Una curva senza interruzioni è un buon punto di partenza intuitivo, ma non è una definizione. Studiamo che cosa significa essere continui, quali conclusioni si possono dimostrare e perché controllare le ipotesi conta quanto applicare una formula.
Laboratorio di continuità e teoremi · Indice del percorso
1. Tre controlli nel punto
Per una funzione f:D→ℝ e un punto c del dominio, la continuità significa lim(x→c, x∈D) f(x)=f(c). Occorre che f(c) sia definito, che il limite relativo al dominio esista finito e che i due valori coincidano. Nei punti di accumulazione queste sono le tre verifiche operative. Un punto isolato del dominio è automaticamente un punto di continuità relativa.
Per f(x)=x² e c=2, f(2)=4 e il limite è 4. Per f(x)=x+1 se x≠1 e f(1)=0, il limite in 1 è 2, ma il valore è 0: la funzione non è continua in 1. Cambiare soltanto f(1) in 2 elimina la discontinuità.
2. Che cosa chiedono ε e δ
La definizione precisa è: per ogni ε>0 esiste δ>0 tale che, per ogni x∈D, |x−c|<δ ⇒ |f(x)−f(c)|<ε. ε è la tolleranza sul risultato; δ è quanto dobbiamo controllare l’ingresso. δ può dipendere da ε e da c, ma non dal singolo x scelto dopo.
Per f(x)=2x+1 si ha |f(x)−f(c)|=2|x−c|. Basta scegliere δ=ε/2: allora 2|x−c|<2δ=ε. Se ε=0,1, è sufficiente δ=0,05. Il laboratorio confronta bande e mostra un controesempio concreto quando δ è troppo grande. Un grafico campionato non dimostra il quantificatore «per ogni».
3. Dominio, estremi e discontinuità
√x è continua in 0 sul proprio dominio [0,+∞): basta l’avvicinamento da destra. 1/x è continua in ogni punto del dominio ℝ∖{0}; 0 non è un suo punto di discontinuità appartenente al dominio, ma una singolarità esclusa, senza prolungamento continuo finito.
- Eliminabile: limite finito, valore assente o diverso. Una funzione non definita in c può essere prolungata assegnando il limite.
- Salto: limiti laterali finiti ma diversi, come −1 a sinistra di 0 e 1 da 0 in poi.
- Infinita: almeno un limite laterale infinito, come 1/x in 0.
- Oscillante: sin(1/x) in 0 non ha limite. Assegnare f(0) non basta a renderla continua.
Il «disegno senza staccare la penna» non gestisce correttamente tutti i domini: usiamo sempre la definizione.
4. Raccordare due formule
Sia f(x)=x+1 per x<0 e f(x)=mx+h per x≥0. In 0 il limite sinistro è 1, quello destro è h e f(0)=h. Dunque f è continua in 0 ⇔ h=1, qualunque sia m. Con h=1 e m=2 il raccordo è continuo ma ha un angolo: le pendenze laterali sono 1 e 2. Per essere anche derivabile occorre m=1.
La derivabilità implica la continuità, non viceversa: anche |x| è continua in 0, ma le derivate laterali −1 e 1 sono diverse. Non confondiamo quindi «nessun salto» con «nessun angolo».
5. Operazioni e permanenza del segno
Somma, differenza e prodotto di funzioni continue sono continui nei punti comuni del dominio; il quoziente lo è dove il denominatore è diverso da zero. La composizione g∘f è continua in c se f è continua in c e g è continua in f(c), con domini compatibili. Polinomi, seno ed esponenziale sono continui su ℝ; logaritmo su (0,+∞); funzioni razionali dove il denominatore non si annulla.
Permanenza del segno. Se f è continua in c e f(c)>0, allora f(x)>0 per x del dominio sufficientemente vicini a c. Infatti scegliamo ε=f(c)/2: dalla continuità segue f(x)>f(c)−ε=f(c)/2>0. Analogamente per f(c)<0. Se f(c)=0 non possiamo concludere: x cambia segno, x² no.
6. Teorema dei valori intermedi
Se f è continua su [a,b], assume ogni valore ℓ compreso fra f(a) e f(b). Esiste cioè c∈[a,b] con f(c)=ℓ. Se ℓ è strettamente compreso fra i valori agli estremi, c è interno.
Una temperatura modellata da una funzione continua che passa da 18 a 24 gradi deve passare per 20: la conclusione dipende dall’ipotesi sul modello, non da una tabella di misure. Il teorema afferma esistenza, non unicità. x³−x su [−2,2] assume il valore 0 in tre punti: −1, 0, 1. La stretta monotonia, se provata, garantisce invece al massimo una soluzione.
La continuità è sufficiente per questa proprietà, ma il solo fatto di assumere valori intermedi non caratterizza tutte le funzioni continue: non stiamo affermando il reciproco del teorema.
7. Bolzano: trovare almeno uno zero
Se f è continua su [a,b] e f(a)f(b)<0, esiste c∈(a,b) con f(c)=0.
È il teorema dei valori intermedi con ℓ=0. Se un estremo è già zero lo conosciamo per valutazione diretta. Per f(x)=x³−x−1 su [1,2], f(1)=−1 e f(2)=5: almeno uno zero esiste. Inoltre f′(x)=3x²−1>0 su [1,2], quindi è unico su questo intervallo.
Non basta il cambio di segno: 1/x su [−1,1] non è definita in 0 e non ha zeri; la funzione a salto −1/1 è definita ovunque ma non è continua e non assume 0. Il cambio di segno non è necessario: x² su [−1,1] ha zero in 0 sebbene f(−1)=f(1)=1. Un criterio non applicabile non significa «nessuna soluzione».
8. Dall’esistenza alla bisezione
Partiamo da un intervallo continuo con segni opposti per f(x)−ℓ. Valutiamo il punto medio m=(a+b)/2. Se non è già soluzione, conserviamo la metà i cui estremi hanno segni opposti. Continuità e Bolzano garantiscono ancora una soluzione nella metà scelta. Ripetiamo.
Dopo n dimezzamenti, la larghezza è (b−a)/2ⁿ; usando il punto medio dell’intervallo corrente, errore ≤ (b−a)/2ⁿ⁺¹. Per x³−x−1 su [1,2], dieci dimezzamenti danno larghezza 1/1024 e errore del punto medio ≤1/2048. Il residuo |f(m)−ℓ| non è in generale l’errore |m−c|. In macchina un residuo arrotondato a zero non è una dimostrazione di uguaglianza esatta.
La bisezione è anche una dimostrazione del teorema degli zeri: gli intervalli chiusi annidati, di lunghezza tendente a zero, hanno un unico punto comune c; per continuità i valori ai due estremi convergono a f(c), che non può essere né positivo né negativo, quindi è zero. Non si applica attraversando un salto o un polo.
9. Weierstrass: estremi assoluti
Una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato [a,b] è limitata e raggiunge sia il minimo sia il massimo assoluto: esistono u,v∈[a,b] con f(u)≤f(x)≤f(v) per ogni x∈[a,b].
Per x² su [−1,2], il minimo è 0, raggiunto in x=0; il massimo è 4, raggiunto in x=2. Distinguiamo il valore massimo 4 dal punto di massimo 2. Il teorema assicura che gli estremi esistano, non fornisce da solo dove si trovano. Con le derivate si controllano estremi dell’intervallo, punti stazionari e punti interni di non derivabilità.
Infimo e supremo sono rispettivamente il maggiore minorante e il minore maggiorante; sono minimo e massimo solo se appartengono all’immagine. Per f(x)=x su (0,1), inf f=0 e sup f=1, ma nessuno dei due è raggiunto.
10. Togliere un’ipotesi: che cosa cambia?
- Intervallo non chiuso: x su (0,1) non raggiunge estremi.
- Intervallo non limitato: x² su ℝ ha minimo 0, ma nessun massimo.
- Manca continuità: f(0)=0 e f(x)=1/x per 0<x≤1 su [0,1] ha minimo 0 ma è illimitata superiormente.
- Essere limitata non basta: f(0)=1 e f(x)=x per 0<x≤1 su [0,1] ha massimo 1, infimo 0 non raggiunto e nessun minimo.
Attenzione alla logica: se manca un’ipotesi, il teorema non garantisce la conclusione; non significa che la conclusione sia falsa. La funzione costante 2 su (0,1) raggiunge minimo e massimo in ogni punto, pur essendo il dominio aperto. Il laboratorio separa «teorema applicabile?» da «gli estremi esistono davvero?».
11. Perché servono chiusura e limitatezza
Ecco un’idea della dimostrazione di Weierstrass. Usiamo un fatto fondamentale di compattezza: da ogni successione in [a,b] si può estrarre una sottosuccessione convergente a un punto c ancora in [a,b]. Limitatezza impedisce la fuga all’infinito; chiusura impedisce che il limite esca dal dominio. Questo fatto è il teorema di Bolzano–Weierstrass sulle successioni, distinto dal teorema degli zeri di Bolzano.
Se f continua non fosse limitata, potremmo scegliere xₙ con |f(xₙ)|>n. Una sottosuccessione xₙⱼ converge a c; per continuità f(xₙⱼ)→f(c), impossibile perché i moduli crescono senza limite. Dunque f è limitata. Sia M=sup f: scegliamo xₙ con M−1/n<f(xₙ)≤M. Una sottosuccessione converge a c∈[a,b]; la continuità impone f(c)=M. Il massimo è raggiunto. Applicando lo stesso ragionamento a −f otteniamo il minimo.
Esercizi: prova prima di aprire
1. Ripara f(x)=x+1 per x≠1, f(1)=h.
Mostra la soluzione ragionata
Il limite in 1 è 2. Serve h=2: solo così limite e valore coincidono.
2. Raccordo x+1 / mx+h: continuità e derivabilità?
Mostra la soluzione ragionata
La continuità in 0 richiede h=1. La derivabilità richiede anche m=1. Sono due condizioni distinte.
3. Per 2x+1, ε=0,2: δ=0,1 funziona?
Mostra la soluzione ragionata
Sì: 2|x−c|<2δ=0,2. La disuguaglianza sull’ingresso è stretta, dunque lo è anche quella sull’uscita.
4. 1/x cambia segno su [−1,1]: ha uno zero?
Mostra la soluzione ragionata
No. Non è definita in 0 e non è continua sull’intero intervallo: manca un’ipotesi di Bolzano. Per x≠0, 1/x non è mai 0.
5. x² agli estremi di [−1,1] vale 1. Nessuno zero?
Mostra la soluzione ragionata
Lo zero esiste: x=0. Il cambio di segno è una condizione sufficiente, non necessaria. Il criterio basato sui soli valori agli estremi qui non conclude.
6. Dieci dimezzamenti di [1,2]: errore del punto medio?
Mostra la soluzione ragionata
Larghezza 1/1024, errore al più 1/2048≈0,00048828125, rispetto a una soluzione rimasta nell’intervallo. Non è il residuo della funzione.
7. x² su (−1,2): quali estremi raggiunge?
Mostra la soluzione ragionata
Minimo 0 in x=0. Supremo 4 non raggiunto, dunque nessun massimo. Weierstrass non si applica al dominio aperto, ma il minimo esiste ugualmente.
8. f(0)=1, f(x)=x per 0<x≤1: minimo?
Mostra la soluzione ragionata
Non esiste: ogni valore positivo piccolo è superato verso il basso scegliendo x ancora più piccolo. Infimo 0, non raggiunto; massimo 1, raggiunto in 0 e 1. Il dominio è compatto ma manca la continuità.