Solutions avec et sans équation, avec construction explicite des couples
Idée de base
Notons F le nombre total de filles et M le nombre total de garçons. Dans les solutions sans équation, nous ne nous contentons pas d’écrire les couples : nous montrons chaque fois comment ils découlent de la première phrase, puis comment ils changent lorsqu’un frère ou une sœur devient l’observateur.
1. Marta : autant, puis le double
Marta dit : « J’ai autant de sœurs que de frères. Pour chacun de mes frères, les sœurs sont deux fois plus nombreuses que les frères. » Combien y a-t-il de fils et de filles ?
Solution avec équation
Pour Marta: F - 1 = M, donc F = M + 1.
Pour un frère: F = 2(M - 1).
En substituant: M + 1 = 2M - 2, donc M = 3 et F = 4.
Réponse: 4 filles et 3 garçons.
Solution sans équation
Première phrase : Marta ne se compte pas parmi ses sœurs. Si elle a 1 sœur, elle doit avoir 1 frère ; la famille compte donc 2 filles et 1 garçon : (2,1). Si elle a 2 sœurs et 2 frères, le couple est (3,2). En continuant : (4,3), (5,4), ...
Deuxième phrase : regardons maintenant la famille avec les yeux d’un frère. Toutes les filles restent des sœurs, tandis que, parmi les garçons, il s’exclut lui-même. Les couples deviennent donc (2,0), (3,1), (4,2), (5,3), ... Cherchons le cas où les sœurs sont deux fois plus nombreuses que les frères. Cela se produit avec (4,2), car 4 = 2 x 2. En réintégrant le frère observateur, le nombre total de garçons est 3.
Réponse: 4 filles et 3 garçons.
2. Alberto : version symétrique
Alberto dit : « J’ai autant de frères que de sœurs. Pour chacune de mes sœurs, les frères sont deux fois plus nombreux que les sœurs. » Combien y a-t-il de fils et de filles ?
Solution avec équation
Pour Alberto: M - 1 = F, donc M = F + 1.
Pour une sœur: M = 2(F - 1).
En substituant: F + 1 = 2F - 2, donc F = 3 et M = 4.
Réponse: 4 garçons et 3 filles.
Solution sans équation
Première phrase : Alberto ne se compte pas parmi ses frères. S’il voit 1 frère et 1 sœur, la famille compte 2 garçons et 1 fille : (2,1), dans l’ordre (M,F). Puis (3,2), (4,3), (5,4), ...
Deuxième phrase : regardons maintenant avec les yeux d’une sœur. Tous les garçons restent des frères, tandis qu’elle s’exclut elle-même des filles. Les couples deviennent (2,0), (3,1), (4,2), (5,3), ... Le couple qui satisfait la condition du double est (4,2). En réintégrant la sœur observatrice, le nombre total de filles est 3.
Réponse: 4 garçons et 3 filles.
3. Marta a deux fois plus de sœurs que de frères
Marta dit : « J’ai deux fois plus de sœurs que de frères. » Un de ses frères dit : « J’ai quatre sœurs de plus que de frères. » Combien y a-t-il de filles et de garçons ?
Solution avec équation
Pour Marta: F - 1 = 2M.
Pour le frère: F = M + 3.
Donc 2M + 1 = M + 3: M = 2 et F = 5.
Réponse: 5 filles et 2 garçons.
Solution sans équation
Pour Marta, les sœurs sont deux fois plus nombreuses que les frères. Si elle a 1 frère, elle doit avoir 2 sœurs : en comptant aussi Marta, on obtient (F,M) = (3,1). S’il y a 2 frères, Marta a 4 sœurs et le nombre total de filles est 5 : (5,2). Puis (7,3), ... Un frère, cependant, ne se compte pas parmi les garçons. Les couples qu’il voit deviennent (3,0), (5,1), (7,2), ... Cherchons une différence de 4 entre sœurs et frères : avec (5,1), nous avons 5 - 1 = 4. La famille correspondante est donc (5,2).
Réponse: 5 filles et 2 garçons.
4. Marta a deux fois plus de frères que de sœurs
Marta dit : « Mes frères sont deux fois plus nombreux que mes sœurs. » Un de ses frères dit : « J’ai autant de sœurs que de frères. » Combien y a-t-il de filles et de garçons ?
Solution avec équation
Pour Marta: M = 2(F - 1).
Pour le frère: F = M - 1.
De M = F + 1 et M = 2(F - 1) il découle F = 3 et M = 4.
Réponse: 3 filles et 4 garçons.
Solution sans équation
Si Marta a 1 sœur, les frères doivent être 2 : en comptant Marta, (F,M) = (2,2). Si elle a 2 sœurs, les frères sont 4 : (3,4). Si elle a 3 sœurs, les frères sont 6 : (4,6), ... Un frère voit les F filles comme des sœurs, mais seulement M - 1 garçons comme des frères. Les couples vus deviennent (2,1), (3,3), (4,5), ... La deuxième phrase exige des nombres égaux. Cela se produit avec (3,3), qui provient de la famille (3,4).
Réponse: 3 filles et 4 garçons.
5. Une sœur de plus que de frères
Marta dit : « J’ai une sœur de plus que de frères. » Un de ses frères dit : « Mes sœurs sont deux fois plus nombreuses que mes frères. » Combien y a-t-il de filles et de garçons ?
Solution avec équation
Pour Marta: F - 1 = M + 1, donc F = M + 2.
Pour le frère: F = 2(M - 1).
Donc M + 2 = 2M - 2: M = 4 et F = 6.
Réponse: 6 filles et 4 garçons.
Solution sans équation
Si Marta a 1 frère, elle doit avoir 2 sœurs ; en comptant aussi Marta : (F,M) = (3,1). Si elle a 2 frères, elle doit avoir 3 sœurs : (4,2). Puis (5,3), (6,4), ... Un frère s’exclut des garçons : il voit donc (3,0), (4,1), (5,2), (6,3), ... Cherchons le cas où le premier nombre est le double du second : 6 est le double de 3. La famille correspondante est (6,4).
Réponse: 6 filles et 4 garçons.
6. Un frère de plus que de sœurs
Alberto dit : « J’ai un frère de plus que de sœurs. » Une de ses sœurs dit : « Mes frères sont deux fois plus nombreux que mes sœurs. » Combien y a-t-il de filles et de garçons ?
Solution avec équation
Pour Alberto: M - 1 = F + 1, donc M = F + 2.
Pour une sœur: M = 2(F - 1).
Donc F + 2 = 2F - 2: F = 4 et M = 6.
Réponse: 6 garçons et 4 filles.
Solution sans équation
Si Alberto a 1 sœur, il doit avoir 2 frères ; en comptant aussi Alberto : (M,F) = (3,1). S’il a 2 sœurs, il doit avoir 3 frères : (4,2). Puis (5,3), (6,4), ... Une sœur s’exclut du groupe féminin : elle voit donc (3,0), (4,1), (5,2), (6,3), ... Il faut que les frères soient deux fois plus nombreux que les sœurs. 6 est le double de 3, donc la famille est (6,4).
Réponse: 6 garçons et 4 filles.
7. Trois fois plus de sœurs que de frères
Marta dit : « J’ai trois fois plus de sœurs que de frères. » Un de ses frères dit : « J’ai six sœurs de plus que de frères. » Combien y a-t-il de filles et de garçons ?
Solution avec équation
Pour Marta: F - 1 = 3M.
Pour le frère: F = M + 5.
Donc 3M + 1 = M + 5: M = 2 et F = 7.
Réponse: 7 filles et 2 garçons.
Solution sans équation
Si Marta a 1 frère, elle doit avoir 3 sœurs ; en comptant aussi Marta : (F,M) = (4,1). Avec 2 frères, elle doit avoir 6 sœurs : (7,2). Puis (10,3), ... Un frère ne se compte pas lui-même : il voit (4,0), (7,1), (10,2), ... Il faut une différence de 6. Avec (7,1), la différence est exactement 6, donc la famille de départ est (7,2).
Réponse: 7 filles et 2 garçons.
8. Version symétrique du triple
Alberto dit : « J’ai trois fois plus de frères que de sœurs. » Une de ses sœurs dit : « J’ai six frères de plus que de sœurs. » Combien y a-t-il de filles et de garçons ?
Solution avec équation
Pour Alberto: M - 1 = 3F.
Pour la sœur: M = F + 5.
Donc 3F + 1 = F + 5: F = 2 et M = 7.
Réponse: 7 garçons et 2 filles.
Solution sans équation
Si Alberto a 1 sœur, il doit avoir 3 frères ; en comptant aussi Alberto : (M,F) = (4,1). Avec 2 sœurs : (7,2). Puis (10,3), ... Une sœur ne se compte pas parmi les filles : elle voit (4,0), (7,1), (10,2), ... Il faut une différence de 6. Avec (7,1), la différence est 6 : la famille est donc (7,2).
Réponse: 7 garçons et 2 filles.
9. Trois frères pour chaque sœur
Marta dit : « J’ai trois frères pour chaque sœur. » Un de ses frères dit : « J’ai autant de sœurs que de frères. » Combien y a-t-il de filles et de garçons ?
Solution avec équation
Pour Marta: M = 3(F - 1).
Pour le frère: F = M - 1.
De M = F + 1 et M = 3(F - 1) il découle F = 2 et M = 3.
Réponse: 2 filles et 3 garçons.
Solution sans équation
Si Marta a 1 sœur, elle doit avoir 3 frères : en comptant aussi Marta, on obtient (F,M) = (2,3). Si elle a 2 sœurs, les frères sont 6 : (3,6). Puis (4,9), ... Un frère s’exclut des garçons : les couples vus deviennent (2,2), (3,5), (4,8), ... La deuxième phrase exige l’égalité. Cela se produit immédiatement avec (2,2), donc la famille est (2,3).
Réponse: 2 filles et 3 garçons.
10. Trois sœurs pour chaque frère
Alberto dit : « J’ai trois sœurs pour chaque frère. » Une de ses sœurs dit : « J’ai autant de frères que de sœurs. » Combien y a-t-il de filles et de garçons ?
Solution avec équation
Pour Alberto: F = 3(M - 1).
Pour une sœur: M = F - 1.
De F = M + 1 et F = 3(M - 1) il découle M = 2 et F = 3.
Réponse: 3 filles et 2 garçons.
Solution sans équation
Si Alberto a 1 frère, il doit avoir 3 sœurs : en comptant aussi Alberto, on obtient (M,F) = (2,3). S’il a 2 frères, les sœurs sont 6 : (3,6). Puis (4,9), ... Une sœur s’exclut des filles : elle voit (2,2), (3,5), (4,8), ... Il faut l’égalité entre les frères et les sœurs qu’elle voit. Cela se produit avec (2,2), donc la famille est (2,3), dans l’ordre (M,F).
Réponse: 3 filles et 2 garçons.
11. Deux sœurs de plus, puis le triple
Marta dit : « J’ai deux sœurs de plus que de frères. » Un de ses frères dit : « Mes sœurs sont trois fois plus nombreuses que mes frères. » Combien y a-t-il de filles et de garçons ?
Solution avec équation
Pour Marta: F - 1 = M + 2, donc F = M + 3.
Pour le frère: F = 3(M - 1).
Donc M + 3 = 3M - 3: M = 3 et F = 6.
Réponse: 6 filles et 3 garçons.
Solution sans équation
Si Marta a 1 frère, elle doit avoir 3 sœurs ; avec Marta, les filles sont 4 : (F,M) = (4,1). Avec 2 frères : (5,2). Avec 3 frères : (6,3), ... Un frère s’exclut lui-même : il voit (4,0), (5,1), (6,2), ... Il faut que les sœurs soient trois fois plus nombreuses que les frères. 6 est le triple de 2, donc la famille est (6,3).
Réponse: 6 filles et 3 garçons.
12. Deux frères de plus, puis le triple
Alberto dit : « J’ai deux frères de plus que de sœurs. » Une de ses sœurs dit : « Mes frères sont trois fois plus nombreux que mes sœurs. » Combien y a-t-il de filles et de garçons ?
Solution avec équation
Pour Alberto: M - 1 = F + 2, donc M = F + 3.
Pour la sœur: M = 3(F - 1).
Donc F + 3 = 3F - 3: F = 3 et M = 6.
Réponse: 6 garçons et 3 filles.
Solution sans équation
Si Alberto a 1 sœur, il doit avoir 3 frères ; en comptant aussi Alberto, les garçons sont 4 : (M,F) = (4,1). Avec 2 sœurs : (5,2). Avec 3 sœurs : (6,3), ... Une sœur s’exclut des filles : elle voit (4,0), (5,1), (6,2), ... Il faut que les frères soient trois fois plus nombreux que les sœurs. 6 est le triple de 2 : la famille est (6,3).
Réponse: 6 garçons et 3 filles.
13. Le double plus un
Marta dit : « Le nombre de mes sœurs est le double de celui de mes frères, plus un. » Un de ses frères dit : « J’ai cinq sœurs de plus que de frères. » Combien y a-t-il de filles et de garçons ?
Solution avec équation
Pour Marta: F - 1 = 2M + 1, donc F = 2M + 2.
Pour le frère: F = M + 4.
Donc 2M + 2 = M + 4: M = 2 et F = 6.
Réponse: 6 filles et 2 garçons.
Solution sans équation
Si Marta a 1 frère, les sœurs sont 2 x 1 + 1 = 3 ; en comptant Marta, on a (F,M) = (4,1). Avec 2 frères, les sœurs sont 5 et les filles sont 6 au total : (6,2). Avec 3 frères : (8,3), ... Un frère s’exclut des garçons : il voit (4,0), (6,1), (8,2), ... Il faut une différence de 5. Avec (6,1), la différence est exactement 5, donc la famille est (6,2).
Réponse: 6 filles et 2 garçons.
14. Version symétrique : le double plus un
Alberto dit : « Le nombre de mes frères est le double de celui de mes sœurs, plus un. » Une de ses sœurs dit : « J’ai cinq frères de plus que de sœurs. » Combien y a-t-il de filles et de garçons ?
Solution avec équation
Pour Alberto: M - 1 = 2F + 1, donc M = 2F + 2.
Pour la sœur: M = F + 4.
Donc 2F + 2 = F + 4: F = 2 et M = 6.
Réponse: 6 garçons et 2 filles.
Solution sans équation
Si Alberto a 1 sœur, les frères sont 2 x 1 + 1 = 3 ; en comptant Alberto, on a (M,F) = (4,1). Avec 2 sœurs : (6,2). Avec 3 sœurs : (8,3), ... Une sœur s’exclut des filles : elle voit (4,0), (6,1), (8,2), ... Il faut une différence de 5. Avec (6,1), la différence est 5, donc la famille est (6,2).
Réponse: 6 garçons et 2 filles.
15. Le double de frères, puis une de moins
Marta dit : « Mes frères sont deux fois plus nombreux que mes sœurs. » Un de ses frères dit : « J’ai une sœur de moins que de frères. » Combien y a-t-il de filles et de garçons ?
Solution avec équation
Pour Marta: M = 2(F - 1).
Pour le frère: F = (M - 1) - 1 = M - 2.
Donc M = F + 2 et F + 2 = 2F - 2.
Il en découle F = 4 et M = 6.
Réponse: 4 filles et 6 garçons.
Solution sans équation
Première phrase : partons du nombre de sœurs de Marta. Si Marta a 1 sœur, les frères sont 2 x 1 = 2 ; en comptant aussi Marta, les filles sont 2. Nous obtenons donc (F,M) = (2,2). Si Marta a 2 sœurs, les frères sont 4 et les filles sont 3 au total : (3,4). Si elle a 3 sœurs, les frères sont 6 et les filles sont 4 au total : (4,6). En continuant : (5,8), ...
Deuxième phrase : regardons maintenant avec les yeux d’un frère. Toutes les filles restent des sœurs, tandis qu’il ne se compte pas parmi les frères. Les couples deviennent donc (2,1), (3,3), (4,5), (5,7), ... Cherchons le cas où le frère a une sœur de moins que de frères. Avec (4,5), il voit 4 sœurs et 5 frères : la condition est satisfaite. Le couple familial correspondant est donc (4,6).
Réponse: 4 filles et 6 garçons.