Due clessidre, nessun orologio e un tempo da misurare: basta sommare e sottrarre le loro durate? Il collegamento con il problema delle brocche e le equazioni diofantee è naturale, ma bisogna distinguere un’identità tra numeri da una sequenza di mosse realmente eseguibile.
Il metodo generale, spiegato passo passo
Per capire quando ax + by = c ha soluzioni intere, come trovare l’identità di Bézout e come ricavare tutte le soluzioni, leggi Equazioni diofantee lineari: teoria ed esempio con Euclide esteso.
Apri il laboratorio generale delle equazioni diofantee: inserisci i tre coefficienti interi a, b e c e segui divisioni, sostituzioni e vincoli, senza saltare i passaggi.
Qui manteniamo i problemi e i protocolli delle clessidre: l’equazione certifica la compatibilità aritmetica, ma non sostituisce la verifica dei capovolgimenti e dell’istante da cui si misura.
Apri il laboratorio delle clessidre: scegli a, b e d; osserva Euclide esteso, la prova di esistenza o impossibilità, tutte le soluzioni intere e un protocollo visuale con i capovolgimenti.
1. Regole: misurare subito oppure dopo una preparazione
Le clessidre sono ideali, con durate intere a e b, e inizialmente hanno tutta la sabbia in basso. All’istante iniziale puoi avviarne una o entrambe. Poi puoi intervenire solo quando almeno una si svuota: capovolgerne una, entrambe o nessuna. Si può capovolgere anche una clessidra ancora in corso. Non si può stimare la sabbia a occhio né usare un altro orologio.
Se una clessidra da a minuti ha ancora r minuti da scorrere, dopo un capovolgimento avrà a − r minuti residui. Per esempio, una clessidra da 7 minuti che ha funzionato per 1 minuto ha r = 6; capovolgendola, resta 7 − 6 = 1 minuto. Il capovolgimento deve però avvenire in un istante riconoscibile grazie a uno svuotamento.
- Misura dall’avvio: si parte a t = 0 e si vuole un segnale esattamente a t = d.
- Misura dopo preparazione: si prepara il sistema e si inizia la misura a uno svuotamento; un altro svuotamento, d minuti dopo, ne indica la fine.
Non sono la stessa richiesta. Con clessidre da 3 e 5 minuti non si può segnalare 1 minuto dall’avvio: il primo evento non può precedere 3 minuti. Ma 1 minuto si può misurare più tardi, per esempio tra 9 e 10 minuti, ripetendo tre cicli da 3 e due da 5.
2. Il filtro matematico: il MCD deve dividere d
Cerchiamo interi x e y tali che ax + by = d. Gli interi comprendono numeri positivi, zero e numeri negativi. Se g = MCD(a,b), ogni ax + by è multiplo di g, perché lo sono sia a sia b. Dunque, se g non divide d, l’equazione è impossibile.
Vale anche il viceversa. L’identità di Bézout fornisce interi u e v per cui au + bv = g. Se d = gh, basta moltiplicare per h: a(uh) + b(vh) = d. Quindi ax + by = d ha soluzioni intere se e solo se MCD(a,b) divide d.
Per le clessidre, tutti gli istanti osservabili e i residui restano multipli di g: vale all’inizio e rimane vero dopo una sottrazione o un capovolgimento. Se g non divide d, il tempo è quindi impossibile anche con preparazione.
Se invece g divide d, possiamo sempre misurare l’intervallo ammettendo una preparazione: scegliamo una soluzione con coefficienti di segno opposto e leggiamo d come differenza fra due istanti di completamento di cicli interi. Si avviano i due conteggi insieme, si riavvia ciascuna clessidra ai suoi svuotamenti fino al numero di cicli stabilito e si misura fra i due svuotamenti finali. Il criterio non garantisce, da solo, una misura che inizi già a t = 0.
3. Euclide esteso: da 4 e 7 a una soluzione di 4x + 7y = 9
Prima troviamo il MCD attraverso le divisioni con resto:
7 = 1 × 4 + 34 = 1 × 3 + 13 = 3 × 1 + 0
L’ultimo resto non nullo è 1. Risaliamo: 1 = 4 − 3 = 4 − (7 − 4) = 2 × 4 − 7. Abbiamo trovato u = 2 e v = −1. Poiché 9 = 9 × 1, moltiplichiamo per 9: 9 = 18 × 4 − 9 × 7. Una soluzione è (x₀,y₀) = (18,−9).
Il laboratorio mostra anche ogni resto come combinazione di a e b: è la stessa risalita di Bézout, conservata durante il calcolo. Nel caso impossibile 6x + 10y = 7 trova invece g = 2 e scrive 7 = 3 × 2 + 1: il resto 1 dimostra perché non esiste alcuna soluzione.
4. Non una sola coppia: tutte le soluzioni
Da una soluzione (x₀,y₀), tutte le altre sono x = x₀ + (b/g)k e y = y₀ − (a/g)k, con k intero. I termini aggiunti si cancellano: a(b/g)k − b(a/g)k = 0. Viceversa, sottraendo due soluzioni e usando che a/g e b/g sono coprimi, si ottiene proprio questa famiglia.
Nell’esempio: x = 18 + 7k, y = −9 − 4k. Con k = −2 troviamo (4,−1): 4 × 4 − 7 = 9. Con k = −3 troviamo (−3,3): −3 × 4 + 3 × 7 = 9. Entrambe sono corrette.
Un coefficiente negativo indica una differenza di durate, non tempo negativo né un numero negativo di capovolgimenti. Se vogliamo soltanto concatenare cicli completi dobbiamo imporre x ≥ 0 e y ≥ 0, cioè ceil(−x₀/(b/g)) ≤ k ≤ floor(y₀/(a/g)): ceil arrotonda all’intero superiore, floor all’inferiore. Per 4x + 7y = 9 non ci sono coppie non negative. Eppure i capovolgimenti parziali permettono di misurare 9 minuti dall’avvio: lo mostra il problema 3. Non bisogna confondere le due verifiche.
5. Dodici problemi, con soluzioni ragionate
1. Il primo passo: 3 e 5 per misurare 8
Hai clessidre da 3 e 5 minuti. Misura 8 minuti dall’avvio.
Soluzione
Avvia solo la 3. Quando si svuota, a t = 3, avvia la 5. Il suo svuotamento è a t = 8. L’equazione è 3x + 5y = 8, con x = y = 1: qui i cicli si sommano in successione.
Prova 3, 5 → 8 nel laboratorio
2. La differenza: 4 e 7 per misurare 3
Misura un intervallo di 3 minuti con clessidre da 4 e 7. È ammessa una preparazione.
Soluzione
Avviale insieme. A t = 4 inizia la misura; a t = 7 termina. La durata è 7 − 4 = 3, quindi (x,y) = (−1,1). Non sono 3 minuti dall’avvio: il primo evento arriva soltanto a t = 4.
Prova 4, 7 → 3 nel laboratorio
3. Un capovolgimento parziale: 4 e 7 per misurare 9
Misura 9 minuti dall’avvio con clessidre da 4 e 7.
Soluzione
- A t = 0 avviale entrambe.
- A t = 4 capovolgi la 4.
- A t = 7 capovolgi la 7; la 4 continua, con 1 minuto residuo.
- A t = 8 la 4 si svuota. La 7 ha funzionato per 1 minuto: capovolgila e avrà 1 minuto residuo.
- A t = 9 la 7 si svuota: fine.
4 × 4 − 7 = 9 certifica la compatibilità aritmetica, ma non descrive questi capovolgimenti. Il protocollo fisico va controllato separatamente.
Prova 4, 7 → 9 nel laboratorio
4. Un altro parziale: 7 e 11 per misurare 15
Misura 15 minuti dall’avvio con clessidre da 7 e 11.
Soluzione
Avviale insieme. A t = 7 capovolgi la 7. A t = 11 la 11 si svuota: nella 7 rimangono 3 minuti. Capovolgi la 7: ora ne rimangono 7 − 3 = 4. Si svuoterà a t = 15. L’identità −7 + 2 × 11 = 15 è una soluzione dell’equazione.
Prova 7, 11 → 15 nel laboratorio
5. MCD maggiore di 1: 6 e 10 per misurare 4
Misura 4 minuti con clessidre da 6 e 10, ammettendo una preparazione.
Soluzione
MCD(6,10) = 2 e 2 divide 4. Avvia entrambe e misura da t = 6 a t = 10. L’identità è −6 + 10 = 4. Non serve che le durate siano coprime: serve che il loro MCD divida l’obiettivo.
Prova 6, 10 → 4 nel laboratorio
6. Una vera impossibilità: 6 e 10 per misurare 7
Puoi misurare 7 minuti, anche preparandoti prima, con clessidre da 6 e 10?
Soluzione
No. 6x + 10y = 2(3x + 5y) è sempre pari, mentre 7 è dispari. Tutti gli svuotamenti osservabili restano a tempi pari; anche la differenza fra due di essi è pari. Non è un problema di trovare una mossa più furba.
Verifica l’impossibilità nel laboratorio
7. Un solo minuto: 5 e 8
Misura un intervallo di 1 minuto con clessidre da 5 e 8. Puoi prepararle prima.
Soluzione
−3 × 5 + 2 × 8 = 1. Avvia entrambe. Riavvia la 5 a t = 5 e t = 10; riavvia la 8 a t = 8. A t = 15 la 5 termina il terzo ciclo: inizia la misura. A t = 16 la 8 termina il secondo: fine. Non stai misurando 1 minuto dall’avvio, ma da 15 a 16.
Prova 5, 8 → 1 nel laboratorio
8. Cicli completi: 8 e 12 per misurare 20
Misura 20 minuti dall’avvio con clessidre da 8 e 12.
Soluzione
8 + 12 = 20. Avvia la 8 e, quando si svuota a t = 8, avvia la 12. Finisce a t = 20. MCD(8,12) = 4 divide 20; (x,y) = (1,1).
Prova 8, 12 → 20 nel laboratorio
9. Un resto che blocca tutto: 8 e 12 per misurare 10
Puoi misurare 10 minuti con clessidre da 8 e 12, anche con preparazione?
Soluzione
No. Il MCD è 4, ma 10 = 2 × 4 + 2. Ogni 8x + 12y è multiplo di 4; 10 non lo è. Tutti gli eventi e le loro differenze restano multipli di 4.
Verifica 8, 12 → 10 nel laboratorio
10. Due durate più grandi: 9 e 14 per misurare 23
Misura 23 minuti dall’avvio con clessidre da 9 e 14.
Soluzione
Avvia la 9. Al suo svuotamento avvia la 14. Finisce a t = 9 + 14 = 23. La coppia (1,1) risolve 9x + 14y = 23.
Prova 9, 14 → 23 nel laboratorio
11. Stesse clessidre, altro obiettivo: 9 e 14 per misurare 5
Misura 5 minuti con le stesse clessidre. È ammessa una preparazione.
Soluzione
Avviale insieme. Inizia la misura allo svuotamento della 9, a t = 9, e termina a quello della 14, a t = 14. L’identità è −9 + 14 = 5. Il protocollo cambia quando cambia la richiesta, anche se le clessidre sono le stesse.
Prova 9, 14 → 5 nel laboratorio
12. Unità di tempo più grossa: 10 e 15 per misurare 5
Misura 5 minuti con clessidre da 10 e 15, ammettendo una preparazione. Potresti misurare 1 minuto?
Soluzione
Avvia entrambe e misura da t = 10 a t = 15: −10 + 15 = 5. Il MCD è 5, quindi 5 è possibile ma 1 no. L’unità aritmetica accessibile non è sempre un minuto: qui è 5 minuti.
Prova 10, 15 → 5 nel laboratorio
6. Come leggere il laboratorio
Il calcolo ha due parti separate. La prima risolve l’equazione: divisioni di Euclide, identità di Bézout, moltiplicazione per d/g, famiglia parametrica e controllo dei coefficienti non negativi. Muovendo k puoi verificare altre coppie senza cambiare il valore di ax + by.
La seconda cerca un percorso negli stati (t,rA,rB), dove rA e rB sono i minuti residui. A ogni svuotamento considera le quattro mosse ammesse e attende il prossimo evento: non salta istanti e non usa un orologio nascosto. Cerca tutti gli stati raggiungibili fino a t = d. Se trova un segnale a d, mostra una misura dall’avvio; se non lo trova ma il MCD divide d, costruisce una misura dopo preparazione confrontando cicli completi. Non promette il minor numero di mosse né la preparazione più breve.
I pulsanti permettono di avanzare evento per evento, riprodurre, fermare e tornare all’avvio. La sabbia visualizzata è quella dopo la mossa; la tabella riporta istante, evento, capovolgimento e residui. Per le misure preparate l’inizio del cronometro logico è evidenziato: il tempo trascorso dalla preparazione non va confuso con la durata richiesta.
Per approfondire il teorema usato: Raji, Elementary Number Theory, equazioni diofantee lineari. I problemi e le spiegazioni qui proposti sviluppano quel criterio nel modello delle clessidre.