Soluciones con y sin ecuación, con construcción explícita de los pares
Idea básica
Indicamos con F el número total de niñas y con M el número total de niños. En las soluciones sin ecuación no nos limitamos a escribir los pares: mostramos cada vez cómo surgen de la primera frase y cómo cambian cuando pasa a observar un hermano o una hermana.
1. Marta: igual número, después el doble
Marta dice: «Tengo tantas hermanas como hermanos. Para cada uno de mis hermanos, las hermanas son el doble de los hermanos». ¿Cuántos hijos e hijas hay?
Solución con ecuación
Para Marta: F - 1 = M, por tanto F = M + 1.
Para un hermano: F = 2(M - 1).
Sustituyendo: M + 1 = 2M - 2, por tanto M = 3 y F = 4.
Respuesta: 4 niñas y 3 niños.
Solución sin ecuación
Primera frase: Marta no se cuenta a sí misma entre las hermanas. Si tiene 1 hermana, debe tener 1 hermano, por lo que en la familia hay 2 niñas y 1 niño: (2,1). Si tiene 2 hermanas y 2 hermanos, el par es (3,2). Continuando: (4,3), (5,4), ...
Segunda frase: ahora observamos la familia con los ojos de un hermano. Todas las niñas siguen siendo hermanas, mientras que entre los niños él se excluye a sí mismo. Los pares se convierten así en (2,0), (3,1), (4,2), (5,3), ... Buscamos el caso en que las hermanas sean el doble de los hermanos. Ocurre con (4,2), porque 4 = 2 x 2. Al volver a añadir al hermano observador, el total de niños es 3.
Respuesta: 4 niñas y 3 niños.
2. Alberto: versión simétrica
Alberto dice: «Tengo tantos hermanos como hermanas. Para cada una de mis hermanas, los hermanos son el doble de las hermanas». ¿Cuántos hijos e hijas hay?
Solución con ecuación
Para Alberto: M - 1 = F, por tanto M = F + 1.
Para una hermana: M = 2(F - 1).
Sustituyendo: F + 1 = 2F - 2, por tanto F = 3 y M = 4.
Respuesta: 4 niños y 3 niñas.
Solución sin ecuación
Primera frase: Alberto no se cuenta a sí mismo entre los hermanos. Si ve 1 hermano y 1 hermana, en la familia hay 2 niños y 1 niña: (2,1), en el orden (M,F). Después (3,2), (4,3), (5,4), ...
Segunda frase: observamos ahora con los ojos de una hermana. Todos los niños siguen siendo hermanos, mientras que entre las niñas ella se excluye a sí misma. Los pares se convierten en (2,0), (3,1), (4,2), (5,3), ... El par que cumple la condición del doble es (4,2). Al volver a añadir a la hermana observadora, el total de niñas es 3.
Respuesta: 4 niños y 3 niñas.
3. Marta tiene el doble de hermanas que de hermanos
Marta dice: «Tengo el doble de hermanas que de hermanos». Uno de sus hermanos dice: «Tengo cuatro hermanas más que hermanos». ¿Cuántas niñas y niños hay?
Solución con ecuación
Para Marta: F - 1 = 2M.
Para el hermano: F = M + 3.
Por tanto 2M + 1 = M + 3: M = 2 y F = 5.
Respuesta: 5 niñas y 2 niños.
Solución sin ecuación
Para Marta, las hermanas son el doble de los hermanos. Si tiene 1 hermano, debe tener 2 hermanas: contando también a Marta, se obtiene (F,M) = (3,1). Si los hermanos son 2, las hermanas de Marta son 4 y el total de niñas es 5: (5,2). Después (7,3), ... Un hermano, sin embargo, no se cuenta a sí mismo entre los niños. Los pares que ve se convierten en (3,0), (5,1), (7,2), ... Buscamos una diferencia de 4 entre hermanas y hermanos: con (5,1) tenemos 5 - 1 = 4.
Por tanto, la familia correspondiente es (5,2).
Respuesta: 5 niñas y 2 niños.
4. Marta tiene el doble de hermanos que de hermanas
Marta dice: «Mis hermanos son el doble de mis hermanas». Uno de sus hermanos dice: «Tengo tantas hermanas como hermanos». ¿Cuántas niñas y niños hay?
Solución con ecuación
Para Marta: M = 2(F - 1).
Para el hermano: F = M - 1.
De M = F + 1 y M = 2(F - 1) se deduce F = 3 y M = 4.
Respuesta: 3 niñas y 4 niños.
Solución sin ecuación
Si Marta tiene 1 hermana, los hermanos deben ser 2: contando a Marta, (F,M) = (2,2). Si tiene 2 hermanas, los hermanos son 4: (3,4). Si tiene 3 hermanas, los hermanos son 6: (4,6), ... Un hermano ve a todas las F niñas como hermanas, pero solo a M - 1 niños como hermanos. Los pares vistos se convierten en (2,1), (3,3), (4,5), ... La segunda frase exige números iguales. Esto ocurre con (3,3), que procede de la familia (3,4).
Respuesta: 3 niñas y 4 niños.
5. Una hermana más que hermanos
Marta dice: «Tengo una hermana más que hermanos». Uno de sus hermanos dice: «Mis hermanas son el doble de mis hermanos». ¿Cuántas niñas y niños hay?
Solución con ecuación
Para Marta: F - 1 = M + 1, por tanto F = M + 2.
Para el hermano: F = 2(M - 1).
Por tanto M + 2 = 2M - 2: M = 4 y F = 6.
Respuesta: 6 niñas y 4 niños.
Solución sin ecuación
Si Marta tiene 1 hermano, debe tener 2 hermanas; contando también a Marta: (F,M) = (3,1). Si tiene 2 hermanos, debe tener 3 hermanas: (4,2). Después (5,3), (6,4), ... Un hermano se excluye a sí mismo de los niños: ve por tanto (3,0), (4,1), (5,2), (6,3), ... Buscamos el caso en que el primer número sea el doble del segundo: 6 es el doble de 3. La familia correspondiente es (6,4).
Respuesta: 6 niñas y 4 niños.
6. Un hermano más que hermanas
Alberto dice: «Tengo un hermano más que hermanas». Una de sus hermanas dice: «Mis hermanos son el doble de mis hermanas». ¿Cuántas niñas y niños hay?
Solución con ecuación
Para Alberto: M - 1 = F + 1, por tanto M = F + 2.
Para una hermana: M = 2(F - 1).
Por tanto F + 2 = 2F - 2: F = 4 y M = 6.
Respuesta: 6 niños y 4 niñas.
Solución sin ecuación
Si Alberto tiene 1 hermana, debe tener 2 hermanos; contando también a Alberto: (M,F) = (3,1). Si tiene 2 hermanas, debe tener 3 hermanos: (4,2). Después (5,3), (6,4), ... Una hermana se excluye a sí misma del grupo femenino: ve por tanto (3,0), (4,1), (5,2), (6,3), ... Los hermanos deben ser el doble de las hermanas. 6 es el doble de 3, por lo que la familia es (6,4).
Respuesta: 6 niños y 4 niñas.
7. Tres veces tantas hermanas como hermanos
Marta dice: «Tengo tres veces tantas hermanas como hermanos». Uno de sus hermanos dice: «Tengo seis hermanas más que hermanos». ¿Cuántas niñas y niños hay?
Solución con ecuación
Para Marta: F - 1 = 3M.
Para el hermano: F = M + 5.
Por tanto 3M + 1 = M + 5: M = 2 y F = 7.
Respuesta: 7 niñas y 2 niños.
Solución sin ecuación
Si Marta tiene 1 hermano, debe tener 3 hermanas; contando también a Marta: (F,M) = (4,1). Con 2 hermanos, debe tener 6 hermanas: (7,2). Después (10,3), ... Un hermano no se cuenta a sí mismo: ve (4,0), (7,1), (10,2), ... Hace falta una diferencia de 6. Con (7,1), la diferencia es exactamente 6, por lo que la familia de partida es (7,2).
Respuesta: 7 niñas y 2 niños.
8. Versión simétrica del triple
Alberto dice: «Tengo tres veces tantos hermanos como hermanas». Una de sus hermanas dice: «Tengo seis hermanos más que hermanas». ¿Cuántas niñas y niños hay?
Solución con ecuación
Para Alberto: M - 1 = 3F.
Para la hermana: M = F + 5.
Por tanto 3F + 1 = F + 5: F = 2 y M = 7.
Respuesta: 7 niños y 2 niñas.
Solución sin ecuación
Si Alberto tiene 1 hermana, debe tener 3 hermanos; contando también a Alberto: (M,F) = (4,1). Con 2 hermanas: (7,2). Después (10,3), ... Una hermana no se cuenta a sí misma entre las niñas: ve (4,0), (7,1), (10,2), ... Hace falta una diferencia de 6. Con (7,1), la diferencia es 6: la familia es por tanto (7,2).
Respuesta: 7 niños y 2 niñas.
9. Tres hermanos por cada hermana
Marta dice: «Tengo tres hermanos por cada hermana». Uno de sus hermanos dice: «Tengo tantas hermanas como hermanos». ¿Cuántas niñas y niños hay?
Solución con ecuación
Para Marta: M = 3(F - 1).
Para el hermano: F = M - 1.
De M = F + 1 y M = 3(F - 1) se deduce F = 2 y M = 3.
Respuesta: 2 niñas y 3 niños.
Solución sin ecuación
Si Marta tiene 1 hermana, debe tener 3 hermanos: contando también a Marta, se obtiene (F,M) = (2,3). Si tiene 2 hermanas, los hermanos son 6: (3,6). Después (4,9), ... Un hermano se excluye a sí mismo de los niños: los pares vistos se convierten en (2,2), (3,5), (4,8), ... La segunda frase exige igualdad. Esto ocurre inmediatamente con (2,2), por lo que la familia es (2,3).
Respuesta: 2 niñas y 3 niños.
10. Tres hermanas por cada hermano
Alberto dice: «Tengo tres hermanas por cada hermano». Una de sus hermanas dice: «Tengo tantos hermanos como hermanas». ¿Cuántas niñas y niños hay?
Solución con ecuación
Para Alberto: F = 3(M - 1).
Para una hermana: M = F - 1.
De F = M + 1 y F = 3(M - 1) se deduce M = 2 y F = 3.
Respuesta: 3 niñas y 2 niños.
Solución sin ecuación
Si Alberto tiene 1 hermano, debe tener 3 hermanas: contando también a Alberto, se obtiene (M,F) = (2,3). Si tiene 2 hermanos, las hermanas son 6: (3,6). Después (4,9), ... Una hermana se excluye a sí misma de las niñas: ve (2,2), (3,5), (4,8), ... Hace falta igualdad entre los hermanos y hermanas que ve. Ocurre con (2,2), por lo que la familia es (2,3), en el orden (M,F).
Respuesta: 3 niñas y 2 niños.
11. Dos hermanas más, después el triple
Marta dice: «Tengo dos hermanas más que hermanos». Uno de sus hermanos dice: «Mis hermanas son el triple de mis hermanos». ¿Cuántas niñas y niños hay?
Solución con ecuación
Para Marta: F - 1 = M + 2, por tanto F = M + 3.
Para el hermano: F = 3(M - 1).
Por tanto M + 3 = 3M - 3: M = 3 y F = 6.
Respuesta: 6 niñas y 3 niños.
Solución sin ecuación
Si Marta tiene 1 hermano, debe tener 3 hermanas; con Marta, las niñas son 4: (F,M) = (4,1). Con 2 hermanos: (5,2). Con 3 hermanos: (6,3), ... Un hermano se excluye a sí mismo: ve (4,0), (5,1), (6,2), ... Las hermanas deben ser el triple de los hermanos. 6 es el triple de 2, por lo que la familia es (6,3).
Respuesta: 6 niñas y 3 niños.
12. Dos hermanos más, después el triple
Alberto dice: «Tengo dos hermanos más que hermanas». Una de sus hermanas dice: «Mis hermanos son el triple de mis hermanas». ¿Cuántas niñas y niños hay?
Solución con ecuación
Para Alberto: M - 1 = F + 2, por tanto M = F + 3.
Para la hermana: M = 3(F - 1).
Por tanto F + 3 = 3F - 3: F = 3 y M = 6.
Respuesta: 6 niños y 3 niñas.
Solución sin ecuación
Si Alberto tiene 1 hermana, debe tener 3 hermanos; contando también a Alberto, los niños son 4: (M,F) = (4,1). Con 2 hermanas: (5,2). Con 3 hermanas: (6,3), ... Una hermana se excluye a sí misma de las niñas: ve (4,0), (5,1), (6,2), ... Los hermanos deben ser el triple de las hermanas. 6 es el triple de 2: la familia es (6,3).
Respuesta: 6 niños y 3 niñas.
13. El doble más uno
Marta dice: «El número de mis hermanas es el doble de los hermanos, más uno». Uno de sus hermanos dice: «Tengo cinco hermanas más que hermanos». ¿Cuántas niñas y niños hay?
Solución con ecuación
Para Marta: F - 1 = 2M + 1, por tanto F = 2M + 2.
Para el hermano: F = M + 4.
Por tanto 2M + 2 = M + 4: M = 2 y F = 6.
Respuesta: 6 niñas y 2 niños.
Solución sin ecuación
Si Marta tiene 1 hermano, las hermanas son 2 x 1 + 1 = 3; contando a Marta, tenemos (F,M) = (4,1). Con 2 hermanos, las hermanas son 5 y el total de niñas es 6: (6,2). Con 3 hermanos: (8,3), ... Un hermano se excluye a sí mismo entre los niños: ve (4,0), (6,1), (8,2), ... Hace falta una diferencia de 5. Con (6,1), la diferencia es exactamente 5, por lo que la familia es (6,2).
Respuesta: 6 niñas y 2 niños.
14. Versión simétrica: el doble más uno
Alberto dice: «El número de mis hermanos es el doble de las hermanas, más uno». Una de sus hermanas dice: «Tengo cinco hermanos más que hermanas». ¿Cuántas niñas y niños hay?
Solución con ecuación
Para Alberto: M - 1 = 2F + 1, por tanto M = 2F + 2.
Para la hermana: M = F + 4.
Por tanto 2F + 2 = F + 4: F = 2 y M = 6.
Respuesta: 6 niños y 2 niñas.
Solución sin ecuación
Si Alberto tiene 1 hermana, los hermanos son 2 x 1 + 1 = 3; contando a Alberto, tenemos (M,F) = (4,1). Con 2 hermanas: (6,2). Con 3 hermanas: (8,3), ... Una hermana se excluye a sí misma de las niñas: ve (4,0), (6,1), (8,2), ... Hace falta una diferencia de 5. Con (6,1), la diferencia es 5, por lo que la familia es (6,2).
Respuesta: 6 niños y 2 niñas.
15. El doble de hermanos, después una menos
Marta dice: «Mis hermanos son el doble de mis hermanas». Uno de sus hermanos dice: «Tengo una hermana menos que hermanos». ¿Cuántas niñas y niños hay?
Solución con ecuación
Para Marta: M = 2(F - 1).
Para el hermano: F = (M - 1) - 1 = M - 2.
Por tanto M = F + 2 y F + 2 = 2F - 2.
Se deduce F = 4 y M = 6.
Respuesta: 4 niñas y 6 niños.
Solución sin ecuación
Primera frase: partimos del número de hermanas de Marta. Si Marta tiene 1 hermana, los hermanos son 2 x 1 = 2; contando también a Marta, las niñas son 2. Obtenemos por tanto (F,M) = (2,2). Si Marta tiene 2 hermanas, los hermanos son 4 y el total de niñas es 3: (3,4). Si tiene 3 hermanas, los hermanos son 6 y el total de niñas es 4: (4,6). Continuando: (5,8), ...
Segunda frase: ahora observamos con los ojos de un hermano. Todas las niñas siguen siendo hermanas, mientras que él no se cuenta a sí mismo entre los hermanos. Los pares se convierten así en (2,1), (3,3), (4,5), (5,7), ... Buscamos el caso en que el hermano tenga una hermana menos que hermanos. Con (4,5), ve 4 hermanas y 5 hermanos: se cumple la condición. El par familiar correspondiente es por tanto (4,6).
Respuesta: 4 niñas y 6 niños.