Peut-on additionner une infinité de nombres et obtenir un résultat fini ? Cela dépend des termes et de leur ordre. Partons de sommes calculables pour arriver à des critères décidant la convergence sans connaître de formule pour le résultat. Ce parcours relie les suites à une meilleure compréhension de Taylor.
Séries : sommes partielles et convergence · Index du parcours
1. Terme, somme partielle et série
Une suite est une liste ordonnée a₁,a₂,… . La série Σₙ₌₁∞aₙ est définie par S_N=a₁+…+a_N. On n’effectue pas instantanément une addition infinie : on étudie la limite des sommes finies.
Σₙ₌₁∞aₙ=S ⇔ lim(N→∞) S_N=S, avec S fini.
Pour aₙ=1/2ⁿ, les termes tendent vers 0 et S_N vers 1 : ce sont deux suites différentes. Ici converger signifie avoir une limite finie ; nous distinguons croissance infinie et oscillation pour les autres cas.
2. Série géométrique : démontrer la formule
Avec premier terme 1, S_N=1+q+…+qN−1, où l’exposant final est N−1. Multiplions par q et soustrayons : (1−q)S_N=1−qᴺ. Pour q≠1 :
S_N=(1−qᴺ)/(1−q). Si |q|<1 : S=1/(1−q), R_N=S−S_N=qᴺ/(1−q).
Pour q=1/2 : S_N=2−2¹⁻ᴺ et S=2. Après 10 termes l’erreur vaut 1/512≈0,001953125 ; après 11, 1/1024<0,001. Avec premier terme A, on multiplie tout par A. Pour q=1, S_N=N ; pour q=−1 les sommes alternent 1 et 0. A=0 donne toujours zéro.
3. Une condition nécessaire, non suffisante
Si S_N→S, alors a_N=S_N−S_(N−1)→0. Si aₙ ne tend pas vers 0, la série ne converge pas. Pour Σn/(n+1), le terme tend vers 1 : les sommes croissent sans limite.
La réciproque est fausse : la série harmonique Σ1/n diverge vers +∞. Entre 2ᵏ⁻¹+1 et 2ᵏ, les 2ᵏ⁻¹ termes valent au moins 1/2ᵏ : chaque bloc ajoute au moins 1/2. Bien que 1/n→0, les sommes dépassent tout seuil.
4. Télescopage : annulations dans les sommes finies
Comme 1/[n(n+1)]=1/n−1/(n+1), écrivons la somme finie : S_N=(1−1/2)+(1/2−1/3)+…+(1/N−1/(N+1))=1−1/(N+1). Ensuite seulement passons à la limite : S=1 et R_N=1/(N+1).
N=99 termes suffisent pour une erreur au plus 0,01. On n’annule pas informellement deux sommes infinies divergentes : les annulations se font dans une expression finie.
5. Comparer des séries à termes positifs
Si, à partir d’un rang, 0≤aₙ≤bₙ et Σbₙ converge, Σaₙ converge aussi. Si Σaₙ diverge vers +∞, Σbₙ aussi. Attention au sens : être plus grande qu’une série convergente ne permet pas de conclure.
Pour n≥1, 0<1/(n²+3)≤1/n², donc convergence. En revanche 1/(n+1)≥1/(2n), donc divergence comme l’harmonique.
Pour aₙ,bₙ>0, si aₙ/bₙ→L avec 0<L<∞, les séries ont même nature. Comparer (3n+1)/(n³+2) à 1/n² donne un rapport tendant vers 3. Le critère décide la convergence, pas automatiquement la somme.
6. Critère intégral et séries de Riemann
Si f est continue, positive et décroissante pour x≥1, Σf(n) converge exactement lorsque l’intégrale impropre ∫₁∞f(x)dx converge. Les rectangles au-dessus et au-dessous du graphe justifient le critère. Série et intégrale n’ont pas forcément la même valeur.
Σₙ₌₁∞1/nᵖ converge ⇔ p>1.
Pour p>1, ∫₁∞x⁻ᵖdx=1/(p−1). Pour 0<p≤1 l’intégrale diverge ; pour p≤0 les termes ne tendent même pas vers zéro. p=1 est le seuil, pas une valeur à arrondir.
Pour p>1, (N+1)¹⁻ᵖ/(p−1)≤R_N≤N¹⁻ᵖ/(p−1). Ajouter ces bornes à S_N encadre la somme même sans formule exacte.
7. Rapport et racine : le cas indécis compte aussi
Si aₙ est non nul à partir d’un rang et L=lim |aₙ₊₁/aₙ| existe, L<1 donne la convergence absolue et L>1 (infini compris) la divergence. L=1 ne permet pas de conclure. Le critère de la racine utilise L=lim ⁿ√|aₙ|, lorsqu’il existe, avec les mêmes conclusions.
Pour aₙ=3ⁿ/n!, le rapport vaut 3/(n+1)→0 : convergence absolue. Pour aₙ=n!/3ⁿ il vaut (n+1)/3→∞ : divergence. 1/n et 1/n² donnent tous deux L=1, mais la première série diverge et la seconde converge. La valeur 1 ne tranche pas.
Si ces limites n’existent pas, ces versions simples ne s’appliquent pas : choisir un autre critère. Les versions avec limite supérieure constituent un approfondissement.
8. Séries alternées et reste de Leibniz
Pour Σ(−1)ⁿ⁻¹bₙ, avec bₙ≥0 décroissant vers 0, les sommes paires croissent, les impaires décroissent et leur écart tend vers 0. Elles ont la même limite S. Si la monotonie commence seulement à partir d’un rang, les premiers termes ne changent pas la convergence ; utiliser la borne dans la queue où les hypothèses sont satisfaites.
|S−S_N|≤b_(N+1). S est entre S_N et S_(N+1).
Pour 1−1/2+1/3−… la somme vaut ln 2. Avec N=99 l’erreur est au plus 1/100=0,01 ; avec N=999 au plus 0,001. Alterner les signes ne suffit pas : bₙ doit tendre vers zéro et satisfaire les hypothèses. 1−1+1−… ne converge pas au sens ordinaire des sommes partielles.
9. Convergence absolue et conditionnelle
Si Σ|aₙ| converge, Σaₙ converge absolument, donc converge. Si Σaₙ converge mais Σ|aₙ| diverge, la convergence est conditionnelle. L’harmonique alternée est conditionnelle ; Σ(−1)ⁿ⁻¹/n² est absolue car Σ1/n² converge.
Pour Σ(−1)ⁿ⁻¹/nᵖ : p>1 donne la convergence absolue ; 0<p≤1 la convergence conditionnelle ; p≤0 des termes ne tendant pas vers zéro. Réordonner une série conditionnelle peut changer sa somme ou détruire sa convergence. Le laboratoire conserve toujours l’ordre initial.
10. Séries entières : centre, rayon et bords
Une série Σₙ₌₀∞cₙ(x−a)ⁿ a un centre a et un rayon R, éventuellement 0 ou ∞ : convergence absolue si |x−a|<R, divergence si |x−a|>R. Pour R fini positif, étudier chaque bord séparément par substitution. Au centre seul c₀ reste : la puissance zéro vaut 1 même en x=a.
Pour Σxⁿ, R=1 et aucun bord ne converge. Pour Σₙ₌₁∞(−1)ⁿ⁻¹xⁿ/n, R=1 ; x=1 converge conditionnellement vers ln 2, x=−1 diverge vers −∞. Pour Σₙ₌₁∞xⁿ/n², R=1 et les deux bords convergent absolument. Même rayon ne signifie pas même intervalle.
Σxⁿ/n! a R=∞ et représente eˣ. Σn!xⁿ a R=0 : pour x≠0, le rapport des termes en valeur absolue est (n+1)|x|→∞ ; en x=0 seul le terme constant 1 reste. Rapports ou racines des coefficients permettent de calculer le rayon lorsque leurs limites existent.
11. Des séries aux fonctions, avec les hypothèses
À l’intérieur du rayon, on peut dériver et intégrer une série entière terme à terme ; le rayon reste identique, mais le comportement aux bords peut changer. De la géométrique, pour |x|<1 :
1/(1−x)=Σₙ₌₀∞xⁿ ; en dérivant : 1/(1−x)²=Σₙ₌₁∞n xⁿ⁻¹. En intégrant de 0 à x : −ln(1−x)=Σₙ₌₁∞xⁿ/n. Ne pas étendre automatiquement ces identités aux bords.
Taylor choisit cₙ=f⁽ⁿ⁾(a)/n!. Toutes les dérivées ne garantissent pas la représentation de f : le reste doit tendre vers zéro. Ce point et les restes de Lagrange et de Peano sont développés dans le chapitre Taylor, qui suit celui-ci dans le parcours.
12. Une méthode pratique et le laboratoire
- Écrire le terme général et vérifier s’il tend vers zéro.
- Chercher une structure connue : géométrique, télescopique, série de Riemann.
- Pour les termes positifs choisir comparaison, intégrale, rapport ou racine en vérifiant les hypothèses.
- Pour les signes alternés tester d’abord la convergence absolue, puis éventuellement Leibniz.
- Pour une série entière déterminer le rayon et étudier séparément chaque bord.
- Chercher ensuite la somme et une borne du reste : converger ne signifie pas connaître une formule exacte.
Le laboratoire propose neuf familles guidées. N compte les termes : exponentielle et géométrique de puissances commencent à l’indice 0 et finissent à N−1. Le curseur contrôle le nombre visible ; Lecture ajoute un terme par seconde. Choisir entre graphe des termes et sommes partielles.
La classification vient des formules et critères, pas des points dessinés. Une somme exacte est indiquée uniquement si elle est prévue ; sinon un encadrement par le reste peut apparaître. « Trouver N » cherche une borne suffisante jusqu’à 2000 termes : un échec ne prouve ni divergence ni impossibilité. Les nombres sont arrondis, sans arithmétique d’intervalles certifiée.
Exercices : essayer avant de révéler
1. Combien de termes de 1+1/2+1/4+… suffisent pour une erreur au plus 0,001 ?
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La somme vaut 2 et |R_N|=2¹⁻ᴺ. N=10 donne 1/512>0,001 ; N=11 donne 1/1024<0,001. Onze termes suffisent.
2. Calculer Σ1/[n(n+1)] et son reste après 99 termes.
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S_N=1−1/(N+1), donc S=1 et R_99=1/100=0,01. Les annulations sont établies sur la somme finie.
3. Comparer Σ1/n et Σ1/n².
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Les deux termes tendent vers zéro, mais la première série diverge et la seconde converge : le seuil est p>1.
4. Le critère du rapport donne L=1 : peut-on conclure à la divergence ?
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Non. Pour 1/n et 1/n², le rapport tend vers 1, mais les séries ont des natures différentes. Il faut un autre critère.
5. Σ(−1)ⁿ⁻¹/√n converge-t-elle absolument ?
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Elle converge par Leibniz, mais pas absolument : Σ1/√n a p=1/2≤1. La convergence est conditionnelle.
6. Trouver l’intervalle de Σ(−1)ⁿ⁻¹xⁿ/n à partir de n=1.
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R=1. En x=1 on obtient l’harmonique alternée convergente ; en x=−1, −Σ1/n divergente. L’intervalle est (−1,1].
7. Que change Σxⁿ/n² ?
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R reste 1, mais les deux bords convergent absolument car les valeurs absolues sont 1/n². L’intervalle est [−1,1].
8. Quel est le rayon de Σn!xⁿ à partir de n=0 ?
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Pour x≠0, |aₙ₊₁/aₙ|=(n+1)|x|→∞ : divergence. En x=0 seul le terme constant 0!·x⁰=1 reste. Donc R=0 et la convergence n’a lieu qu’en 0.