Soluzioni con equazione e senza equazione, con costruzione esplicita delle coppie
Idea di base
Indichiamo con F il numero totale delle femmine e con M il numero totale dei maschi. Nelle soluzioni senza equazione non ci limitiamo a scrivere le coppie: mostriamo ogni volta come nascono dalla prima frase, e poi come cambiano quando passa a osservare un fratello o una sorella.
1. Marta: stesso numero, poi il doppio
Marta dice: «Ho tante sorelle quanti fratelli. Per ciascuno dei miei fratelli, le sorelle sono il doppio dei fratelli». Quanti sono i figli e le figlie?
Soluzione con equazione
Per Marta: F - 1 = M, quindi F = M + 1.
Per un fratello: F = 2(M - 1).
Sostituendo: M + 1 = 2M - 2, quindi M = 3 e F = 4.
Risposta: 4 femmine e 3 maschi.
Soluzione senza equazione
Prima frase: Marta non conta se stessa tra le sorelle. Se ha 1 sorella deve avere 1 fratello, quindi in famiglia ci sono 2 femmine e 1 maschio: (2,1). Se ha 2 sorelle e 2 fratelli, la coppia è (3,2). Continuando: (4,3), (5,4), ...
Seconda frase: ora osserviamo la famiglia con gli occhi di un fratello. Le femmine restano tutte sorelle, mentre tra i maschi egli esclude se stesso. Le coppie diventano quindi (2,0), (3,1), (4,2), (5,3), ... Cerchiamo il caso in cui le sorelle siano il doppio dei fratelli. Succede con (4,2), perché 4 = 2 x 2. Riaggiungendo il fratello osservatore, i maschi totali sono 3.
Risposta: 4 femmine e 3 maschi.
2. Alberto: versione speculare
Alberto dice: «Ho tanti fratelli quante sorelle. Per ciascuna delle mie sorelle, i fratelli sono il doppio delle sorelle». Quanti sono i figli e le figlie?
Soluzione con equazione
Per Alberto: M - 1 = F, quindi M = F + 1.
Per una sorella: M = 2(F - 1).
Sostituendo: F + 1 = 2F - 2, quindi F = 3 e M = 4.
Risposta: 4 maschi e 3 femmine.
Soluzione senza equazione
Prima frase: Alberto non conta se stesso tra i fratelli. Se vede 1 fratello e 1 sorella, in famiglia ci sono 2 maschi e 1 femmina: (2,1) in ordine (M,F). Poi (3,2), (4,3), (5,4), ...
Seconda frase: osserviamo ora con gli occhi di una sorella. I maschi restano tutti fratelli, mentre tra le femmine lei esclude se stessa. Le coppie diventano (2,0), (3,1), (4,2), (5,3), ... La coppia che soddisfa il doppio è (4,2). Riaggiungendo la sorella osservatrice, le femmine totali sono 3.
Risposta: 4 maschi e 3 femmine.
3. Marta ha il doppio delle sorelle rispetto ai fratelli
Marta dice: «Ho il doppio delle sorelle rispetto ai fratelli». Un suo fratello dice: «Io ho quattro sorelle in più dei fratelli». Quanti sono femmine e maschi?
Soluzione con equazione
Per Marta: F - 1 = 2M.
Per il fratello: F = M + 3.
Quindi 2M + 1 = M + 3: M = 2 e F = 5.
Risposta: 5 femmine e 2 maschi.
Soluzione senza equazione
Per Marta le sorelle sono il doppio dei fratelli. Se ha 1 fratello deve avere 2 sorelle: contando anche Marta si ottiene (F,M) = (3,1). Se i fratelli sono 2, le sorelle di Marta sono 4 e le femmine totali 5: (5,2). Poi (7,3), ... Un fratello, però, non conta se stesso tra i maschi. Le coppie viste da lui diventano (3,0), (5,1), (7,2), ... Cerchiamo una differenza di 4 tra sorelle e fratelli: con (5,1) abbiamo 5 - 1 = 4.
Quindi la famiglia corrispondente è (5,2).
Risposta: 5 femmine e 2 maschi.
4. Marta ha il doppio dei fratelli rispetto alle sorelle
Marta dice: «I miei fratelli sono il doppio delle mie sorelle». Un suo fratello dice: «Io ho tante sorelle quanti fratelli». Quanti sono femmine e maschi?
Soluzione con equazione
Per Marta: M = 2(F - 1).
Per il fratello: F = M - 1.
Da M = F + 1 e M = 2(F - 1) segue F = 3 e M = 4.
Risposta: 3 femmine e 4 maschi.
Soluzione senza equazione
Se Marta ha 1 sorella, i fratelli devono essere 2: contando Marta, (F,M) = (2,2). Se ha 2 sorelle, i fratelli sono 4: (3,4). Se ha 3 sorelle, i fratelli sono 6: (4,6), ... Un fratello vede tutti i F elementi femminili come sorelle, ma soltanto M - 1 maschi come fratelli. Le coppie viste diventano (2,1), (3,3), (4,5), ... La seconda frase richiede numeri uguali. Questo accade con (3,3), che proviene dalla famiglia (3,4).
Risposta: 3 femmine e 4 maschi.
5. Una sorella in più dei fratelli
Marta dice: «Ho una sorella in più dei fratelli». Un suo fratello dice: «Le mie sorelle sono il doppio dei miei fratelli». Quanti sono femmine e maschi?
Soluzione con equazione
Per Marta: F - 1 = M + 1, quindi F = M + 2.
Per il fratello: F = 2(M - 1).
Quindi M + 2 = 2M - 2: M = 4 e F = 6.
Risposta: 6 femmine e 4 maschi.
Soluzione senza equazione
Se Marta ha 1 fratello, deve avere 2 sorelle; contando anche Marta: (F,M) = (3,1). Se ha 2 fratelli, deve avere 3 sorelle: (4,2). Poi (5,3), (6,4), ... Un fratello esclude se stesso dai maschi: vede quindi (3,0), (4,1), (5,2), (6,3), ... Cerchiamo il caso in cui il primo numero sia il doppio del secondo: 6 è il doppio di 3. La famiglia corrispondente è (6,4).
Risposta: 6 femmine e 4 maschi.
6. Un fratello in più delle sorelle
Alberto dice: «Ho un fratello in più delle sorelle». Una sua sorella dice: «I miei fratelli sono il doppio delle mie sorelle». Quanti sono femmine e maschi?
Soluzione con equazione
Per Alberto: M - 1 = F + 1, quindi M = F + 2.
Per una sorella: M = 2(F - 1).
Quindi F + 2 = 2F - 2: F = 4 e M = 6.
Risposta: 6 maschi e 4 femmine.
Soluzione senza equazione
Se Alberto ha 1 sorella, deve avere 2 fratelli; contando anche Alberto: (M,F) = (3,1). Se ha 2 sorelle, deve avere 3 fratelli: (4,2). Poi (5,3), (6,4), ... Una sorella esclude se stessa dal gruppo femminile: vede quindi (3,0), (4,1), (5,2), (6,3), ... Serve che i fratelli siano il doppio delle sorelle. 6 è il doppio di 3, quindi la famiglia è (6,4).
Risposta: 6 maschi e 4 femmine.
7. Tre volte tante sorelle quanti fratelli
Marta dice: «Ho tre volte tante sorelle quanti fratelli». Un suo fratello dice: «Ho sei sorelle in più dei fratelli». Quanti sono femmine e maschi?
Soluzione con equazione
Per Marta: F - 1 = 3M.
Per il fratello: F = M + 5.
Quindi 3M + 1 = M + 5: M = 2 e F = 7.
Risposta: 7 femmine e 2 maschi.
Soluzione senza equazione
Se Marta ha 1 fratello, deve avere 3 sorelle; contando anche Marta: (F,M) = (4,1). Con 2 fratelli deve avere 6 sorelle: (7,2). Poi (10,3), ... Un fratello non conta se stesso: vede (4,0), (7,1), (10,2), ... Serve una differenza di 6. Con (7,1) la differenza è proprio 6, quindi la famiglia di partenza è (7,2).
Risposta: 7 femmine e 2 maschi.
8. Versione speculare del triplo
Alberto dice: «Ho tre volte tanti fratelli quante sorelle». Una sua sorella dice: «Ho sei fratelli in più delle sorelle». Quanti sono femmine e maschi?
Soluzione con equazione
Per Alberto: M - 1 = 3F.
Per la sorella: M = F + 5.
Quindi 3F + 1 = F + 5: F = 2 e M = 7.
Risposta: 7 maschi e 2 femmine.
Soluzione senza equazione
Se Alberto ha 1 sorella, deve avere 3 fratelli; contando anche Alberto: (M,F) = (4,1). Con 2 sorelle: (7,2). Poi (10,3), ... Una sorella non conta se stessa tra le femmine: vede (4,0), (7,1), (10,2), ... Serve una differenza di 6. Con (7,1) la differenza è 6: la famiglia è quindi (7,2).
Risposta: 7 maschi e 2 femmine.
9. Tre fratelli per ogni sorella
Marta dice: «Ho tre fratelli per ogni sorella». Un suo fratello dice: «Ho tante sorelle quanti fratelli». Quanti sono femmine e maschi?
Soluzione con equazione
Per Marta: M = 3(F - 1).
Per il fratello: F = M - 1.
Da M = F + 1 e M = 3(F - 1) segue F = 2 e M = 3.
Risposta: 2 femmine e 3 maschi.
Soluzione senza equazione
Se Marta ha 1 sorella, deve avere 3 fratelli: contando anche Marta si ottiene (F,M) = (2,3). Se ha 2 sorelle, i fratelli sono 6: (3,6). Poi (4,9), ... Un fratello esclude se stesso dai maschi: le coppie viste diventano (2,2), (3,5), (4,8), ... La seconda frase richiede uguaglianza. Questo accade subito con (2,2), quindi la famiglia è (2,3).
Risposta: 2 femmine e 3 maschi.
10. Tre sorelle per ogni fratello
Alberto dice: «Ho tre sorelle per ogni fratello». Una sua sorella dice: «Ho tanti fratelli quante sorelle». Quanti sono femmine e maschi?
Soluzione con equazione
Per Alberto: F = 3(M - 1).
Per una sorella: M = F - 1.
Da F = M + 1 e F = 3(M - 1) segue M = 2 e F = 3.
Risposta: 3 femmine e 2 maschi.
Soluzione senza equazione
Se Alberto ha 1 fratello, deve avere 3 sorelle: contando anche Alberto si ottiene (M,F) = (2,3). Se ha 2 fratelli, le sorelle sono 6: (3,6). Poi (4,9), ... Una sorella esclude se stessa dalle femmine: vede (2,2), (3,5), (4,8), ... Serve uguaglianza tra fratelli e sorelle viste. Accade con (2,2), quindi la famiglia è (2,3) in ordine (M,F).
Risposta: 3 femmine e 2 maschi.
11. Due sorelle in più, poi il triplo
Marta dice: «Ho due sorelle in più dei fratelli». Un suo fratello dice: «Le mie sorelle sono il triplo dei miei fratelli». Quanti sono femmine e maschi?
Soluzione con equazione
Per Marta: F - 1 = M + 2, quindi F = M + 3.
Per il fratello: F = 3(M - 1).
Quindi M + 3 = 3M - 3: M = 3 e F = 6.
Risposta: 6 femmine e 3 maschi.
Soluzione senza equazione
Se Marta ha 1 fratello, deve avere 3 sorelle; con Marta le femmine sono 4: (F,M) = (4,1). Con 2 fratelli: (5,2). Con 3 fratelli: (6,3), ... Un fratello esclude se stesso: vede (4,0), (5,1), (6,2), ... Serve che le sorelle siano il triplo dei fratelli. 6 è il triplo di 2, quindi la famiglia è (6,3).
Risposta: 6 femmine e 3 maschi.
12. Due fratelli in più, poi il triplo
Alberto dice: «Ho due fratelli in più delle sorelle». Una sua sorella dice: «I miei fratelli sono il triplo delle mie sorelle». Quanti sono femmine e maschi?
Soluzione con equazione
Per Alberto: M - 1 = F + 2, quindi M = F + 3.
Per la sorella: M = 3(F - 1).
Quindi F + 3 = 3F - 3: F = 3 e M = 6.
Risposta: 6 maschi e 3 femmine.
Soluzione senza equazione
Se Alberto ha 1 sorella, deve avere 3 fratelli; contando anche Alberto i maschi sono 4: (M,F) = (4,1). Con 2 sorelle: (5,2). Con 3 sorelle: (6,3), ... Una sorella esclude se stessa dalle femmine: vede (4,0), (5,1), (6,2), ... Serve che i fratelli siano il triplo delle sorelle. 6 è il triplo di 2: la famiglia è (6,3).
Risposta: 6 maschi e 3 femmine.
13. Il doppio più uno
Marta dice: «Il numero delle mie sorelle è il doppio dei fratelli, più uno». Un suo fratello dice: «Ho cinque sorelle in più dei fratelli». Quanti sono femmine e maschi?
Soluzione con equazione
Per Marta: F - 1 = 2M + 1, quindi F = 2M + 2.
Per il fratello: F = M + 4.
Quindi 2M + 2 = M + 4: M = 2 e F = 6.
Risposta: 6 femmine e 2 maschi.
Soluzione senza equazione
Se Marta ha 1 fratello, le sorelle sono 2 x 1 + 1 = 3; contando Marta si ha (F,M) = (4,1). Con 2 fratelli, le sorelle sono 5 e le femmine totali 6: (6,2). Con 3 fratelli: (8,3), ... Un fratello esclude se stesso tra i maschi: vede (4,0), (6,1), (8,2), ... Serve una differenza di 5. Con (6,1) la differenza è proprio 5, quindi la famiglia è (6,2).
Risposta: 6 femmine e 2 maschi.
14. Versione speculare: il doppio più uno
Alberto dice: «Il numero dei miei fratelli è il doppio delle sorelle, più uno». Una sua sorella dice: «Ho cinque fratelli in più delle sorelle». Quanti sono femmine e maschi?
Soluzione con equazione
Per Alberto: M - 1 = 2F + 1, quindi M = 2F + 2.
Per la sorella: M = F + 4.
Quindi 2F + 2 = F + 4: F = 2 e M = 6.
Risposta: 6 maschi e 2 femmine.
Soluzione senza equazione
Se Alberto ha 1 sorella, i fratelli sono 2 x 1 + 1 = 3; contando Alberto si ha (M,F) = (4,1). Con 2 sorelle: (6,2). Con 3 sorelle: (8,3), ... Una sorella esclude se stessa dalle femmine: vede (4,0), (6,1), (8,2), ... Serve una differenza di 5. Con (6,1) la differenza è 5, quindi la famiglia è (6,2).
Risposta: 6 maschi e 2 femmine.
15. Il doppio dei fratelli, poi uno in meno
Marta dice: «I miei fratelli sono il doppio delle mie sorelle». Un suo fratello dice: «Ho una sorella in meno dei fratelli». Quanti sono femmine e maschi?
Soluzione con equazione
Per Marta: M = 2(F - 1).
Per il fratello: F = (M - 1) - 1 = M - 2.
Quindi M = F + 2 e F + 2 = 2F - 2.
Ne segue F = 4 e M = 6.
Risposta: 4 femmine e 6 maschi.
Soluzione senza equazione
Prima frase: partiamo dal numero delle sorelle di Marta. Se Marta ha 1 sorella, i fratelli sono 2 x 1 = 2; contando anche Marta, le femmine sono 2. Otteniamo quindi (F,M) = (2,2). Se Marta ha 2 sorelle, i fratelli sono 4 e le femmine totali 3: (3,4). Se ha 3 sorelle, i fratelli sono 6 e le femmine totali 4: (4,6). Continuando: (5,8), ...
Seconda frase: ora osserviamo con gli occhi di un fratello. Le femmine restano tutte sorelle, mentre egli non conta se stesso tra i fratelli. Le coppie diventano quindi (2,1), (3,3), (4,5), (5,7), ... Cerchiamo il caso in cui il fratello abbia una sorella in meno dei fratelli. Con (4,5) vede 4 sorelle e 5 fratelli: la condizione è soddisfatta. La coppia familiare corrispondente è dunque (4,6).
Risposta: 4 femmine e 6 maschi.