Un ensemble est une collection d’objets pour laquelle on peut décider sans ambiguïté si un objet en fait partie. Ces objets sont ses éléments. Cette leçon part des symboles essentiels pour arriver aux premières opérations ; dans le laboratoire des diagrammes de Venn, vous verrez exactement quelles régions chaque opération sélectionne.
Éléments, appartenance et représentations
On écrit 2 ∈ A si 2 appartient à A et 7 ∉ A dans le cas contraire. Par exemple, A={2,4,6} énumère les éléments ; la même collection se décrit aussi par une propriété : « les entiers positifs pairs inférieurs à 7 ». L’ordre et les répétitions ne comptent pas : {2,4,2}={4,2}. Une propriété demande un domaine clair ; « les grands nombres » ne définit pas un ensemble sans critère précis.
L’ensemble vide ∅ ne contient aucun élément. Il ne faut pas le confondre avec {∅}, qui contient un élément : l’ensemble vide lui-même. Donc |∅|=0 et |{∅}|=1. La notation |A| est le nombre d’éléments d’un ensemble fini A.
Inclusion et égalité
On écrit A ⊆ B si tout élément de A appartient aussi à B. Par exemple, {2,4} ⊆ {1,2,3,4}. Chaque ensemble est inclus dans lui-même et ∅ est inclus dans tout ensemble. Deux ensembles sont égaux s’ils ont exactement les mêmes éléments : A=B si et seulement si A ⊆ B et B ⊆ A. Distinguez 2 ∈ A de {2} ⊆ A : le premier énonce l’appartenance d’un élément, le second l’inclusion d’un ensemble.
L’univers et les premières opérations
Fixons un univers U, l’ensemble des objets étudiés. Prenons U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A={2,4,6,8,10} et B={3,6,9}. Alors :
- Union A∪B={2,3,4,6,8,9,10} : dans A ou B, y compris dans les deux.
- Intersection A∩B={6} : dans A et B à la fois.
- Différence A∖B={2,4,8,10} : dans A, mais pas dans B.
- Complémentaire U∖A={1,3,5,7,9} : dans U, mais pas dans A.
- Différence symétrique A△B={2,3,4,8,9,10} : dans un seul des deux ensembles.
Le complémentaire change quand U change. Même si l’on compare seulement A et B, la région extérieure aux deux cercles appartient toujours à U. Le « ou » de l’union est inclusif : 6, commun aux deux, n’est compté qu’une fois.
Lire un diagramme de Venn
Le rectangle représente U et chaque cercle un ensemble. Chaque point du rectangle se trouve dans une région élémentaire définie par ses appartenances : seulement A, seulement B, les deux ou aucun. Trois ensembles donnent jusqu’à 8 combinaisons. Certaines régions peuvent être vides pour les ensembles concrets choisis. Dans le laboratoire, vous pouvez passer de deux à trois ensembles et voir toute l’opération coloriée sur le diagramme.
Pour vérifier une opération, imaginez un élément quelconque et demandez-vous : « appartient-il à A ? à B ? » A∖B exige oui pour A et non pour B. Le complémentaire de A exige non pour A, même si l’élément se trouve hors de tous les cercles.
Premières propriétés et un dénombrement
On a A∪∅=A, A∩∅=∅, A∪A=A et A∩A=A. De plus A∩B ⊆ A ⊆ A∪B. Le complémentaire satisfait A∪(U∖A)=U et A∩(U∖A)=∅. Deux identités de De Morgan sont U∖(A∪B)=(U∖A)∩(U∖B) et U∖(A∩B)=(U∖A)∪(U∖B). Pour les vérifier, prenez un élément quelconque et comparez ses conditions d’appartenance.
Si A et B sont finis, |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|. Les éléments communs ont été comptés deux fois : on en retranche une copie. Avec |A|=12, |B|=9 et |A∩B|=4, l’union compte 17 éléments.
Douze exercices avec solutions
Essayez de répondre avant d’ouvrir la solution. Les quatre premiers établissent les bases, les cinq suivants entraînent aux opérations et les trois derniers demandent une vérification supplémentaire.
- Énumérez les multiples de 3 dans U={1,…,10}.
Solution
{3,6,9} ; 12 n’appartient pas à U.
- Si A={2,4}, les deux affirmations 2∈A et {2}⊆A sont-elles vraies ?
Solution
Oui : 2 est un élément ; {2} est un ensemble dont l’unique élément appartient à A.
- Que valent |∅| et |{∅}| ?
Solution
Respectivement 0 et 1 : le second ensemble contient un élément, ∅.
- Vérifiez si {2,4}⊆{1,2,3,4}.
Solution
Oui : 2 et 4 appartiennent tous deux à l’ensemble de droite.
- Pour A={1,3,5}, B={3,4}, trouvez A∪B.
Solution
{1,3,4,5} ; l’élément commun 3 n’apparaît qu’une fois.
- Avec les mêmes A et B, trouvez A∩B.
Solution
{3}, seul élément commun.
- Avec les mêmes A et B, trouvez A∖B et B∖A.
Solution
A∖B={1,5} ; B∖A={4}. La différence n’est pas commutative.
- Si U={1,…,6} et A={2,4,6}, trouvez U∖A.
Solution
{1,3,5} : ce sont les éléments de U absents de A.
- Si A={1,2,3} et B={3,4}, trouvez A△B.
Solution
{1,2,4}. L’élément 3 est exclu car il appartient aux deux ensembles.
- Avec U={1,…,5}, A={1,3}, B={3,5}, vérifiez une loi de De Morgan.
Solution
A∪B={1,3,5}, donc U∖(A∪B)={2,4}. De même (U∖A)∩(U∖B)={2,4}.
- Si |A|=12, |B|=9 et |A∩B|=4, trouvez |A∪B|.
Solution
12+9−4=17. On soustrait une fois l’intersection, comptée deux fois au départ.
- Parmi 20 élèves, 12 jouent aux échecs, 11 peignent et 5 font les deux. Combien pratiquent au moins une activité, et combien aucune ?
Solution
Au moins une : 12+11−5=18. Aucune : 20−18=2. Vérification : 18+2=20.
Du laboratoire aux problèmes avancés
Dans le laboratoire de Venn, choisissez union, intersection, différence, différence symétrique ou complémentaire ; puis coloriez librement les régions pour inventer votre propre sélection. Avec trois ensembles, l’union est A∪B∪C, l’intersection A∩B∩C et la différence A∖(B∪C). La différence symétrique A△B△C comprend les régions appartenant à un seul ou aux trois ensembles ; le complémentaire reste U∖A. Ensuite, essayez Ensembles : 10 problèmes très difficiles avec diagrammes.