Una curva sin interrupciones es una primera intuición útil, no una definición. Estudiamos qué significa la continuidad, qué conclusiones se demuestran y por qué comprobar las hipótesis importa tanto como aplicar una fórmula.
Laboratorio de continuidad y teoremas · Índice del recorrido
1. Tres comprobaciones en un punto
Para f:D→ℝ y c en su dominio, la continuidad significa lim(x→c, x∈D) f(x)=f(c). El valor f(c) debe estar definido, el límite relativo al dominio debe existir y ser finito, y ambos deben coincidir. En puntos de acumulación estas son las tres comprobaciones prácticas. Un punto aislado del dominio es automáticamente un punto de continuidad relativa.
Para f(x)=x² en c=2, f(2) y el límite valen 4. Para f(x)=x+1 si x≠1 y f(1)=0, el límite en 1 vale 2 pero el valor es 0: falla la continuidad. Cambiar solo f(1) por 2 elimina la discontinuidad.
2. Qué exigen ε y δ
La definición precisa es: para todo ε>0 existe δ>0 tal que, para todo x∈D, |x−c|<δ ⇒ |f(x)−f(c)|<ε. ε es la tolerancia de salida; δ controla la entrada. δ puede depender de ε y c, pero no del x individual elegido después.
Para f(x)=2x+1, |f(x)−f(c)|=2|x−c|. Elegimos δ=ε/2: entonces 2|x−c|<2δ=ε. Para ε=0,1 basta δ=0,05. El laboratorio compara bandas y muestra un contraejemplo explícito si δ es demasiado grande. Una gráfica muestreada no demuestra «para todo».
3. Dominio, extremos y discontinuidades
√x es continua en 0 respecto de [0,+∞): solo cuenta la aproximación por la derecha. 1/x es continua en todo ℝ∖{0}; 0 es una singularidad excluida, no un punto de discontinuidad perteneciente al dominio, y no admite prolongación continua finita.
- Evitable: límite finito, valor ausente o distinto. Asignar el límite prolonga una función no definida en c.
- Salto: límites laterales finitos distintos, como −1 a la izquierda de 0 y 1 desde 0.
- Infinita: al menos un límite lateral infinito, como 1/x en 0.
- Oscilante: sin(1/x) no tiene límite en 0. Asignar f(0) no restaura la continuidad.
«Dibujar sin levantar el lápiz» no describe bien todos los dominios: usamos la definición.
4. Unir dos fórmulas
Sea f(x)=x+1 si x<0 y f(x)=mx+h si x≥0. En 0, el límite izquierdo vale 1, el derecho h y f(0)=h. Por tanto, f es continua en 0 ⇔ h=1, para cualquier m. Con h=1 y m=2 el empalme es continuo pero tiene una esquina: las pendientes laterales son 1 y 2. La derivabilidad exige además m=1.
La derivabilidad implica continuidad, no al revés: |x| es continua en 0, pero las derivadas laterales −1 y 1 difieren. «Sin salto» no significa «sin esquina».
5. Operaciones y conservación del signo
Suma, diferencia y producto de funciones continuas son continuos en puntos comunes del dominio; el cociente lo es donde el denominador no es cero. La composición g∘f es continua en c si f es continua en c y g en f(c), con dominios compatibles. Polinomios, seno y exponencial son continuos en ℝ; logaritmo en (0,+∞); funciones racionales donde su denominador no se anula.
Conservación del signo. Si f es continua en c y f(c)>0, entonces f(x)>0 para puntos del dominio suficientemente cercanos a c. Elegimos ε=f(c)/2: la continuidad da f(x)>f(c)−ε=f(c)/2>0. El caso negativo es análogo. Si f(c)=0 no se concluye nada: x cambia de signo, x² no.
6. Teorema del valor intermedio
Si f es continua en [a,b], toma todo valor ℓ entre f(a) y f(b). Existe c∈[a,b] con f(c)=ℓ. Si ℓ está estrictamente entre los valores extremos, c es interior.
Una temperatura modelada continuamente de 18 a 24 grados debe pasar por 20: depende de la hipótesis del modelo, no de una tabla de medidas. El teorema asegura existencia, no unicidad. x³−x en [−2,2] vale 0 en −1, 0 y 1. La monotonía estricta, si se demuestra, garantiza como máximo una solución.
La continuidad es suficiente para esta propiedad, pero la propiedad del valor intermedio por sí sola no caracteriza las funciones continuas: no afirmamos el recíproco.
7. Bolzano: al menos un cero
Si f es continua en [a,b] y f(a)f(b)<0, existe c∈(a,b) con f(c)=0.
Es el teorema del valor intermedio con ℓ=0. Un cero en un extremo se obtiene por evaluación directa. Para f(x)=x³−x−1 en [1,2], f(1)=−1 y f(2)=5: existe al menos un cero. Además f′(x)=3x²−1>0 allí: es único en ese intervalo.
El cambio de signo solo no basta: 1/x en [−1,1] no está definida en 0 y no tiene ceros; la función de salto −1/1 está definida en todos los puntos pero es discontinua y no toma 0. No es necesario: x² en [−1,1] se anula en 0 aunque ambos valores extremos sean 1. Un criterio inaplicable no significa «sin solución».
8. De la existencia a la bisección
Partimos de un intervalo de continuidad donde f(x)−ℓ tiene signos opuestos en los extremos. Evaluamos m=(a+b)/2. Salvo que m ya sea solución, conservamos la mitad con signos extremos opuestos. Continuidad y Bolzano siguen garantizando una solución allí. Repetimos.
Tras n divisiones, la anchura es (b−a)/2ⁿ; el punto medio del intervalo actual tiene error ≤ (b−a)/2ⁿ⁺¹. Para x³−x−1 en [1,2], diez divisiones dan anchura 1/1024 y error del punto medio ≤1/2048. El residuo |f(m)−ℓ| no suele ser el error |m−c|. Un residuo redondeado a cero no demuestra igualdad exacta.
La bisección también demuestra el teorema de los ceros: los intervalos cerrados encajados con longitudes tendentes a cero tienen un único punto común c; por continuidad los valores extremos tienden a f(c), que no puede ser positivo ni negativo y es cero. No se aplica cruzando saltos o polos.
9. Weierstrass: extremos absolutos
Una función continua en un intervalo cerrado y acotado [a,b] es acotada y alcanza mínimo y máximo absolutos: existen u,v∈[a,b] con f(u)≤f(x)≤f(v) para todo x∈[a,b].
Para x² en [−1,2], el mínimo es 0 en x=0 y el máximo 4 en x=2. Distinguimos el valor máximo 4 del punto de máximo 2. El teorema garantiza existencia, no localización. Con derivadas comprobamos extremos del intervalo, puntos estacionarios y puntos interiores de no derivabilidad.
Ínfimo y supremo son la mayor cota inferior y la menor cota superior; solo son mínimo y máximo si se alcanzan. Para f(x)=x en (0,1), inf f=0 y sup f=1, pero ninguno se alcanza.
10. Quitar una hipótesis: ¿qué cambia?
- No cerrado: x en (0,1) no alcanza extremos.
- No acotado: x² en ℝ tiene mínimo 0 pero no máximo.
- No continua: f(0)=0 y f(x)=1/x para 0<x≤1 en [0,1] tiene mínimo 0 pero no está acotada superiormente.
- Estar acotada no basta: f(0)=1 y f(x)=x para 0<x≤1 en [0,1] tiene máximo 1, ínfimo 0 no alcanzado y ningún mínimo.
Atención a la lógica: sin una hipótesis, el teorema no garantiza la conclusión; no significa que sea falsa. La constante 2 en (0,1) alcanza ambos extremos en todo punto pese al dominio abierto. El laboratorio separa «¿teorema aplicable?» de «¿se alcanzan realmente los extremos?».
11. Por qué importan cierre y acotación
Esta es la idea de la prueba de Weierstrass. Usamos un hecho fundamental de compacidad: toda sucesión en [a,b] tiene una subsucesión que converge a un punto c todavía en [a,b]. La acotación impide escapar al infinito; el cierre conserva el límite en el dominio. Es el teorema de Bolzano–Weierstrass para sucesiones, distinto del teorema de los ceros de Bolzano.
Si f continua no fuera acotada, elegiríamos xₙ con |f(xₙ)|>n. Una subsucesión xₙⱼ converge a c; por continuidad f(xₙⱼ)→f(c), imposible porque los módulos crecen sin cota. Así f es acotada. Sea M=sup f; elegimos xₙ con M−1/n<f(xₙ)≤M. Una subsucesión converge a c∈[a,b]; la continuidad da f(c)=M. El máximo se alcanza. Aplicamos lo mismo a −f para el mínimo.
Ejercicios: intenta antes de revelar
1. Repara f(x)=x+1 para x≠1, f(1)=h.
Mostrar la solución razonada
El límite en 1 vale 2. Hace falta h=2 para igualar límite y valor.
2. Empalme x+1 / mx+h: ¿continuidad y derivabilidad?
Mostrar la solución razonada
La continuidad en 0 exige h=1. La derivabilidad exige además m=1. Son condiciones distintas.
3. Para 2x+1, ε=0,2: ¿sirve δ=0,1?
Mostrar la solución razonada
Sí: 2|x−c|<2δ=0,2. La desigualdad de entrada es estricta, por tanto la de salida también.
4. 1/x cambia de signo en [−1,1]: ¿tiene un cero?
Mostrar la solución razonada
No. No está definida en 0 ni es continua en todo el intervalo: falla una hipótesis de Bolzano. Para x≠0, 1/x nunca vale 0.
5. x² vale 1 en ambos extremos de [−1,1]. ¿Ningún cero?
Mostrar la solución razonada
Existe un cero en x=0. Cambiar de signo es suficiente, no necesario. El criterio de los valores extremos no concluye aquí.
6. Diez divisiones de [1,2]: ¿cota de error del punto medio?
Mostrar la solución razonada
Anchura 1/1024, error como máximo 1/2048≈0,00048828125 respecto de una solución conservada en el intervalo. No es el residuo.
7. x² en (−1,2): ¿qué extremos alcanza?
Mostrar la solución razonada
Mínimo 0 en x=0. Supremo 4 no alcanzado, por tanto ningún máximo. Weierstrass no se aplica al dominio abierto, pero existe mínimo.
8. f(0)=1, f(x)=x para 0<x≤1: ¿mínimo?
Mostrar la solución razonada
No existe: cualquier valor positivo pequeño se reduce eligiendo x positivo menor. Ínfimo 0 no alcanzado; máximo 1 en 0 y 1. El dominio es compacto pero falla la continuidad.