙ|=(n+1)|x|→∞: diverge. En x=0 queda el término constante 0!·x⁰=1. Por tanto R=0 y el único punto de convergencia es 0.