Scomporre i polinomi: come scegliere il metodo, passo dopo passo

Sviluppare e scomporre sono due percorsi opposti. Sviluppando un prodotto otteniamo una somma; scomponendo una somma cerchiamo un prodotto equivalente. Non si tratta di indovinare: osserviamo coefficienti, esponenti e segni, scegliamo una regola e alla fine controlliamo il risultato.

Scomposizione dei polinomi: laboratorio passo passo

Che cosa significa scomporre?

(x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6. Leggendo al contrario otteniamo x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).

Un’uguaglianza fra polinomi vale per ogni valore di x. Scomporre non significa risolvere un’equazione: solo se poniamo il prodotto uguale a zero possiamo usare la legge di annullamento del prodotto per cercare le soluzioni.

Prima di scegliere una formula

1. Riduci i termini simili e ordina secondo le potenze di x.
2. Cerca prima un fattore comune numerico o letterale.
3. Conta i termini rimasti e osserva gli esponenti: due quadrati? Tre termini di un quadrato? Due cubi? Quattro termini raggruppabili?
4. Con un trinomio di secondo grado, controlla somma e prodotto o usa il discriminante.
5. Se i modelli non bastano, cerca radici razionali e applica Ruffini.
6. Ripeti sui fattori ottenuti e verifica sviluppando.

Due procedimenti possono arrivare allo stesso prodotto, a meno dell’ordine dei fattori e del fattore numerico.

Raccoglimento totale: il primo controllo

In 6x³ + 9x² il MCD di 6 e 9 è 3; la minore potenza comune è x². Dividiamo ogni termine per 3x²:

6x³/(3x²) = 2x, 9x²/(3x²) = 3, quindi 6x³ + 9x² = 3x²(2x + 3).

Con le frazioni lavoriamo esattamente: (1/2)x² + (3/2)x = (1/2)x(x + 3). Si può prima portare tutto al denominatore comune e poi raccogliere il MCD dei numeratori.

Raccoglimento parziale: costruire un fattore comune

2x³ + 3x² + 4x + 6 non ha un fattore comune a tutti i termini. Raggruppiamo:

x²(2x + 3) + 2(2x + 3) = (2x + 3)(x² + 2).

Il primo raccoglimento fa comparire due parentesi identiche; il secondo raccoglie quella parentesi. Con x³ - 2x² - x + 2 servono i segni corretti: x²(x - 2) - (x - 2) = (x - 2)(x² - 1). Poi si può ancora scomporre x² - 1.

Differenza di quadrati

A² - B² = (A - B)(A + B). Sviluppando, il termine misto si annulla: A² + AB - AB - B².

9x² - 25 = (3x - 5)(3x + 5); x⁴ - 16 = (x² - 4)(x² + 4) = (x - 2)(x + 2)(x² + 4).

La formula richiede una differenza. x² + 9 non diventa (x - 3)(x + 3), che sviluppato dà x² - 9.

Quadrato e cubo di un binomio

A² + 2AB + B² = (A + B)² e A² - 2AB + B² = (A - B)². Non bastano due quadrati agli estremi: il termine centrale deve essere esattamente il doppio prodotto.

4x² - 12x + 9 = (2x - 3)², perché 2·2x·3 = 12x. Invece x² + 3x + 1 non è un quadrato di binomio.

A³ + 3A²B + 3AB² + B³ = (A + B)³; sostituendo -B si ottiene A³ - 3A²B + 3AB² - B³ = (A - B)³.

x³ + 6x² + 12x + 8 = (x + 2)³: vanno controllati tutti e quattro i termini.

Somma e differenza di cubi

A³ + B³ = (A + B)(A² - AB + B²)
A³ - B³ = (A - B)(A² + AB + B²).

8x³ + 27 = (2x + 3)(4x² - 6x + 9); x³ - 8 = (x - 2)(x² + 2x + 4). Nel fattore quadratico l’ultimo termine resta positivo; il termine centrale ha il segno opposto a quello del binomio.

Trinomi di secondo grado

Partiamo dalle radici x₁ e x₂ e sviluppiamo: (x - x₁)(x - x₂) = x² - x₂x - x₁x + x₁x₂ = x² - (x₁ + x₂)x + x₁x₂.

L’equazione che ha soluzioni x₁ e x₂ è quindi x² - (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0. Confrontando con x² + bx + c = 0, troviamo b = -(x₁ + x₂) e c = x₁x₂, ossia x₁ + x₂ = -b e x₁x₂ = c.

La corrispondente identità di scomposizione, senza porre il polinomio uguale a zero, è x² + bx + c = (x - x₁)(x - x₂).

Per x² + 5x + 6 cerchiamo radici con somma -5 e prodotto 6: x₁ = -2 e x₂ = -3. Infatti (-2) + (-3) = -5 e (-2)(-3) = 6. Quindi x² + 5x + 6 = [x - (-2)][x - (-3)] = (x + 2)(x + 3). +2 e +3 sono le costanti nelle parentesi, non le radici: il polinomio si annulla per x = -2 e x = -3.

Con coefficiente principale a ≠ 0, si ha x₁ + x₂ = -b/a, x₁x₂ = c/a e ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂): non dobbiamo perdere il fattore a.

Per 2x² + 7x + 3, le radici sono x₁ = -1/2 e x₂ = -3: sommano -7/2 e moltiplicano 3/2. Pertanto 2x² + 7x + 3 = 2[x - (-1/2)][x - (-3)] = 2(x + 1/2)(x + 3) = (2x + 1)(x + 3). Lo stesso prodotto si ottiene spezzando il termine centrale: 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + (x + 3).

Se non riconosciamo le radici, usiamo Δ = b² - 4ac, x₁ = (-b + √Δ)/(2a) e x₂ = (-b - √Δ)/(2a). Per coefficienti interi primitivi, i fattori lineari razionali esistono esattamente quando Δ è un quadrato intero non negativo. Nell’esempio a = 2, b = 7, c = 3, Δ = 49 - 24 = 25.

Una sostituzione può nascondere un trinomio

x⁴ + 5x² + 4 contiene solo x⁴, x² e una costante. Poniamo t = x²: t² + 5t + 4 = (t + 1)(t + 4). Tornando a x otteniamo (x² + 1)(x² + 4).

Entrambi i fattori sono irriducibili su ℚ. La sostituzione aiuta a riconoscere il modello, ma alla fine bisogna tornare alla variabile iniziale.

Radici razionali e Ruffini, senza saltare i passaggi

Il teorema del fattore dice: P(r) = 0 se e solo se x - r divide P(x). Se i coefficienti sono interi e r = p/q è ridotta ai minimi termini, p divide il termine noto e q divide il coefficiente principale. I candidati sono un elenco finito.

Per P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6 i candidati sono ±1, ±2, ±3, ±6. Proviamo 1: P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0. La divisione di Ruffini è:

1. Abbassiamo 1.
2. Moltiplichiamo 1 per la radice 1; sommiamo a -6: otteniamo -5.
3. Moltiplichiamo -5 per 1; sommiamo a 11: otteniamo 6.
4. Moltiplichiamo 6 per 1; sommiamo a -6: resto zero.

Il quoziente è x² - 5x + 6. Quindi P(x) = (x - 1)(x² - 5x + 6) = (x - 1)(x - 2)(x - 3). Se manca una potenza, nella tabella va inserito il coefficiente zero. Per una radice p/q, il fattore monico x - p/q può essere riscritto come qx - p, compensando il fattore numerico.

Quando servono più metodi

2x³ - 8x = 2x(x² - 4) = 2x(x - 2)(x + 2): prima raccogliamo, poi riconosciamo la differenza di quadrati.

x³ - 2x² - x + 2 = (x - 2)(x² - 1) = (x - 2)(x - 1)(x + 1). Una scomposizione è completa solo quando nessun fattore può essere ulteriormente scomposto nel campo scelto.

Irriducibile rispetto a quali coefficienti?

x² - 2 è irriducibile sui razionali, ma sui reali diventa (x - √2)(x + √2). x² + 1 è irriducibile anche sui reali, ma non sui complessi. Dire soltanto «impossibile» sarebbe ambiguo.

Il laboratorio lavora su ℚ, i coefficienti razionali. Nei gradi 2 e 3, l’assenza di radici razionali dimostra l’irriducibilità. Dal grado 4 non basta: x⁴ + 5x² + 4 = (x² + 1)(x² + 4) non ha radici razionali, ma è scomponibile.

Nei casi non riconosciuti dai metodi scolastici il laboratorio tenta una ricerca esatta di Kronecker: un fattore intero assume valori divisori di P in alcuni punti interi; questi valori ricostruiscono candidati mediante interpolazione, poi verificati con una divisione esatta. Solo una ricerca completata certifica l’assenza di fattori. Se si raggiunge il limite di calcolo appare un risultato parziale, non un falso giudizio di irriducibilità.

Verifica ed errori da evitare

La prova finale è sviluppare il prodotto e ritrovare tutti i coefficienti iniziali. Provare soltanto x = 0 o x = 1 non dimostra un’identità.

• Non dimenticare il fattore comune raccolto.
• Non confondere (A - B)² con A² - B².
• Non applicare la differenza di quadrati a una somma.
• Non dimenticare gli zeri in Ruffini.
• Non concludere «irriducibile» solo perché non trovi una radice.
• Non fermarti quando un fattore è ancora scomponibile.

Come usare il laboratorio

Inserisci un polinomio in x, scegli un esempio oppure passa ad Allenati. Sono ammessi coefficienti interi e frazionari, parentesi, prodotti e potenze intere da 0 a 8, per un grado non superiore a 8 anche nei prodotti intermedi. Scrivi (1/2)x² + (3/2)x, 2x^3 - 8x o (x + 1)^3. Niente decimali, altre variabili o denominatori con x.

Ogni passaggio indica il fattore su cui lavoriamo. Avanza un passo alla volta o mostra tutto; risultato e verifica restano in un pannello apribile. In Allenati indizio e soluzione sono nascosti finché non li chiedi. Il calcolo è limitato per non bloccare il dispositivo: casi onerosi possono restare parziali. Zero e costanti sono riconosciuti separatamente.

Prova tu: soluzioni nascoste

1. 6x^3 + 9x^2

2. 9x^2 - 25

3. 4x^2 - 12x + 9

4. 8x^3 + 27

5. x^2 + 5x + 6

6. 2x^2 + 7x + 3

7. 2x^3 + 3x^2 + 4x + 6

8. 2x^3 - 8x

9. x^3 - 6x^2 + 11x - 6

10. x^4 + 5x^2 + 4

11. x^2 - 2

12. x^4 + 4

Riferimenti per approfondire

• OpenStax · Rational Zero Theorem & Factor Theorem
• T. Krick · Effective Factorization in ℤ[X]

Scomposizione dei polinomi: laboratorio passo passo