Un conjunto es una colección de objetos para la que podemos decidir sin ambigüedad si un objeto pertenece a ella. Esos objetos son sus elementos. Esta lección comienza con los símbolos esenciales y llega a las primeras operaciones; en el laboratorio de diagramas de Venn puedes ver exactamente qué regiones selecciona cada operación.
Elementos, pertenencia y representaciones
Escribimos 2 ∈ A si 2 pertenece a A y 7 ∉ A si no pertenece. Por ejemplo, A={2,4,6} enumera los elementos; también podemos describir la misma colección mediante una propiedad: «los enteros positivos pares menores que 7». El orden y las repeticiones no importan: {2,4,2}={4,2}. La propiedad necesita un dominio claro; «los números grandes» no determina un conjunto sin un criterio preciso.
El conjunto vacío ∅ no contiene elementos. No debe confundirse con {∅}, que contiene un elemento: el propio conjunto vacío. Por tanto, |∅|=0 y |{∅}|=1. La notación |A| indica el número de elementos de un conjunto finito A.
Subconjuntos e igualdad
Escribimos A ⊆ B si todo elemento de A pertenece también a B. Por ejemplo, {2,4} ⊆ {1,2,3,4}. Cada conjunto es subconjunto de sí mismo y ∅ es subconjunto de cualquier conjunto. Dos conjuntos son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos: A=B si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A. Distingue 2 ∈ A de {2} ⊆ A: la primera frase trata de un elemento; la segunda, de un conjunto.
El universo y las primeras operaciones
Fijemos un universo U, los objetos que estamos considerando. Sean U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A={2,4,6,8,10} y B={3,6,9}. Entonces:
- Unión A∪B={2,3,4,6,8,9,10}: pertenece a A o a B, también si pertenece a ambos.
- Intersección A∩B={6}: pertenece a A y a B simultáneamente.
- Diferencia A∖B={2,4,8,10}: pertenece a A pero no a B.
- Complemento U∖A={1,3,5,7,9}: está en U pero no en A.
- Diferencia simétrica A△B={2,3,4,8,9,10}: pertenece a exactamente uno de los dos conjuntos.
El complemento cambia si cambia U. Incluso al comparar solo A y B, la región exterior a ambos círculos sigue formando parte de U. La «o» de la unión es inclusiva: el 6, presente en ambos, se cuenta una sola vez.
Cómo leer un diagrama de Venn
El rectángulo representa U y cada círculo un conjunto. Cada punto del rectángulo está en una región elemental determinada por sus pertenencias: solo A, solo B, ambos o ninguno. Tres conjuntos ofrecen hasta 8 combinaciones de pertenencia. Algunas regiones pueden estar vacías para los conjuntos concretos elegidos. En el laboratorio puedes pasar de dos a tres conjuntos y ver toda la operación coloreada en el diagrama.
Para comprobar una operación, imagina un elemento cualquiera y pregunta: «¿está en A? ¿está en B?». A∖B exige sí a la primera y no a la segunda. El complemento de A exige no a A, incluso cuando el elemento queda fuera de todos los círculos.
Primeras propiedades y un recuento
Se cumplen A∪∅=A, A∩∅=∅, A∪A=A y A∩A=A. Además, A∩B ⊆ A ⊆ A∪B. El complemento satisface A∪(U∖A)=U y A∩(U∖A)=∅. Dos identidades útiles de De Morgan son U∖(A∪B)=(U∖A)∩(U∖B) y U∖(A∩B)=(U∖A)∪(U∖B). Para verificarlas, toma un elemento cualquiera y compara cuándo pertenece a cada lado.
Si A y B son finitos, |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|. Los elementos comunes se contaron dos veces; por eso restamos una copia. Si |A|=12, |B|=9 y |A∩B|=4, la unión contiene 17 elementos.
Doce ejercicios con soluciones
Intenta responder antes de abrir la solución. Los primeros cuatro establecen las bases, los cinco siguientes practican las operaciones y los tres últimos requieren una comprobación más.
- Enumera los múltiplos de 3 en U={1,…,10}.
Solución
{3,6,9}; 12 queda fuera del universo.
- Si A={2,4}, ¿son verdaderas 2∈A y {2}⊆A?
Solución
Sí: 2 es un elemento; {2} es un conjunto cuyo único elemento pertenece a A.
- ¿Cuánto valen |∅| y |{∅}|?
Solución
Valen 0 y 1. El segundo conjunto contiene un elemento: ∅.
- Comprueba si {2,4}⊆{1,2,3,4}.
Solución
Sí: tanto 2 como 4 pertenecen al conjunto de la derecha.
- Con A={1,3,5}, B={3,4}, calcula A∪B.
Solución
{1,3,4,5}; el 3 común aparece una sola vez.
- Con los mismos A y B, calcula A∩B.
Solución
{3}, el único elemento compartido.
- Con los mismos A y B, calcula A∖B y B∖A.
Solución
A∖B={1,5}; B∖A={4}. La diferencia no es conmutativa.
- Si U={1,…,6} y A={2,4,6}, calcula U∖A.
Solución
{1,3,5}: exactamente los elementos de U que no están en A.
- Si A={1,2,3} y B={3,4}, calcula A△B.
Solución
{1,2,4}. Se excluye el 3 porque pertenece a ambos.
- Con U={1,…,5}, A={1,3}, B={3,5}, comprueba una ley de De Morgan.
Solución
A∪B={1,3,5}, luego U∖(A∪B)={2,4}. También (U∖A)∩(U∖B)={2,4}.
- Si |A|=12, |B|=9 y |A∩B|=4, calcula |A∪B|.
Solución
12+9−4=17. Restamos una vez la intersección porque estaba contada dos veces.
- De 20 estudiantes, 12 juegan al ajedrez, 11 pintan y 5 hacen ambas cosas. ¿Cuántos hacen al menos una actividad y cuántos ninguna?
Solución
Al menos una: 12+11−5=18. Ninguna: 20−18=2. Comprobación: 18+2=20.
Del laboratorio a los problemas avanzados
En el laboratorio de Venn, elige unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica o complemento; después colorea libremente las regiones para crear tu propia selección. Con tres conjuntos, la unión es A∪B∪C, la intersección A∩B∩C y la diferencia A∖(B∪C). La diferencia simétrica A△B△C incluye las regiones que pertenecen a uno o a los tres conjuntos; el complemento sigue siendo U∖A. Tras dominar estas bases, prueba Conjuntos: 10 problemas muy difíciles con diagramas.