Un insieme è una collezione di oggetti per cui possiamo decidere senza ambiguità se un oggetto appartiene alla collezione. Gli oggetti si chiamano elementi. Questa lezione parte dai simboli essenziali e arriva alle prime operazioni; nel laboratorio dei diagrammi di Venn puoi vedere esattamente quali regioni seleziona ogni operazione.
Elementi, appartenenza e rappresentazioni
Scriviamo 2 ∈ A se 2 appartiene ad A e 7 ∉ A se non vi appartiene. Per esempio A={2,4,6} si rappresenta elencando gli elementi; la stessa collezione si può descrivere con una proprietà: «i numeri pari positivi minori di 7». L’ordine e le ripetizioni nell’elenco non contano: {2,4,2}={4,2}. La proprietà deve riferirsi a un dominio chiaro; «i numeri grandi» non definisce un insieme senza una regola precisa.
L’insieme vuoto ∅ non contiene elementi. Non confonderlo con {∅}, che contiene un elemento: proprio l’insieme vuoto. Quindi |∅|=0 e |{∅}|=1. Il simbolo |A| indica il numero degli elementi di un insieme finito A.
Sottoinsiemi e uguaglianza
Scriviamo A ⊆ B se ogni elemento di A appartiene anche a B. Per esempio {2,4} ⊆ {1,2,3,4}. Ogni insieme è sottoinsieme di sé stesso e ∅ è sottoinsieme di ogni insieme. Due insiemi sono uguali se hanno esattamente gli stessi elementi: in particolare A=B se e solo se A ⊆ B e B ⊆ A. Attenzione alla differenza fra 2 ∈ A e {2} ⊆ A: la prima parla di un elemento, la seconda di un insieme.
Universo e prime operazioni
Fissiamo un universo U, cioè l’insieme degli oggetti che stiamo considerando. Prendiamo U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A={2,4,6,8,10} e B={3,6,9}. Allora:
- Unione A∪B={2,3,4,6,8,9,10}: appartiene ad A oppure a B, anche a entrambi.
- Intersezione A∩B={6}: appartiene contemporaneamente ad A e B.
- Differenza A∖B={2,4,8,10}: appartiene ad A ma non a B.
- Complementare U∖A={1,3,5,7,9}: è in U ma non in A.
- Differenza simmetrica A△B={2,3,4,8,9,10}: appartiene a uno solo dei due insiemi.
Il complementare cambia se cambia U. Se confrontiamo solo A e B, la regione esterna ai due cerchi resta comunque parte di U. «Oppure» nell’unione è inclusivo: il 6, presente in entrambi, va contato una sola volta.
Come leggere un diagramma di Venn
Il rettangolo rappresenta U e ogni cerchio un insieme. Ogni punto del rettangolo appartiene a una regione elementare definita dalle sue appartenenze: solo A, solo B, entrambi, nessuno. Con tre insiemi ci sono fino a 8 combinazioni di appartenenza. Alcune regioni possono essere vuote per gli insiemi concreti scelti. Nel laboratorio puoi passare da due a tre insiemi e vedere l’intera operazione colorata sul diagramma.
Per controllare un’operazione, immagina un elemento qualunque e chiediti: «è in A? è in B?». A∖B richiede sì alla prima domanda e no alla seconda. Il complementare di A richiede no ad A, anche quando l’elemento si trova fuori da tutti i cerchi.
Prime proprietà e un piccolo conteggio
Valgono A∪∅=A, A∩∅=∅, A∪A=A e A∩A=A. Inoltre A∩B ⊆ A ⊆ A∪B. Il complementare soddisfa A∪(U∖A)=U e A∩(U∖A)=∅. Due identità utili sono le leggi di De Morgan: U∖(A∪B)=(U∖A)∩(U∖B) e U∖(A∩B)=(U∖A)∪(U∖B). Basta controllare per un elemento qualsiasi quando ciascun lato è vero.
Se A e B sono finiti, |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|: gli elementi comuni erano stati contati due volte, quindi ne sottraiamo una copia. Con |A|=12, |B|=9 e |A∩B|=4, l’unione ha 17 elementi.
Dodici esercizi con soluzione
Prova a rispondere prima di aprire la soluzione. I primi quattro sono di base, i successivi cinque consolidano le operazioni, gli ultimi tre richiedono una verifica in più.
- Elenca i multipli di 3 in U={1,…,10}.
Soluzione
{3,6,9}: 12 è fuori dall’universo.
- Se A={2,4}, sono vere 2∈A e {2}⊆A?
Soluzione
Sì entrambe: 2 è un elemento; {2} è un insieme il cui unico elemento appartiene ad A.
- Quanto valgono |∅| e |{∅}|?
Soluzione
Rispettivamente 0 e 1: nel secondo insieme compare un elemento, che è ∅.
- Verifica se {2,4}⊆{1,2,3,4}.
Soluzione
Sì: sia 2 sia 4 appartengono all’insieme a destra.
- Con A={1,3,5}, B={3,4}, trova A∪B.
Soluzione
{1,3,4,5}; il 3, comune, compare una sola volta.
- Con gli stessi A e B, trova A∩B.
Soluzione
{3}, l’unico elemento presente in entrambi.
- Con gli stessi A e B, trova A∖B e B∖A.
Soluzione
A∖B={1,5}; B∖A={4}. La differenza non è commutativa.
- Se U={1,…,6} e A={2,4,6}, trova U∖A.
Soluzione
{1,3,5}: sono esattamente gli elementi di U che non stanno in A.
- Se A={1,2,3} e B={3,4}, trova A△B.
Soluzione
{1,2,4}. Il 3 è escluso perché appartiene a entrambi.
- Con U={1,…,5}, A={1,3}, B={3,5}, verifica una legge di De Morgan.
Soluzione
A∪B={1,3,5}; quindi U∖(A∪B)={2,4}. Anche (U∖A)∩(U∖B)={2,4}.
- Se |A|=12, |B|=9 e |A∩B|=4, quanto vale |A∪B|?
Soluzione
12+9−4=17. Sottraiamo l’intersezione una volta perché era stata contata due volte.
- Su 20 studenti, 12 giocano a scacchi, 11 dipingono e 5 fanno entrambe le cose. Quanti fanno almeno una delle due attività e quanti nessuna?
Soluzione
Almeno una: 12+11−5=18. Nessuna: 20−18=2. Verifica: 18+2=20.
Dal laboratorio ai problemi avanzati
Nel laboratorio di Venn scegli unione, intersezione, differenza, differenza simmetrica o complementare; poi colora liberamente le regioni per inventare un’espressione tua. Con tre insiemi l’unione è A∪B∪C, l’intersezione A∩B∩C e la differenza A∖(B∪C). La differenza simmetrica A△B△C comprende le regioni che appartengono a uno o a tutti e tre gli insiemi; il complementare resta U∖A. Quando questi primi passaggi sono chiari, puoi affrontare l’articolo Insiemi: 10 problemi molto difficili con diagrammi.