Possiamo sommare infiniti numeri e ottenere un risultato finito? La risposta dipende dai termini e dal loro ordine. Partiamo da somme che sappiamo calcolare e arriviamo a criteri che permettono di decidere la convergenza anche senza conoscere una formula per il risultato. Il percorso si collega alle successioni e prepara una lettura più consapevole di Taylor.
Serie: somme parziali e convergenza · Indice del percorso
1. Termine, somma parziale e serie
Una successione è una lista ordinata a₁,a₂,… . La serie Σₙ₌₁∞aₙ si definisce tramite S_N=a₁+…+a_N. Non eseguiamo un’addizione infinita in un istante: studiamo il limite delle somme finite.
Σₙ₌₁∞aₙ=S ⇔ lim(N→∞) S_N=S, con S finito.
Per aₙ=1/2ⁿ i termini tendono a 0 e S_N tende a 1: sono due successioni diverse. Qui “convergente” significa limite finito; specificheremo se una serie non convergente tende a un infinito oppure oscilla.
2. La geometrica: una formula dimostrata
Con primo termine 1, S_N=1+q+…+qN−1, dove l’esponente finale è N−1. Moltiplichiamo per q e sottraiamo: (1−q)S_N=1−qᴺ. Per q≠1:
S_N=(1−qᴺ)/(1−q). Se |q|<1: S=1/(1−q), R_N=S−S_N=qᴺ/(1−q).
Con q=1/2: S_N=2−2¹⁻ᴺ e S=2. Dopo 10 termini l’errore è 1/512≈0,001953125; dopo 11 è 1/1024<0,001. Se il primo termine è A, moltiplichiamo tutto per A. Per q=1, S_N=N; per q=−1 le somme alternano 1 e 0. Il caso A=0 è sempre nullo.
3. Un controllo necessario, non sufficiente
Se S_N→S, allora a_N=S_N−S_(N−1)→0. Quindi se aₙ non tende a 0 la serie non converge. Per Σn/(n+1), il termine tende a 1: fermiamoci subito, le somme crescono senza limite.
Il contrario è falso: la serie armonica Σ1/n diverge a +∞. Tra 2ᵏ⁻¹+1 e 2ᵏ ci sono 2ᵏ⁻¹ addendi almeno pari a 1/2ᵏ: ogni blocco aggiunge almeno 1/2. Nonostante 1/n→0, le somme superano qualsiasi soglia.
4. La telescopica: cancellazioni nelle somme finite
Poiché 1/[n(n+1)]=1/n−1/(n+1), scriviamo prima la somma finita: S_N=(1−1/2)+(1/2−1/3)+…+(1/N−1/(N+1))=1−1/(N+1). Solo dopo passiamo al limite: S=1 e R_N=1/(N+1).
Per errore al più 0,01 bastano N=99 termini. Non stiamo cancellando informalmente due somme infinite divergenti: le cancellazioni avvengono dentro un’espressione finita.
5. Confronti tra serie a termini positivi
Se definitivamente 0≤aₙ≤bₙ e Σbₙ converge, converge anche Σaₙ. Se Σaₙ diverge a +∞, diverge anche Σbₙ. Attenzione alla direzione: una serie più grande di una convergente può fare entrambe le cose.
Per n≥1: 0<1/(n²+3)≤1/n², quindi converge. Invece 1/(n+1)≥1/(2n), quindi diverge come l’armonica.
Con aₙ,bₙ>0, se aₙ/bₙ→L con 0<L<∞, le due serie hanno lo stesso carattere. Così (3n+1)/(n³+2) si confronta con 1/n²: il rapporto tende a 3. Il criterio decide la convergenza, non fornisce automaticamente la somma.
6. Criterio integrale e serie p
Se f è continua, positiva e decrescente per x≥1, la serie Σf(n) converge se e solo se converge l’integrale improprio ∫₁∞f(x)dx. Il confronto nasce dai rettangoli sotto e sopra il grafico. Non dice che serie e integrale abbiano lo stesso valore.
Σₙ₌₁∞1/nᵖ converge ⇔ p>1.
Per p>1, ∫₁∞x⁻ᵖdx=1/(p−1). Per 0<p≤1 l’integrale diverge; per p≤0 i termini non tendono neppure a zero. Il parametro p=1 è la soglia, non un caso da arrotondare.
Per p>1, il resto soddisfa (N+1)¹⁻ᵖ/(p−1)≤R_N≤N¹⁻ᵖ/(p−1). Aggiungendo questi estremi a S_N otteniamo un intervallo per la somma anche quando non ne conosciamo una formula esatta.
7. Rapporto e radice: anche “non conclude” è un risultato
Se aₙ è non nullo da un certo indice e L=lim |aₙ₊₁/aₙ| esiste, L<1 dà convergenza assoluta, L>1 (anche infinito) dà divergenza. Per L=1 il criterio non conclude. Il criterio della radice usa L=lim ⁿ√|aₙ|, quando esiste, con le stesse conclusioni.
Per aₙ=3ⁿ/n!, il rapporto è 3/(n+1)→0: convergenza assoluta. Per aₙ=n!/3ⁿ il rapporto è (n+1)/3→∞: divergenza. Sia 1/n sia 1/n² danno invece L=1, ma la prima serie diverge e la seconda converge. Il valore 1 non è una risposta sulla serie.
Se i limiti non esistono non applichiamo queste versioni semplici del criterio: si può scegliere un altro confronto. Le versioni con limite superiore sono un approfondimento successivo.
8. Serie alternate e resto di Leibniz
Per Σ(−1)ⁿ⁻¹bₙ, con bₙ≥0 decrescente e bₙ→0, le somme pari crescono, quelle dispari decrescono e la distanza fra loro tende a 0. Convergono allo stesso S. Se la monotonia vale solo dopo un certo indice, i termini iniziali non cambiano la convergenza; la stima va usata nella coda dove valgono le ipotesi.
|S−S_N|≤b_(N+1). S è tra S_N e S_(N+1).
Per 1−1/2+1/3−… la somma è ln 2. Con N=99 l’errore è al più 1/100=0,01; con N=999 è al più 0,001. Cambiare segno non basta: bₙ deve tendere a zero e rispettare le ipotesi. La serie 1−1+1−… non converge nel senso ordinario delle somme parziali.
9. Convergenza assoluta e condizionata
Se Σ|aₙ| converge, Σaₙ converge assolutamente e quindi converge. Se Σaₙ converge ma Σ|aₙ| diverge, la convergenza è condizionata. L’armonica alternata è condizionata; Σ(−1)ⁿ⁻¹/n² è assoluta perché Σ1/n² converge.
Per Σ(−1)ⁿ⁻¹/nᵖ: p>1 dà convergenza assoluta; 0<p≤1 dà convergenza condizionata; p≤0 dà termini che non tendono a zero. Una serie condizionata non può essere riordinata liberamente: cambiare l’ordine può cambiare la somma o distruggere la convergenza. Nel laboratorio si mantiene sempre l’ordine originale.
10. Serie di potenze: centro, raggio ed estremi
Una serie Σₙ₌₀∞cₙ(x−a)ⁿ ha centro a e un raggio R, anche 0 o ∞: converge assolutamente se |x−a|<R e diverge se |x−a|>R. I due estremi, quando R è finito e positivo, si studiano separatamente sostituendoli nella serie. Al centro rimane c₀: il termine di ordine zero vale 1 anche per x=a.
Per Σxⁿ: R=1 e nessun estremo converge. Per Σₙ₌₁∞(−1)ⁿ⁻¹xⁿ/n: R=1, x=1 converge condizionatamente a ln 2, x=−1 diverge a −∞. Per Σₙ₌₁∞xⁿ/n²: R=1 ed entrambi gli estremi convergono assolutamente. Lo stesso raggio non significa lo stesso intervallo.
Σxⁿ/n! ha R=∞ e rappresenta eˣ. Σn!xⁿ ha R=0: per x≠0 il rapporto dei valori assoluti è (n+1)|x|→∞; in x=0 resta il solo termine costante 1. Nel calcolo del raggio si può usare rapporto o radice sui coefficienti quando i relativi limiti esistono.
11. Dalle serie alle funzioni, senza perdere le ipotesi
All’interno del raggio si può derivare e integrare una serie di potenze termine a termine; il raggio resta lo stesso, ma il comportamento agli estremi può cambiare. Dalla geometrica, per |x|<1:
1/(1−x)=Σₙ₌₀∞xⁿ; derivando: 1/(1−x)²=Σₙ₌₁∞n xⁿ⁻¹. Integrando da 0 a x: −ln(1−x)=Σₙ₌₁∞xⁿ/n. Non estendiamo automaticamente queste identità ai bordi.
Taylor sceglie cₙ=f⁽ⁿ⁾(a)/n!. Avere tutte le derivate non basta a rappresentare f: occorre che il resto tenda a zero. Questo punto, il resto di Lagrange e quello di Peano sono sviluppati nell’articolo dedicato a Taylor, che segue questo capitolo nel percorso.
12. Una procedura pratica e il laboratorio
- Scrivi il termine generale e controlla se tende a zero.
- Cerca una struttura nota: geometrica, telescopica, serie p.
- Per termini positivi scegli confronto, integrale, rapporto o radice, verificando le ipotesi.
- Per segni alterni controlla prima la convergenza assoluta, poi eventualmente Leibniz.
- Per una serie di potenze determina raggio e, separatamente, ciascun estremo.
- Solo dopo cerca la somma e una stima del resto: convergere non equivale a conoscere una formula esatta.
Il laboratorio offre nove famiglie guidate. N è il numero di addendi: per exp e geometrica di potenze si parte dall’indice 0 e si arriva a N−1. Il cursore mostra quanti addendi sono visibili; Avvia ne aggiunge uno al secondo. Cambia tra grafico dei termini e delle somme parziali.
La classificazione deriva dalle formule e dai criteri del caso, non dai punti disegnati. Una somma esatta è indicata solo quando predisposta; altrimenti può comparire un intervallo ottenuto dal resto. “Trova N” cerca una stima sufficiente entro 2000 termini: non trovarla non prova né divergenza né impossibilità. Le cifre sono arrotondate, non aritmetica intervallare certificata.
Esercizi: prova prima di aprire
1. Quanti termini di 1+1/2+1/4+… bastano per errore al più 0,001?
Mostra la soluzione ragionata
La somma è 2 e |R_N|=2¹⁻ᴺ. N=10 dà 1/512>0,001; N=11 dà 1/1024<0,001. Bastano 11 termini.
2. Calcola Σ1/[n(n+1)] e controlla il resto dopo 99 termini.
Mostra la soluzione ragionata
S_N=1−1/(N+1), quindi S=1 e R_99=1/100=0,01. La cancellazione è dimostrata sulla somma finita.
3. Confronta Σ1/n e Σ1/n².
Mostra la soluzione ragionata
Entrambi i termini tendono a zero, ma la prima serie diverge e la seconda converge: per le serie p la soglia è p>1.
4. Il criterio del rapporto dà L=1: possiamo dire che la serie diverge?
Mostra la soluzione ragionata
No. Per 1/n e 1/n² il rapporto tende a 1, ma le serie hanno carattere diverso. Occorre un altro criterio.
5. Σ(−1)ⁿ⁻¹/√n converge assolutamente?
Mostra la soluzione ragionata
Converge per Leibniz, ma non assolutamente: Σ1/√n è una serie p con p=1/2≤1. È convergenza condizionata.
6. Trova l’intervallo di Σ(−1)ⁿ⁻¹xⁿ/n, da n=1.
Mostra la soluzione ragionata
R=1. In x=1 si ottiene l’armonica alternata, convergente; in x=−1 si ottiene −Σ1/n, divergente. L’intervallo è (−1,1].
7. Che cosa cambia per Σxⁿ/n²?
Mostra la soluzione ragionata
Resta R=1, ma entrambi gli estremi convergono assolutamente perché il valore assoluto dei termini è 1/n². L’intervallo è [−1,1].
8. Qual è il raggio di Σn!xⁿ, partendo da n=0?
Mostra la soluzione ragionata
Per x≠0, |aₙ₊₁/aₙ|=(n+1)|x|→∞: diverge. In x=0 resta il termine costante 0!·x⁰=1. Quindi R=0 e l’unico punto di convergenza è 0.
Successioni · Taylor con resto