De 2010 a 2026: el problema de la herencia generalizado

Del problema de la herencia estudiado en 2010 a su forma general en 2026: encontrar los números no basta; hay que demostrar que la regla funciona para cada hijo. Este artículo continúa «La solución no basta: la herencia de Fibonacci».

Introducción - el problema inicial

Un padre deja una herencia a sus hijos: el primero recibe 1 000 euros y después una décima parte de lo que queda; el segundo recibe 2 000 euros y luego una décima parte del resto; el tercero recibe 3 000 euros y luego una décima parte del resto; y así sucesivamente. Al final todos reciben la misma suma y la herencia queda totalmente repartida. ¿Cuántos hijos hay, cuánto recibe cada uno y cuál es la herencia total?

Sea n el número de hijos y S la parte común. La herencia inicial es nS. Las condiciones para los dos primeros hijos son:

S = 1 000 + (nS − 1 000) / 10
S = 2 000 + [(n − 1)S − 2 000] / 10
(10 − n)S = 9 000
(11 − n)S = 18 000
S = 9 000
n = 9
E = nS = 9 · 9 000 = 81 000 euros

El sistema da 9 hijos, 9 000 euros para cada uno y 81 000 euros en total. Pero esta solución usa solo a los dos primeros hijos: obtiene valores necesarios sin explicar todavía por qué el tercero, el cuarto y todos los siguientes reciben de verdad la misma parte. Hay que estudiar al k-ésimo hijo.

1. El punto de partida

El problema interesa por su estructura oculta: en cada turno aumenta una cantidad fija y después se añade la misma fracción del resto. En 2010 la idea ya era ir más allá del caso numérico y buscar una ley general. Las cantidades 1, 2, 3, … y la fracción 1/d sugerían n = d − 1 y una herencia cuadrática. En 2026 se completa el razonamiento: se demuestra la relación para todos los hijos y se sustituyen 1, 2, 3, … por a, 2a, 3a, …, es decir, ka.

2. Enunciado general

Un padre deja una herencia a n hijos. El primero recibe a y luego 1/d de lo que queda; el segundo recibe 2a y luego 1/d del resto; el tercero recibe 3a y luego 1/d; en general, el k-ésimo recibe ka y luego 1/d de lo que queda. Todos reciben la misma suma S y la herencia se agota.

Para el caso no trivial que demostramos aquí, suponemos a > 0, d entero mayor que 1 y al menos dos hijos. Si hay un solo hijo, la única parte puede coincidir con la herencia inicial a para cualquier d: no podemos deducir n = d − 1 comparando turnos que no existen.

3. El k-ésimo hijo: la fórmula decisiva

Antes del turno del k-ésimo hijo, los k − 1 anteriores ya han recibido S cada uno. De la herencia nS quedan (n − k + 1)S. Tras retirar la cantidad fija ka, quedan (n − k + 1)S − ka. El hijo recibe además 1/d de ese resto. Para que el total sea S:

S = ka + [(n − k + 1)S − ka] / d
dS = dka + (n − k + 1)S − ka
(d − n + k − 1)S = k(d − 1)a
(d − n − 1)S = k[(d − 1)a − S]

4. Por qué esta identidad lo demuestra todo

Con al menos dos hijos, la última identidad es válida tanto para k = 1 como para k = 2. Al restar las ecuaciones desaparece el lado izquierdo y obtenemos (d − 1)a − S = 0. Por tanto S = (d − 1)a. Sustituyendo, (d − n − 1)S = 0; dado que S > 0, necesariamente n = d − 1.

(d − 1)a − S = 0
S = (d − 1)a
(d − n − 1)S = 0
n = d − 1

No es solo una condición necesaria: al sustituir n = d − 1 y S = (d − 1)a en la identidad del k-ésimo hijo, ambos lados son cero para todo k desde 1 hasta n. Por tanto, cada turno da realmente la misma parte; en el último, la herencia restante coincide con la parte fija na y se agota.

5. La herencia total

La herencia E es el número de hijos multiplicado por la parte común:

E = nS
E = (d − 1)²a

6. La generalización completa

• Cantidades fijas: a, 2a, 3a, …, ka, …
• Fracción del resto: 1/d
• Número de hijos: n = d − 1
• Parte de cada hijo: S = (d − 1)a
• Herencia total: E = (d − 1)²a

El caso inicial con 1, 2, 3, … corresponde simplemente a a = 1. El parámetro d determina la estructura; a solo cambia la escala de las cantidades.

7. Ejemplos: primero el enunciado, después la fórmula

En cada ejemplo aplicamos las fórmulas generales y después seguimos concretamente el reparto, partiendo de los valores obtenidos para n, S y E.

Ejemplo 1 - a = 100, d = 10

Problema. El primer hijo recibe 100 euros y luego una décima parte del resto, el segundo 200 euros y luego una décima parte, el tercero 300 euros y luego una décima parte, y así sucesivamente. Todos reciben la misma suma y la herencia se agota. Halla el número de hijos, la parte individual y la herencia total.

n = 9, S = 900 euros, E = 8 100 euros.

Comprobación. Primero: 100 + (8 100 − 100) / 10 = 100 + 800 = 900 euros. Segundo: quedan 7 200 euros; 200 + (7 200 − 200) / 10 = 200 + 700 = 900 euros. Quinto: quedan 5 · 900 = 4 500 euros; 500 + (4 500 − 500) / 10 = 500 + 400 = 900 euros. Noveno: quedan 900 euros; 900 + (900 − 900) / 10 = 900 euros. La herencia se agota. La ley general garantiza el mismo resultado en los demás turnos.

Ejemplo 2 - a = 11, d = 10

Problema. El primer hijo recibe 11 euros y luego una décima parte del resto, el segundo 22 euros y luego una décima parte, el tercero 33 euros y luego una décima parte; en general el k-ésimo recibe 11k euros y luego una décima parte del resto. Todos reciben la misma suma. Halla n, S y E.

n = 9, S = 99 euros, E = 891 euros.

Comprobación. Primero: 11 + (891 − 11) / 10 = 11 + 88 = 99 euros. Segundo: quedan 792 euros; 22 + (792 − 22) / 10 = 22 + 77 = 99 euros. Quinto: quedan 5 · 99 = 495 euros; 55 + (495 − 55) / 10 = 55 + 44 = 99 euros. Noveno: quedan 99 euros; 99 + (99 − 99) / 10 = 99 euros. La herencia se agota también aquí. a no tiene que ser 1, 10, 100 o 1000: puede tomar cualquier valor positivo.

Ejemplo 3 - a = 13, d = 11

Problema. El primer hijo recibe 13 euros y luego un undécimo del resto, el segundo 26 euros y luego un undécimo, el tercero 39 euros y luego un undécimo; el k-ésimo recibe 13k euros y luego un undécimo. Halla n, S y E si todos reciben la misma suma y la herencia se agota.

n = 10, S = 130 euros, E = 1 300 euros.

Comprobación. Primero: 13 + (1 300 − 13) / 11 = 13 + 117 = 130 euros. Segundo: quedan 1 170 euros; 26 + (1 170 − 26) / 11 = 26 + 104 = 130 euros. Quinto: quedan 6 · 130 = 780 euros; 65 + (780 − 65) / 11 = 65 + 65 = 130 euros. Décimo: quedan 130 euros; 130 + (130 − 130) / 11 = 130 euros. La herencia se agota.

Ejemplo 4 - a = 10, d = 11

Problema. El primer hijo recibe 10 euros y luego un undécimo del resto, el segundo 20 euros y luego un undécimo, el tercero 30 euros y luego un undécimo, y así sucesivamente. Todos reciben la misma suma. ¿Cuánto vale la herencia?

n = 10, S = 100 euros, E = 1 000 euros.

Comprobación. Primero: 10 + (1 000 − 10) / 11 = 10 + 90 = 100 euros. Segundo: quedan 900 euros; 20 + (900 − 20) / 11 = 20 + 80 = 100 euros. Quinto: quedan 6 · 100 = 600 euros; 50 + (600 − 50) / 11 = 50 + 50 = 100 euros. Décimo: quedan 100 euros; 100 + (100 − 100) / 11 = 100 euros. La herencia se agota.

8. De 2010 a 2026

En 2010 la solución numérica no se consideraba el final: había que reconocer la ley subyacente. En 2026 el razonamiento se completa en dos direcciones. El comportamiento del k-ésimo hijo demuestra directamente n = d − 1 en el caso no trivial; además, la sucesión 1, 2, 3, … se convierte en a, 2a, 3a, …, es decir, ka. El denominador determina cuántos hijos hay; a determina la escala de las cantidades. La estructura esencial no cambia:

n = d − 1      S = (d − 1)a      E = (d − 1)²a

9. Observación final

Una solución numérica responde a una pregunta; una generalización explica por qué la respuesta tiene esa forma. La fórmula del k-ésimo hijo transforma una intuición en demostración, mientras que a muestra que el fenómeno no depende de la elección particular 1, 2, 3, … . Para volver al punto de partida de este recorrido, lee el artículo de 2010 sobre la herencia de Fibonacci.