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Imagen inicial
Cada color ocupa una posición en el cuadrado.
Laboratorio interactivo · Álgebra y sistemas dinámicos
Transformación del panadero
Estira, comprime y recompón una imagen: observa la mezcla paso a paso
Una masa hecha de píxeles
Imagina que estiras una masa, la doblas y repites. La transformación del panadero hace algo parecido con los puntos de un cuadrado. Empieza con los cuatro cuadrantes de color en la cuadrícula 8×8, pulsa «1 iteración hacia adelante» y observa los cambios; después aumenta la resolución para ver la mezcla con más detalle.
Prueba la transformación
Elige una imagen de muestra o carga la tuya. Por defecto se muestran cuatro cuadrantes en una cuadrícula 8×8.
La imagen se recorta por el centro si no es cuadrada y se adapta a la cuadrícula elegida. Al terminar el ciclo vuelve exactamente a esta versión de la cuadrícula, no al archivo original de resolución completa. El archivo permanece en tu navegador y no se envía al servidor. Se guardan hasta 32 iteraciones.
Imagen inicial
Pulsa la imagen para seguir un punto.
Transformada
«Ejecutar N iteraciones» calcula enseguida todos los pasos elegidos. Cada imagen intermedia aparece en la galería inferior y puedes abrirla por separado. «1 iteración inversa» recorre la transformación al revés.
Imagen inicial0
Todas las imágenes transformadas
Cada miniatura es un estado calculado de verdad. Selecciónala para verlo de nuevo y continuar desde allí. Los seis paneles de abajo explican un solo paso.
Cómo funciona
Los seis paneles explican las etapas de una sola iteración: no son seis iteraciones ni muestran el retorno a la imagen inicial. Los primeros cinco son esquemáticos; el sexto es el resultado exacto del primer paso en la cuadrícula elegida. Usa el botón del laboratorio para ver el retorno.
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División vertical
Separamos conceptualmente la mitad izquierda de la derecha.
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Estiramiento horizontal
Cada mitad se ensancha hasta la anchura original; aquí se muestra la mitad izquierda.
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Compresión vertical
Las dos mitades ensanchadas se hacen más bajas y aparecen separadas para distinguirlas.
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Recomposición
La mitad izquierda ocupa la banda superior y la derecha la inferior.
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Resultado discreto
Los píxeles se permutan sin perder ninguno; filas vecinas se intercalan en nuevas columnas.
El dibujo esquemático ilustra la transformación continua. En una cuadrícula finita usamos una permutación de píxeles: conserva N×N celdas y no crea ni elimina colores después del recorte inicial.
Órbita de un punto
Pulsa la imagen original para ver las coordenadas del punto tras cada iteración calculada y una trayectoria esquemática en el cuadrado. El punto sigue la fórmula continua, no la permutación de los centros de los píxeles.
Ningún punto seleccionado.
¿Por qué se mezcla?
Qué es y por qué se llama así
Esta transformación de un cuadrado recuerda el trabajo del panadero: estirar la masa, comprimirla y superponer las partes. Al repetirla, una región inicialmente compacta se distribuye en franjas cada vez más finas.
Estiramiento, compresión y área
Cada mitad se estira horizontalmente por un factor 2 y se comprime verticalmente por un factor 1/2. El producto de esos factores es 1: la transformación continua conserva el área. Las dos mitades llenan sin solaparse las franjas superior e inferior del cuadrado.
Caos determinista
La regla no utiliza azar: la siguiente posición de cada punto está determinada con precisión. Sin embargo, dos puntos cuyas coordenadas x iniciales son muy cercanas pueden separarse pronto, porque su distancia horizontal se duplica hasta que interviene el pliegue. Es la sensibilidad a las condiciones iniciales.
Cifras binarias y desplazamiento de Bernoulli
Si x se escribe en base 2 como 0.b₁b₂b₃…, multiplicar por 2 y quitar la parte entera produce 0.b₂b₃…: el desplazamiento binario, o desplazamiento de Bernoulli. La primera cifra b₁ determina si el punto entra en la banda superior o inferior y queda registrada en la coordenada y.
Una cuadrícula finita no es el continuo
Una imagen digital contiene un número finito de píxeles. Nuestra versión discreta es una permutación reversible: conserva todos los píxeles y necesariamente acaba repitiendo un estado anterior. La mezcla visual es instructiva, pero no constituye cifrado ni auténtico azar.
La regla matemática
B(x,y) = (2x, y/2) si x < 1/2
B(x,y) = (2x−1, (y+1)/2) si x ≥ 1/2
Ejemplo: al aplicar tres veces la regla a (0.3, 0.4), obtenemos:
(0.3, 0.4) → (0.6, 0.2) → (0.2, 0.6) → (0.4, 0.3)