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Immagine iniziale
Ogni colore occupa una posizione nel quadrato.
Laboratorio interattivo · Algebra e sistemi dinamici
Trasformazione del fornaio
Stira, comprimi e ricomponi un’immagine: osserva il mescolamento passo dopo passo
Un impasto fatto di pixel
Immagina di stendere un impasto, piegarlo e ripetere. La trasformazione del fornaio fa qualcosa di analogo con i punti di un quadrato. Parti dai quattro quadranti colorati nella griglia 8×8, premi «1 iterazione avanti» e osserva come cambiano; poi aumenta la risoluzione per vedere la mescolanza più finemente.
Prova la trasformazione
Scegli un’immagine demo oppure carica una tua immagine. La scelta iniziale è quattro quadranti, con griglia 8×8.
L’immagine viene ritagliata al centro se non è quadrata e adattata alla griglia scelta. Al termine del ciclo torna identica a questa versione sulla griglia, non al file originale a piena risoluzione. Il file resta nel tuo browser e non viene inviato al server. Fino a 32 iterazioni conservate.
Immagine iniziale
Clicca sull’immagine per seguire un punto.
Trasformata
«Esegui N iterazioni» calcola subito tutti i passi scelti. Ogni immagine intermedia compare nella galleria qui sotto e puoi aprirla singolarmente. «1 iterazione inversa» percorre la trasformazione al contrario.
Immagine iniziale0
Tutte le immagini trasformate
Ogni miniatura è uno stato realmente calcolato. Tocca una miniatura per rivederlo; puoi continuare da lì. I sei riquadri più sotto spiegano invece un solo passo.
Mostra come funziona
I sei riquadri spiegano le fasi di una sola iterazione: non sono sei iterazioni e non mostrano il ritorno alla foto iniziale. Le prime cinque immagini sono schematiche; la sesta è il risultato esatto del primo passo sulla griglia scelta. Per vedere il ritorno usa il pulsante nel laboratorio.
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Divisione verticale
Separiamo idealmente la metà sinistra dalla metà destra.
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Stiramento orizzontale
Ogni metà viene allargata fino alla larghezza originale: qui è mostrata la metà sinistra.
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Compressione verticale
Le due metà allargate vengono rese più basse e tenute separate per vederle.
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Ricomposizione
La metà sinistra occupa la fascia superiore e quella destra la fascia inferiore.
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Risultato discreto
I pixel sono permutati senza perderne nessuno; le righe adiacenti si intercalano nelle nuove colonne.
Il disegno schematico illustra la mappa continua. Sulla griglia finita si usa una permutazione dei pixel: mantiene N×N celle e non inventa o elimina colori dopo il ritaglio iniziale.
L’orbita di un punto
Clicca sull’immagine originale: vedrai le coordinate del punto dopo ogni iterazione già calcolata e un percorso schematico nel quadrato. Il punto segue la formula continua, non la permutazione dei centri dei pixel.
Nessun punto selezionato.
Perché si mescola?
Che cos’è e perché si chiama così
È una trasformazione di un quadrato che ricorda l’azione del fornaio: stende l’impasto, lo comprime e sovrappone le parti. Ripetuta molte volte, una regione inizialmente compatta si distribuisce in strisce sempre più sottili.
Stiramento, compressione e area
Ogni metà viene stirata orizzontalmente di un fattore 2 e compressa verticalmente di un fattore 1/2. Il prodotto dei fattori è 1: la mappa continua conserva l’area. Le due metà riempiono senza sovrapporsi la metà superiore e quella inferiore del quadrato.
Caos deterministico
La regola non usa alcuna casualità: ogni punto ha una posizione successiva precisa. Eppure due punti con coordinate x iniziali molto vicine possono separarsi rapidamente, perché la distanza orizzontale raddoppia finché non interviene il ripiegamento. Questa è sensibilità alle condizioni iniziali.
Cifre binarie e Bernoulli shift
Se x è scritta in base 2 come 0.b₁b₂b₃…, moltiplicare per 2 e togliere l’eventuale parte intera porta a 0.b₂b₃…: è lo spostamento binario, o Bernoulli shift. La prima cifra b₁ determina se il punto va nella fascia superiore o inferiore e viene registrata nella coordinata y.
La griglia finita non è il continuo
Un’immagine digitale contiene un numero finito di pixel. Qui la versione discreta è una permutazione reversibile: conserva tutti i pixel e, dopo un certo numero di passi, ripete necessariamente uno stato. Il mescolamento visivo è istruttivo, ma non è cifratura né casualità autentica.
La regola matematica
B(x,y) = (2x, y/2) se x < 1/2
B(x,y) = (2x−1, (y+1)/2) se x ≥ 1/2
Esempio: applicando la regola a (0.3, 0.4) per tre volte otteniamo:
(0.3, 0.4) → (0.6, 0.2) → (0.2, 0.6) → (0.4, 0.3)