Dos relojes de arena, ningún cronómetro y un intervalo que medir: ¿basta con sumar y restar sus duraciones? La relación con el problema de las jarras y las ecuaciones diofánticas es natural, pero una identidad numérica no equivale a una secuencia de movimientos físicamente realizable.
El método general, explicado paso a paso
Para entender cuándo ax + by = c tiene soluciones enteras, cómo encontrar la identidad de Bézout y cómo obtener todas las soluciones, lee Ecuaciones diofánticas lineales: teoría y ejemplo con Euclides extendido.
Abrir el laboratorio general de ecuaciones diofánticas: introduce los tres coeficientes enteros a, b y c y sigue las divisiones, sustituciones y restricciones sin saltarte ningún paso.
Aquí conservamos los problemas y protocolos de los relojes de arena: la ecuación certifica la compatibilidad aritmética, pero no sustituye la comprobación de los giros y del instante desde el que se mide.
Abrir el laboratorio de relojes de arena: elige a, b y d; observa Euclides extendido, la prueba de existencia o imposibilidad, todas las soluciones enteras y un procedimiento visual de giros.
1. Reglas: medir desde el inicio o después de una preparación
Los relojes son ideales, con duraciones enteras a y b, y al principio toda la arena está abajo. En el instante inicial puedes arrancar uno o ambos. Después solo puedes intervenir cuando al menos uno se vacía: girar uno, ambos o ninguno. También se permite girar un reloj que aún funciona. No se permite estimar la arena a ojo ni usar otro reloj.
Si a un reloj de duración a le quedan r minutos, al girarlo quedan a − r minutos. Por ejemplo, un reloj de 7 minutos que lleva 1 minuto funcionando tiene r = 6; al girarlo quedan 7 − 6 = 1 minuto. El giro debe ocurrir en un instante reconocible gracias a un vaciado.
- Medida desde el inicio: comenzar en t = 0 y obtener una señal exactamente en t = d.
- Medida después de preparación: preparar el sistema, empezar la medida en un vaciado y terminar en otro vaciado d minutos después.
Son peticiones distintas. Con relojes de 3 y 5 minutos no se puede señalar 1 minuto desde el inicio: el primer evento no puede ocurrir antes de 3 minutos. Pero sí se puede medir 1 minuto más tarde, por ejemplo entre los minutos 9 y 10, con tres ciclos de 3 y dos de 5.
2. El filtro matemático: el MCD debe dividir d
Buscamos enteros x e y tales que ax + by = d. Los enteros incluyen positivos, cero y negativos. Si g = MCD(a,b), todo ax + by es múltiplo de g, porque tanto a como b lo son. Si g no divide d, la ecuación es imposible.
También vale el recíproco. La identidad de Bézout proporciona enteros u y v con au + bv = g. Si d = gh, multiplicamos por h: a(uh) + b(vh) = d. Por tanto, ax + by = d tiene soluciones enteras si y solo si MCD(a,b) divide d.
En los relojes, todos los instantes observables y los tiempos restantes siguen siendo múltiplos de g: ocurre al principio y se conserva al restar o girar. Si g no divide d, el intervalo es imposible incluso con preparación.
Si g divide d, siempre podemos medir el intervalo permitiendo una preparación: elegimos una solución con signos opuestos y leemos d como diferencia entre dos instantes de finalización de ciclos completos. Iniciamos juntos ambos recuentos, reiniciamos cada reloj al vaciarse hasta completar su número de ciclos y medimos entre sus vaciados finales. El criterio por sí solo no garantiza una medida que comience ya en t = 0.
3. Euclides extendido: de 4 y 7 a una solución de 4x + 7y = 9
Primero hallamos el MCD mediante divisiones con resto:
7 = 1 × 4 + 34 = 1 × 3 + 13 = 3 × 1 + 0
El último resto no nulo es 1. Retrocedemos: 1 = 4 − 3 = 4 − (7 − 4) = 2 × 4 − 7. Tenemos u = 2 y v = −1. Como 9 = 9 × 1, multiplicamos por 9: 9 = 18 × 4 − 9 × 7. Una solución es (x₀,y₀) = (18,−9).
El laboratorio expresa además cada resto como combinación de a y b: es la misma sustitución hacia atrás de Bézout, conservada durante el cálculo. En el caso imposible 6x + 10y = 7 obtiene g = 2 y escribe 7 = 3 × 2 + 1: el resto 1 demuestra que no hay solución.
4. No solo una pareja: todas las soluciones
Desde una solución (x₀,y₀), todas las demás son x = x₀ + (b/g)k e y = y₀ − (a/g)k, con k entero. Los términos añadidos se cancelan: a(b/g)k − b(a/g)k = 0. Recíprocamente, al restar dos soluciones y usar que a/g y b/g son coprimos, se obtiene precisamente esta familia.
Aquí x = 18 + 7k, y = −9 − 4k. Con k = −2 obtenemos (4,−1): 4 × 4 − 7 = 9. Con k = −3 obtenemos (−3,3): −3 × 4 + 3 × 7 = 9. Ambas son correctas.
Un coeficiente negativo indica una diferencia de duraciones, no tiempo negativo ni un número negativo de giros. Para concatenar únicamente ciclos completos debemos exigir x ≥ 0 e y ≥ 0, es decir, ceil(−x₀/(b/g)) ≤ k ≤ floor(y₀/(a/g)): ceil redondea al entero superior y floor al inferior. Para 4x + 7y = 9 no hay parejas no negativas. Aun así, girar relojes parcialmente llenos permite medir 9 minutos desde el inicio: lo muestra el problema 3. No deben confundirse ambas comprobaciones.
5. Doce problemas con soluciones razonadas
1. Primer paso: 3 y 5 para medir 8
Con relojes de 3 y 5 minutos, mide 8 minutos desde el inicio.
Solución
Inicia solo el de 3. Cuando se vacíe en t = 3, inicia el de 5. Se vaciará en t = 8. La ecuación es 3x + 5y = 8 con x = y = 1: aquí los ciclos se suman sucesivamente.
Probar 3, 5 → 8 en el laboratorio
2. La diferencia: 4 y 7 para medir 3
Mide un intervalo de 3 minutos con relojes de 4 y 7. Se permite preparación.
Solución
Inicia ambos juntos. Empieza la medida en t = 4 y termina en t = 7. La duración es 7 − 4 = 3, por tanto (x,y) = (−1,1). No son 3 minutos desde el inicio: el primer evento solo llega en t = 4.
Probar 4, 7 → 3 en el laboratorio
3. Un giro parcial: 4 y 7 para medir 9
Mide 9 minutos desde el inicio con relojes de 4 y 7.
Solución
- En t = 0 inicia ambos.
- En t = 4 gira el de 4.
- En t = 7 gira el de 7; el otro sigue con 1 minuto restante.
- En t = 8 se vacía el de 4. El de 7 lleva 1 minuto funcionando: gíralo y quedará 1 minuto.
- En t = 9 se vacía el de 7: fin.
4 × 4 − 7 = 9 certifica la compatibilidad aritmética, pero no describe estos giros. El procedimiento físico se comprueba por separado.
Probar 4, 7 → 9 en el laboratorio
4. Otro giro parcial: 7 y 11 para medir 15
Mide 15 minutos desde el inicio con relojes de 7 y 11.
Solución
Inicia ambos. En t = 7 gira el de 7. En t = 11 se vacía el de 11 y al de 7 le quedan 3 minutos. Gira el de 7: ahora quedan 7 − 3 = 4 minutos. Se vaciará en t = 15. La identidad −7 + 2 × 11 = 15 resuelve la ecuación.
Probar 7, 11 → 15 en el laboratorio
5. MCD mayor que 1: 6 y 10 para medir 4
Mide 4 minutos con relojes de 6 y 10, permitiendo preparación.
Solución
MCD(6,10) = 2 y 2 divide 4. Inicia ambos y mide desde t = 6 hasta t = 10. La identidad es −6 + 10 = 4. No hace falta que las duraciones sean coprimas: su MCD debe dividir el objetivo.
Probar 6, 10 → 4 en el laboratorio
6. Una imposibilidad real: 6 y 10 para medir 7
¿Puedes medir 7 minutos, incluso preparando antes los relojes de 6 y 10?
Solución
No. 6x + 10y = 2(3x + 5y) siempre es par, mientras que 7 es impar. Todos los vaciados observables ocurren en tiempos pares; su diferencia también es par. No se arregla encontrando un movimiento más ingenioso.
Comprobar la imposibilidad en el laboratorio
7. Un solo minuto: 5 y 8
Mide un intervalo de 1 minuto con relojes de 5 y 8. Puedes prepararlos antes.
Solución
−3 × 5 + 2 × 8 = 1. Inicia ambos. Reinicia el de 5 en t = 5 y t = 10, y el de 8 en t = 8. En t = 15 el de 5 termina su tercer ciclo: comienza la medida. En t = 16 el de 8 termina su segundo: fin. Mides de 15 a 16, no 1 minuto desde el inicio.
Probar 5, 8 → 1 en el laboratorio
8. Ciclos completos: 8 y 12 para medir 20
Mide 20 minutos desde el inicio con relojes de 8 y 12.
Solución
8 + 12 = 20. Inicia el de 8 y, al vaciarse en t = 8, inicia el de 12. Termina en t = 20. MCD(8,12) = 4 divide 20; (x,y) = (1,1).
Probar 8, 12 → 20 en el laboratorio
9. Un resto que bloquea todo: 8 y 12 para medir 10
¿Puedes medir 10 minutos con relojes de 8 y 12, incluso con preparación?
Solución
No. El MCD es 4, pero 10 = 2 × 4 + 2. Todo 8x + 12y es múltiplo de 4; 10 no lo es. Todos los eventos y sus diferencias siguen siendo múltiplos de 4.
Comprobar 8, 12 → 10 en el laboratorio
10. Duraciones mayores: 9 y 14 para medir 23
Mide 23 minutos desde el inicio con relojes de 9 y 14.
Solución
Inicia el de 9. Al vaciarse, inicia el de 14. Termina en t = 9 + 14 = 23. La pareja (1,1) resuelve 9x + 14y = 23.
Probar 9, 14 → 23 en el laboratorio
11. Mismos relojes, otro objetivo: 9 y 14 para medir 5
Mide 5 minutos con los mismos relojes. Se permite preparación.
Solución
Inicia ambos. Comienza cuando se vacíe el de 9, en t = 9, y termina cuando se vacíe el de 14, en t = 14. La identidad es −9 + 14 = 5. El procedimiento cambia con el objetivo aunque los relojes sean los mismos.
Probar 9, 14 → 5 en el laboratorio
12. Una unidad de tiempo mayor: 10 y 15 para medir 5
Mide 5 minutos con relojes de 10 y 15, permitiendo preparación. ¿Podrías medir 1 minuto?
Solución
Inicia ambos y mide desde t = 10 hasta t = 15: −10 + 15 = 5. El MCD es 5, así que 5 es posible pero 1 no. La unidad aritmética accesible no siempre es un minuto: aquí es 5 minutos.
Probar 10, 15 → 5 en el laboratorio
6. Cómo leer el laboratorio
El cálculo separa dos tareas. Primero resuelve la ecuación: divisiones de Euclides, identidad de Bézout, multiplicación por d/g, familia paramétrica y comprobación de coeficientes no negativos. Cambiar k permite verificar otras parejas sin cambiar ax + by.
Después busca en los estados (t,rA,rB), donde rA y rB son los minutos restantes. En cada vaciado considera los cuatro movimientos permitidos y espera el siguiente evento: no salta instantes ni usa un reloj oculto. Explora todos los estados alcanzables hasta t = d. Si encuentra una señal en d, muestra una medida desde el inicio; si no, pero el MCD divide d, construye una medida después de preparación comparando ciclos completos. No promete el menor número de movimientos ni la preparación más corta.
Los controles permiten avanzar evento a evento, reproducir, pausar y volver al inicio. La arena mostrada corresponde al estado después del movimiento; la tabla indica instante, evento, giro y tiempos restantes. En las medidas preparadas se destaca el inicio del cronómetro lógico: no confundas el tiempo de preparación con el intervalo solicitado.
Para profundizar en el teorema utilizado: Raji, Elementary Number Theory, ecuaciones diofánticas lineales. Estos problemas y explicaciones desarrollan ese criterio en el modelo de los relojes de arena.