De 2010 à 2026 : le problème de l’héritage généralisé

Du problème de l’héritage étudié en 2010 à sa forme générale en 2026 : trouver les nombres ne suffit pas, il faut montrer que la règle fonctionne pour chaque enfant. Cet article prolonge « La solution ne suffit pas : l’héritage de Fibonacci ».

Introduction - le problème de départ

Un père laisse un héritage à ses enfants : le premier reçoit 1 000 euros puis un dixième de ce qui reste ; le deuxième reçoit 2 000 euros puis un dixième du reste ; le troisième reçoit 3 000 euros puis un dixième du reste ; et ainsi de suite. À la fin, tous reçoivent la même somme et l’héritage est entièrement distribué. Combien y a-t-il d’enfants, combien chacun reçoit-il et quel est l’héritage total ?

Notons n le nombre d’enfants et S leur part commune. L’héritage initial vaut nS. Les conditions pour les deux premiers enfants sont :

S = 1 000 + (nS − 1 000) / 10
S = 2 000 + [(n − 1)S − 2 000] / 10
(10 − n)S = 9 000
(11 − n)S = 18 000
S = 9 000
n = 9
E = nS = 9 · 9 000 = 81 000 euros

Le système donne 9 enfants, 9 000 euros chacun et 81 000 euros au total. Mais cette solution n’utilise que les deux premiers enfants : elle trouve des valeurs nécessaires sans encore expliquer pourquoi le troisième, le quatrième et tous les suivants reçoivent réellement la même part. Il faut étudier le k-ième enfant.

1. Le point de départ

L’intérêt du problème tient à sa structure cachée : à chaque tour, un montant fixe augmente, puis on ajoute la même fraction du reste. En 2010, l’idée était déjà de dépasser le cas numérique pour chercher une loi générale. Les montants 1, 2, 3, … et la fraction 1/d suggéraient n = d − 1 et un héritage de forme quadratique. En 2026, le raisonnement est achevé : on démontre la relation pour tous les enfants et l’on remplace 1, 2, 3, … par a, 2a, 3a, …, soit ka.

2. Énoncé général

Un père laisse un héritage à n enfants. Le premier reçoit a puis 1/d de ce qui reste ; le deuxième reçoit 2a puis 1/d du reste ; le troisième reçoit 3a puis 1/d ; en général, le k-ième reçoit ka puis 1/d de ce qui reste. Tous reçoivent la même somme S et l’héritage est épuisé.

Pour le cas non trivial démontré ici, supposons a > 0, d entier supérieur à 1 et au moins deux enfants. Avec un seul enfant, l’unique part peut être égale à l’héritage initial a pour n’importe quel d : on ne peut déduire n = d − 1 en comparant des tours inexistants.

3. Le k-ième enfant : la formule décisive

Avant le tour du k-ième enfant, les k − 1 précédents ont reçu S chacun. De l’héritage nS, il reste (n − k + 1)S. Après retrait du montant fixe ka, il reste (n − k + 1)S − ka. L’enfant reçoit aussi 1/d de ce reste. Pour que le total soit S :

S = ka + [(n − k + 1)S − ka] / d
dS = dka + (n − k + 1)S − ka
(d − n + k − 1)S = k(d − 1)a
(d − n − 1)S = k[(d − 1)a − S]

4. Pourquoi cette identité démontre tout

Avec au moins deux enfants, la dernière identité est vraie pour k = 1 et pour k = 2. En soustrayant les deux équations, le membre gauche disparaît et donne (d − 1)a − S = 0. Donc S = (d − 1)a. En remplaçant, (d − n − 1)S = 0 ; comme S > 0, nécessairement n = d − 1.

(d − 1)a − S = 0
S = (d − 1)a
(d − n − 1)S = 0
n = d − 1

Ce n’est pas seulement une condition nécessaire : en remplaçant n = d − 1 et S = (d − 1)a dans l’identité du k-ième enfant, les deux membres valent zéro pour chaque k de 1 à n. Chaque tour donne donc réellement la même part ; au dernier tour, l’héritage restant est égal à la part fixe na et s’épuise.

5. L’héritage total

L’héritage E est le produit du nombre d’enfants par leur part commune :

E = nS
E = (d − 1)²a

6. La généralisation complète

• Montants fixes : a, 2a, 3a, …, ka, …
• Fraction du reste : 1/d
• Nombre d’enfants : n = d − 1
• Part de chaque enfant : S = (d − 1)a
• Héritage total : E = (d − 1)²a

Le cas initial avec 1, 2, 3, … correspond simplement à a = 1. Le paramètre d détermine la structure ; a ne change que l’échelle des sommes.

7. Exemples : d’abord l’énoncé, puis la formule

Dans chaque exemple, nous appliquons les formules générales, puis nous retraçons concrètement la distribution en partant des valeurs trouvées pour n, S et E.

Exemple 1 - a = 100, d = 10

Problème. Le premier enfant reçoit 100 euros puis un dixième du reste, le deuxième 200 euros puis un dixième, le troisième 300 euros puis un dixième, et ainsi de suite. Tous reçoivent la même somme et l’héritage est épuisé. Trouver le nombre d’enfants, la part de chacun et l’héritage total.

n = 9, S = 900 euros, E = 8 100 euros.

Vérification. Premier : 100 + (8 100 − 100) / 10 = 100 + 800 = 900 euros. Deuxième : il reste 7 200 euros ; 200 + (7 200 − 200) / 10 = 200 + 700 = 900 euros. Cinquième : il reste 5 · 900 = 4 500 euros ; 500 + (4 500 − 500) / 10 = 500 + 400 = 900 euros. Neuvième : il reste 900 euros ; 900 + (900 − 900) / 10 = 900 euros. L’héritage est épuisé. La loi générale garantit le même résultat aux autres tours.

Exemple 2 - a = 11, d = 10

Problème. Le premier enfant reçoit 11 euros puis un dixième du reste, le deuxième 22 euros puis un dixième, le troisième 33 euros puis un dixième ; en général, le k-ième reçoit 11k euros puis un dixième du reste. Tous reçoivent la même somme. Trouver n, S et E.

n = 9, S = 99 euros, E = 891 euros.

Vérification. Premier : 11 + (891 − 11) / 10 = 11 + 88 = 99 euros. Deuxième : il reste 792 euros ; 22 + (792 − 22) / 10 = 22 + 77 = 99 euros. Cinquième : il reste 5 · 99 = 495 euros ; 55 + (495 − 55) / 10 = 55 + 44 = 99 euros. Neuvième : il reste 99 euros ; 99 + (99 − 99) / 10 = 99 euros. L’héritage est épuisé. a n’a pas besoin d’être 1, 10, 100 ou 1000 : toute valeur positive convient.

Exemple 3 - a = 13, d = 11

Problème. Le premier enfant reçoit 13 euros puis un onzième du reste, le deuxième 26 euros puis un onzième, le troisième 39 euros puis un onzième ; le k-ième reçoit 13k euros puis un onzième. Trouver n, S et E si tous reçoivent la même somme et si l’héritage est épuisé.

n = 10, S = 130 euros, E = 1 300 euros.

Vérification. Premier : 13 + (1 300 − 13) / 11 = 13 + 117 = 130 euros. Deuxième : il reste 1 170 euros ; 26 + (1 170 − 26) / 11 = 26 + 104 = 130 euros. Cinquième : il reste 6 · 130 = 780 euros ; 65 + (780 − 65) / 11 = 65 + 65 = 130 euros. Dixième : il reste 130 euros ; 130 + (130 − 130) / 11 = 130 euros. L’héritage est épuisé.

Exemple 4 - a = 10, d = 11

Problème. Le premier enfant reçoit 10 euros puis un onzième du reste, le deuxième 20 euros puis un onzième, le troisième 30 euros puis un onzième, et ainsi de suite. Tous reçoivent la même somme. Quel est l’héritage ?

n = 10, S = 100 euros, E = 1 000 euros.

Vérification. Premier : 10 + (1 000 − 10) / 11 = 10 + 90 = 100 euros. Deuxième : il reste 900 euros ; 20 + (900 − 20) / 11 = 20 + 80 = 100 euros. Cinquième : il reste 6 · 100 = 600 euros ; 50 + (600 − 50) / 11 = 50 + 50 = 100 euros. Dixième : il reste 100 euros ; 100 + (100 − 100) / 11 = 100 euros. L’héritage est épuisé.

8. De 2010 à 2026

En 2010, la solution numérique n’était pas un point d’arrivée : il fallait reconnaître la loi sous-jacente. En 2026, le raisonnement s’achève dans deux directions. Le comportement du k-ième enfant démontre directement n = d − 1 dans le cas non trivial ; et la suite 1, 2, 3, … devient a, 2a, 3a, …, soit ka. Le dénominateur détermine le nombre d’enfants ; a détermine l’échelle des sommes. La structure essentielle ne change pas :

n = d − 1      S = (d − 1)a      E = (d − 1)²a

9. Observation finale

Une solution numérique répond à une question ; une généralisation montre pourquoi la réponse prend cette forme. La formule du k-ième enfant transforme une intuition en démonstration, tandis que a montre que le phénomène ne dépend pas du choix particulier 1, 2, 3, … . Pour retrouver le point de départ de ce parcours, lisez l’article de 2010 sur l’héritage de Fibonacci.