Développer et factoriser sont deux parcours opposés. Développer un produit donne une somme ; factoriser une somme cherche un produit équivalent. Il ne s’agit pas de deviner : observons coefficients, exposants et signes, choisissons une règle et vérifions le résultat.
Que signifie factoriser ?
(x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6. En sens inverse, cela donne x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
Une identité polynomiale vaut pour toute valeur de x. Factoriser n’est pas résoudre une équation : il faut poser le produit égal à zéro pour utiliser la propriété du produit nul et chercher des solutions.
Avant de choisir une formule
- Réduire les termes semblables et ordonner les puissances de x.
- Chercher d’abord un facteur numérique ou littéral commun.
- Compter les termes restants et examiner les exposants : deux carrés ? Un carré en trois termes ? Deux cubes ? Quatre termes regroupables ?
- Pour un trinôme du second degré, contrôler somme et produit ou utiliser le discriminant.
- Si les modèles ne suffisent pas, chercher des racines rationnelles et utiliser la division synthétique.
- Recommencer sur chaque facteur et vérifier en développant.
Deux procédés peuvent donner le même produit, à l’ordre des facteurs et au facteur numérique près.
Facteur commun : le premier contrôle
Dans 6x³ + 9x², le PGCD de 6 et 9 est 3 ; la plus petite puissance commune est x². Divisons chaque terme par 3x² :
6x³/(3x²) = 2x, 9x²/(3x²) = 3, donc 6x³ + 9x² = 3x²(2x + 3).
Les fractions restent exactes : (1/2)x² + (3/2)x = (1/2)x(x + 3). On peut mettre les coefficients au même dénominateur puis extraire le PGCD des numérateurs.
Regroupement : construire un facteur commun
2x³ + 3x² + 4x + 6 n’a pas de facteur commun à tous ses termes. Regroupons :
x²(2x + 3) + 2(2x + 3) = (2x + 3)(x² + 2).
La première étape fait apparaître deux parenthèses identiques ; la seconde extrait cette parenthèse. Pour x³ - 2x² - x + 2, attention aux signes : x²(x - 2) - (x - 2) = (x - 2)(x² - 1). Le facteur x² - 1 se factorise encore.
Différence de deux carrés
A² - B² = (A - B)(A + B). En développant, les termes mixtes s’annulent : A² + AB - AB - B².
9x² - 25 = (3x - 5)(3x + 5) ; x⁴ - 16 = (x² - 4)(x² + 4) = (x - 2)(x + 2)(x² + 4).
La formule exige une différence. x² + 9 n’est pas (x - 3)(x + 3), dont le développement donne x² - 9.
Carré et cube d’un binôme
A² + 2AB + B² = (A + B)² et A² - 2AB + B² = (A - B)². Deux carrés aux extrémités ne suffisent pas : le terme central doit être exactement le double produit.
4x² - 12x + 9 = (2x - 3)², car 2·2x·3 = 12x. En revanche, x² + 3x + 1 n’est pas le carré d’un binôme.
A³ + 3A²B + 3AB² + B³ = (A + B)³ ; remplacer B par -B donne A³ - 3A²B + 3AB² - B³ = (A - B)³.
x³ + 6x² + 12x + 8 = (x + 2)³ : vérifier les quatre termes.
Somme et différence de cubes
A³ + B³ = (A + B)(A² - AB + B²)A³ - B³ = (A - B)(A² + AB + B²).
8x³ + 27 = (2x + 3)(4x² - 6x + 9) ; x³ - 8 = (x - 2)(x² + 2x + 4). Le dernier terme du facteur quadratique reste positif ; son terme central a le signe opposé à celui du binôme.
Trinômes du second degré
Partons des racines x₁ et x₂ et développons : (x - x₁)(x - x₂) = x² - x₂x - x₁x + x₁x₂ = x² - (x₁ + x₂)x + x₁x₂.
L’équation de solutions x₁ et x₂ est x² - (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0. Comparer avec x² + bx + c = 0 donne b = -(x₁ + x₂) et c = x₁x₂, donc x₁ + x₂ = -b et x₁x₂ = c.
L’identité de factorisation correspondante, sans égaler le polynôme à zéro, est x² + bx + c = (x - x₁)(x - x₂).
Pour x² + 5x + 6, cherchons des racines de somme -5 et de produit 6 : x₁ = -2 et x₂ = -3. En effet, (-2) + (-3) = -5 et (-2)(-3) = 6. Ainsi x² + 5x + 6 = [x - (-2)][x - (-3)] = (x + 2)(x + 3). +2 et +3 sont les constantes dans les parenthèses, pas les racines : le polynôme s’annule en x = -2 et x = -3.
Avec le coefficient dominant a ≠ 0, x₁ + x₂ = -b/a, x₁x₂ = c/a et ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂) : conserver le facteur a.
Pour 2x² + 7x + 3, les racines sont x₁ = -1/2 et x₂ = -3 : somme -7/2 et produit 3/2. Donc 2x² + 7x + 3 = 2[x - (-1/2)][x - (-3)] = 2(x + 1/2)(x + 3) = (2x + 1)(x + 3). Décomposer le terme central donne le même produit : 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + (x + 3).
Si les racines ne sont pas évidentes, utiliser Δ = b² - 4ac, x₁ = (-b + √Δ)/(2a) et x₂ = (-b - √Δ)/(2a). Pour des coefficients entiers primitifs, les facteurs linéaires rationnels existent exactement lorsque Δ est un carré entier positif ou nul. Avec a = 2, b = 7, c = 3, Δ = 49 - 24 = 25.
Un changement de variable révèle un trinôme
x⁴ + 5x² + 4 ne contient que x⁴, x² et une constante. Posons t = x² : t² + 5t + 4 = (t + 1)(t + 4). Revenons à x : (x² + 1)(x² + 4).
Ces deux facteurs sont irréductibles sur ℚ. Le changement de variable révèle le modèle, mais il faut revenir à la variable initiale.
Racines rationnelles et division synthétique, sans sauter d’étapes
Le théorème du facteur affirme : P(r) = 0 si et seulement si x - r divise P(x). Pour des coefficients entiers et une fraction réduite r = p/q, p divise le terme constant et q le coefficient dominant. La liste des candidats est finie.
Pour P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6, les candidats sont ±1, ±2, ±3, ±6. Essayons 1 : P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0. La division synthétique donne :
| r = 1 | 1 | -6 | 11 | -6 |
|---|---|---|---|---|
| Produits | — | 1 | -5 | 6 |
| Sommes | 1 | -5 | 6 | 0 |
- Abaisser 1.
- Multiplier 1 par la racine 1 ; ajouter à -6 : on obtient -5.
- Multiplier -5 par 1 ; ajouter à 11 : on obtient 6.
- Multiplier 6 par 1 ; ajouter à -6 : reste nul.
Le quotient est x² - 5x + 6. Donc P(x) = (x - 1)(x² - 5x + 6) = (x - 1)(x - 2)(x - 3). Insérer un coefficient nul pour toute puissance manquante. Pour une racine p/q, on peut réécrire le facteur unitaire x - p/q sous la forme qx - p, en compensant le facteur numérique.
Combiner plusieurs méthodes
2x³ - 8x = 2x(x² - 4) = 2x(x - 2)(x + 2) : extraire d’abord le facteur commun, puis reconnaître la différence de carrés.
x³ - 2x² - x + 2 = (x - 2)(x² - 1) = (x - 2)(x - 1)(x + 1). Une factorisation est complète lorsque aucun facteur ne peut encore être décomposé dans le corps choisi.
Irréductible avec quels coefficients ?
x² - 2 est irréductible sur les rationnels, mais devient (x - √2)(x + √2) sur les réels. x² + 1 est irréductible même sur les réels, mais pas sur les complexes. Dire seulement « impossible » est ambigu.
Le laboratoire travaille sur ℚ, avec des coefficients rationnels. Aux degrés 2 et 3, l’absence de racines rationnelles prouve l’irréductibilité. À partir du degré 4, cela ne suffit pas : x⁴ + 5x² + 4 = (x² + 1)(x² + 4) n’a pas de racines rationnelles mais est réductible.
Pour les cas non reconnus par les méthodes scolaires, le laboratoire tente une recherche exacte de Kronecker : un facteur entier prend des valeurs divisant P en certains points entiers ; une interpolation reconstruit les candidats, puis une division exacte les vérifie. Seule une recherche achevée certifie l’absence de facteurs. Si la limite de calcul est atteinte, le résultat est partiel, sans fausse affirmation d’irréductibilité.
Vérifier et éviter les erreurs
La vérification finale développe le produit et retrouve tous les coefficients initiaux. Tester seulement x = 0 ou x = 1 ne prouve pas une identité.
- Ne pas perdre le facteur commun extrait.
- Ne pas confondre
(A - B)²etA² - B². - Ne pas appliquer la différence de carrés à une somme.
- Conserver les coefficients nuls dans la division synthétique.
- Ne pas conclure « irréductible » faute de trouver une racine.
- Ne pas s’arrêter si un facteur se décompose encore.
Utiliser le laboratoire
Saisir un polynôme en x, choisir un exemple ou passer à S’entraîner. Coefficients entiers ou fractionnaires, parenthèses, produits et puissances entières de 0 à 8 sont acceptés ; le degré ne doit jamais dépasser 8, même dans les produits intermédiaires. Écrire (1/2)x² + (3/2)x, 2x^3 - 8x ou (x + 1)^3. Pas de décimaux, d’autres variables ou de dénominateurs contenant x.
Chaque étape indique le facteur étudié. Avancer pas à pas ou tout afficher ; résultat et vérification restent dans un panneau dépliable. Les indices et solutions d’entraînement sont cachés jusqu’à leur demande. Le calcul est limité pour ne pas bloquer l’appareil : certains cas restent partiels. Zéro et constantes sont traités séparément.
À vous : solutions cachées
1. 6x^3 + 9x^2
Afficher la solution expliquée
Extraire 3x² ; il reste un binôme linéaire.
6x^3 + 9x^2 = 3 · (2x + 3) · (x)^2
2. 9x^2 - 25
Afficher la solution expliquée
Reconnaître la différence entre (3x)² et 5².
9x^2 - 25 = (3x - 5) · (3x + 5)
3. 4x^2 - 12x + 9
Afficher la solution expliquée
Contrôler le terme central -2·2x·3.
4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2
4. 8x^3 + 27
Afficher la solution expliquée
Somme de cubes : A = 2x et B = 3.
8x^3 + 27 = (2x + 3) · (4x^2 - 6x + 9)
5. x^2 + 5x + 6
Afficher la solution expliquée
Les racines sont -2 et -3 : leur somme est -5 et leur produit 6. Les facteurs sont [x - (-2)] et [x - (-3)].
x^2 + 5x + 6 = (x + 2) · (x + 3)
6. 2x^2 + 7x + 3
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Les racines sont -1/2 et -3 : somme -7/2, produit 3/2. Conserver a = 2 : 2(x + 1/2)(x + 3) = (2x + 1)(x + 3).
2x^2 + 7x + 3 = (2x + 1) · (x + 3)
7. 2x^3 + 3x^2 + 4x + 6
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Regrouper x²(2x + 3) + 2(2x + 3). Le quadratique est irréductible sur ℚ.
2x^3 + 3x^2 + 4x + 6 = (2x + 3) · (x^2 + 2)
8. 2x^3 - 8x
Afficher la solution expliquée
Extraire 2x, puis factoriser x² - 4.
2x^3 - 8x = 2 · (x) · (x - 2) · (x + 2)
9. x^3 - 6x^2 + 11x - 6
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La division synthétique avec la racine 1 laisse x² - 5x + 6 ; continuer.
x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1) · (x - 2) · (x - 3)
10. x^4 + 5x^2 + 4
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Poser t = x² ; t² + 5t + 4 = (t + 1)(t + 4).
x^4 + 5x^2 + 4 = (x^2 + 1) · (x^2 + 4)
11. x^2 - 2
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x² - 2 ne se factorise pas sur ℚ : Δ = 8 n’est pas un carré rationnel. Sur les réels, utiliser √2.
x^2 - 2 = (x^2 - 2)
12. x^4 + 4
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Ajouter et soustraire 4x² : x⁴ + 4 = (x² + 2)² - (2x)². Appliquer la différence de carrés.
x^4 + 4 = (x^2 - 2x + 2) · (x^2 + 2x + 2)