Une courbe sans rupture est une première intuition utile, pas une définition. Étudions le sens de la continuité, les conclusions démontrables et pourquoi vérifier les hypothèses compte autant qu’appliquer une formule.
Laboratoire de continuité et théorèmes · Index du parcours
1. Trois vérifications en un point
Pour f:D→ℝ et c dans son domaine, la continuité signifie lim(x→c, x∈D) f(x)=f(c). La valeur f(c) doit être définie, la limite relative au domaine doit exister et être finie, et ces valeurs doivent coïncider. Aux points d’accumulation, ce sont les trois vérifications pratiques. Un point isolé du domaine est automatiquement un point de continuité relative.
Pour f(x)=x² en c=2, f(2) et la limite valent 4. Pour f(x)=x+1 si x≠1 et f(1)=0, la limite en 1 vaut 2 mais la valeur vaut 0 : la continuité échoue. Remplacer seulement f(1) par 2 supprime la discontinuité.
2. Ce que demandent ε et δ
La définition précise est : pour tout ε>0 il existe δ>0 tel que, pour tout x∈D, |x−c|<δ ⇒ |f(x)−f(c)|<ε. ε est la tolérance sur le résultat ; δ contrôle l’entrée. δ peut dépendre de ε et de c, pas du x choisi ensuite.
Pour f(x)=2x+1, |f(x)−f(c)|=2|x−c|. Choisissons δ=ε/2 : alors 2|x−c|<2δ=ε. Avec ε=0,1, δ=0,05 suffit. Le laboratoire compare les bandes et donne un contre-exemple explicite si δ est trop grand. Un graphe échantillonné ne prouve pas « pour tout ».
3. Domaine, bornes et discontinuités
√x est continue en 0 relativement à [0,+∞) : seule l’approche à droite compte. 1/x est continue partout sur ℝ∖{0} ; 0 est une singularité exclue, pas un point de discontinuité appartenant au domaine, et aucun prolongement continu fini n’y existe.
- Éliminable : limite finie, valeur absente ou différente. Attribuer la limite prolonge la fonction non définie en c.
- Saut : limites latérales finies différentes, comme −1 à gauche de 0 et 1 à partir de 0.
- Infinie : au moins une limite latérale infinie, comme 1/x en 0.
- Oscillante : sin(1/x) n’a pas de limite en 0. Attribuer f(0) ne rétablit pas la continuité.
« Tracer sans lever le crayon » ne traite pas correctement tous les domaines : utilisons la définition.
4. Raccorder deux formules
Soit f(x)=x+1 si x<0 et f(x)=mx+h si x≥0. En 0, la limite gauche vaut 1, la limite droite vaut h et f(0)=h. Donc f est continue en 0 ⇔ h=1, quel que soit m. Avec h=1 et m=2, le raccord est continu mais présente un angle : les pentes latérales valent 1 et 2. La dérivabilité exige aussi m=1.
La dérivabilité implique la continuité, pas l’inverse : |x| est continue en 0, mais ses dérivées latérales −1 et 1 diffèrent. « Sans saut » ne signifie pas « sans angle ».
5. Opérations et conservation du signe
Somme, différence et produit de fonctions continues sont continus aux points communs du domaine ; le quotient l’est si le dénominateur est non nul. La composée g∘f est continue en c si f est continue en c et g en f(c), avec des domaines compatibles. Polynômes, sinus et exponentielle sont continus sur ℝ ; logarithme sur (0,+∞) ; fonctions rationnelles là où le dénominateur ne s’annule pas.
Conservation du signe. Si f est continue en c et f(c)>0, alors f(x)>0 pour les points du domaine assez proches de c. Prenons ε=f(c)/2 : la continuité donne f(x)>f(c)−ε=f(c)/2>0. Le cas négatif est analogue. Si f(c)=0, rien ne suit : x change de signe, x² non.
6. Théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue sur [a,b], elle prend toute valeur ℓ comprise entre f(a) et f(b). Il existe donc c∈[a,b] avec f(c)=ℓ. Si ℓ est strictement entre les valeurs aux bornes, c est intérieur.
Une température modélisée continûment de 18 à 24 degrés passe nécessairement par 20 : cela dépend du modèle, pas d’un tableau de mesures. Le théorème assure l’existence, pas l’unicité. x³−x sur [−2,2] vaut 0 en −1, 0 et 1. La stricte monotonie, si elle est démontrée, garantit au plus une solution.
La continuité suffit à cette propriété, mais la propriété des valeurs intermédiaires seule ne caractérise pas les fonctions continues : nous n’affirmons pas la réciproque.
7. Bolzano : au moins un zéro
Si f est continue sur [a,b] et f(a)f(b)<0, il existe c∈(a,b) tel que f(c)=0.
C’est le théorème des valeurs intermédiaires avec ℓ=0. Un zéro à une borne se trouve par évaluation directe. Pour f(x)=x³−x−1 sur [1,2], f(1)=−1 et f(2)=5 : un zéro existe. De plus f′(x)=3x²−1>0 sur cet intervalle : ce zéro y est unique.
Le changement de signe seul ne suffit pas : 1/x sur [−1,1] n’est pas définie en 0 et n’a pas de zéro ; la fonction à saut −1/1 est définie partout mais discontinue et ne prend jamais 0. Il n’est pas nécessaire : x² sur [−1,1] s’annule en 0 malgré deux valeurs aux bornes égales à 1. Un critère inapplicable ne signifie pas « aucune solution ».
8. De l’existence à la dichotomie
Partons d’un intervalle de continuité où f(x)−ℓ a des signes opposés aux bornes. Évaluons m=(a+b)/2. Sauf si m est déjà solution, gardons la moitié aux signes opposés. Continuité et Bolzano y garantissent encore une solution. Répétons.
Après n divisions, la largeur vaut (b−a)/2ⁿ ; le milieu de l’intervalle courant a une erreur ≤ (b−a)/2ⁿ⁺¹. Pour x³−x−1 sur [1,2], dix divisions donnent largeur 1/1024 et erreur du milieu ≤1/2048. Le résidu |f(m)−ℓ| n’est généralement pas l’erreur |m−c|. Un résidu arrondi à zéro ne prouve pas une égalité exacte.
La dichotomie démontre aussi le théorème des zéros : les intervalles fermés emboîtés de longueurs tendant vers zéro ont un unique point commun c ; la continuité fait converger les valeurs aux bornes vers f(c), qui ne peut être ni positif ni négatif, donc vaut zéro. Ne pas traverser saut ou pôle.
9. Weierstrass : extrema absolus
Une fonction continue sur un intervalle fermé et borné [a,b] est bornée et atteint un minimum et un maximum absolus : il existe u,v∈[a,b] tels que f(u)≤f(x)≤f(v) pour tout x∈[a,b].
Pour x² sur [−1,2], le minimum vaut 0 en x=0 et le maximum 4 en x=2. Distinguons la valeur maximale 4 du point de maximum 2. Le théorème garantit l’existence, pas la localisation. Avec les dérivées, on vérifie bornes, points stationnaires et points intérieurs de non-dérivabilité.
Infimum et supremum sont la plus grande borne inférieure et la plus petite borne supérieure ; ce sont un minimum et un maximum seulement s’ils sont atteints. Pour f(x)=x sur (0,1), inf f=0 et sup f=1, sans être atteints.
10. Retirer une hypothèse : que change-t-il ?
- Non fermé : x sur (0,1) n’atteint aucun extremum.
- Non borné : x² sur ℝ a minimum 0, sans maximum.
- Non continu : f(0)=0 et f(x)=1/x pour 0<x≤1 sur [0,1] a minimum 0 mais n’est pas majorée.
- Être bornée ne suffit pas : f(0)=1 et f(x)=x pour 0<x≤1 sur [0,1] a maximum 1, infimum 0 non atteint et aucun minimum.
Attention à la logique : sans une hypothèse, le théorème ne garantit rien ; sa conclusion n’est pas nécessairement fausse. La constante 2 sur (0,1) atteint les deux extrema partout malgré le domaine ouvert. Le laboratoire sépare « théorème applicable ? » et « extrema réellement atteints ? ».
11. Pourquoi fermeture et bornitude comptent
Voici l’idée de la preuve de Weierstrass. Utilisons un fait fondamental de compacité : toute suite dans [a,b] possède une sous-suite convergeant vers un point c encore dans [a,b]. La bornitude empêche la fuite à l’infini ; la fermeture garde la limite dans le domaine. C’est le théorème de Bolzano–Weierstrass sur les suites, distinct du théorème des zéros de Bolzano.
Si f continue n’était pas bornée, choisissons xₙ avec |f(xₙ)|>n. Une sous-suite xₙⱼ converge vers c ; par continuité f(xₙⱼ)→f(c), impossible puisque les modules croissent sans borne. Donc f est bornée. Soit M=sup f ; choisissons xₙ avec M−1/n<f(xₙ)≤M. Une sous-suite converge vers c∈[a,b] ; la continuité donne f(c)=M. Le maximum est atteint. Appliquons le même raisonnement à −f pour le minimum.
Exercices : essayer avant de révéler
1. Réparer f(x)=x+1 pour x≠1, f(1)=h.
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La limite en 1 vaut 2. Il faut h=2 pour égaler limite et valeur.
2. Raccord x+1 / mx+h : continuité et dérivabilité ?
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La continuité en 0 exige h=1. La dérivabilité exige aussi m=1. Ce sont deux conditions distinctes.
3. Pour 2x+1, ε=0,2 : δ=0,1 convient-il ?
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Oui : 2|x−c|<2δ=0,2. L’inégalité sur l’entrée est stricte, donc celle sur la sortie aussi.
4. 1/x change de signe sur [−1,1] : a-t-elle un zéro ?
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Non. Elle n’est pas définie en 0 ni continue sur tout l’intervalle : une hypothèse de Bolzano manque. Pour x≠0, 1/x ne vaut jamais 0.
5. x² vaut 1 aux bornes de [−1,1]. Aucun zéro ?
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Il existe un zéro en x=0. Le changement de signe suffit mais n’est pas nécessaire. Le critère des valeurs aux bornes ne conclut pas ici.
6. Dix divisions de [1,2] : borne de l’erreur du milieu ?
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Largeur 1/1024, erreur au plus 1/2048≈0,00048828125 par rapport à une solution conservée dans l’intervalle. Ce n’est pas le résidu.
7. x² sur (−1,2) : quels extrema sont atteints ?
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Minimum 0 en x=0. Supremum 4 non atteint, donc aucun maximum. Weierstrass ne s’applique pas au domaine ouvert, mais le minimum existe.
8. f(0)=1, f(x)=x pour 0<x≤1 : minimum ?
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Aucun : toute petite valeur positive peut être diminuée en choisissant x plus petit. Infimum 0 non atteint ; maximum 1 atteint en 0 et 1. Le domaine est compact mais la continuité manque.