Dal 2010 al 2026: l’eredità in forma generalizzata

Dal problema dell’eredità discusso nel 2010 alla sua forma generale nel 2026: non basta trovare i numeri, bisogna dimostrare che la regola funziona per ogni figlio. Questo articolo prosegue «La soluzione non basta: l’eredità di Fibonacci».

Introduzione - il problema di partenza

Un padre lascia ai propri figli una certa eredità: il primo riceve 1 000 euro e poi un decimo di ciò che rimane; il secondo 2 000 euro e poi un decimo del resto; il terzo 3 000 euro e poi un decimo del resto; e così via. Alla fine tutti ricevono la stessa somma e l’eredità è interamente distribuita. Quanti sono i figli, quanto riceve ciascuno e qual è l’eredità totale?

Indichiamo con n il numero dei figli e con S la quota comune. L’eredità iniziale è nS. Le condizioni per i primi due figli sono:

S = 1 000 + (nS − 1 000) / 10
S = 2 000 + [(n − 1)S − 2 000] / 10
(10 − n)S = 9 000
(11 − n)S = 18 000
S = 9 000
n = 9
E = nS = 9 · 9 000 = 81 000 euro

Il sistema dà 9 figli, 9 000 euro ciascuno e 81 000 euro complessivi. Ma questa soluzione usa solo i primi due figli: determina valori necessari, senza ancora spiegare perché il terzo, il quarto e tutti i successivi ricevano davvero la stessa somma. Occorre studiare il k-esimo figlio.

1. Il punto di partenza

Il problema è interessante per la struttura che nasconde: a ogni turno una quota fissa cresce, poi si aggiunge la stessa frazione di ciò che rimane. Nel 2010 l’idea era già di non fermarsi al caso numerico, ma cercare una legge generale. Le quote 1, 2, 3, … e la frazione 1/d suggerivano n = d − 1 e un’eredità quadratica. Nel 2026 si completa il percorso: si dimostra la relazione per tutti i figli e si sostituiscono le quote 1, 2, 3, … con a, 2a, 3a, …, ossia ka.

2. Enunciato generale

Un padre lascia un’eredità a n figli. Il primo riceve a e poi 1/d di ciò che rimane; il secondo 2a e poi 1/d del resto; il terzo 3a e poi 1/d del resto; in generale, il k-esimo riceve ka e poi 1/d di ciò che rimane. Tutti ricevono la stessa somma S e l’eredità viene esaurita.

Per il caso non banale qui dimostrato assumiamo a > 0, d intero maggiore di 1 e almeno due figli. Se c’è un solo figlio, l’unica quota può coincidere con l’eredità iniziale a per qualunque d: non si può dedurre n = d − 1 confrontando turni che non esistono.

3. Il k-esimo figlio: la formula decisiva

Prima del turno del k-esimo figlio, i precedenti k − 1 hanno già ricevuto S ciascuno. Dell’eredità nS rimane (n − k + 1)S. Tolta la quota fissa ka, resta (n − k + 1)S − ka. Il figlio riceve anche 1/d di questo resto. Affinché il totale sia S:

S = ka + [(n − k + 1)S − ka] / d
dS = dka + (n − k + 1)S − ka
(d − n + k − 1)S = k(d − 1)a
(d − n − 1)S = k[(d − 1)a − S]

4. Perché questa identità dimostra tutto

Con almeno due figli, l’ultima identità vale sia per k = 1 sia per k = 2. Sottraendole, il membro sinistro scompare e otteniamo (d − 1)a − S = 0. Pertanto S = (d − 1)a. Sostituendo, (d − n − 1)S = 0; poiché S > 0, necessariamente n = d − 1.

(d − 1)a − S = 0
S = (d − 1)a
(d − n − 1)S = 0
n = d − 1

La dimostrazione non si ferma alla necessità: sostituendo n = d − 1 e S = (d − 1)a nell’identità del k-esimo figlio, entrambi i membri sono zero per ogni k da 1 a n. Quindi ogni turno dà davvero la stessa quota; al turno finale, l’eredità rimanente coincide con la quota fissa na e viene esaurita.

5. L’eredità totale

L’eredità E è il prodotto del numero dei figli per la quota comune:

E = nS
E = (d − 1)²a

6. La generalizzazione completa

• Quote fisse: a, 2a, 3a, …, ka, …
• Frazione del resto: 1/d
• Numero dei figli: n = d − 1
• Quota di ciascun figlio: S = (d − 1)a
• Eredità totale: E = (d − 1)²a

Il caso originario con 1, 2, 3, … corrisponde ad a = 1. Il parametro d governa la struttura; a cambia soltanto la scala delle somme.

7. Esempi: prima l’enunciato, poi la formula

In ogni esempio applichiamo le formule generali e poi ripercorriamo concretamente la distribuzione, partendo dai valori trovati di n, S ed E.

Esempio 1 - a = 100, d = 10

Problema. Il primo figlio riceve 100 euro e poi un decimo del resto, il secondo 200 euro e poi un decimo, il terzo 300 euro e poi un decimo, e così via. Tutti ricevono la stessa somma e l’eredità è esaurita. Trovare il numero di figli, la quota individuale e l’eredità totale.

n = 9, S = 900 euro, E = 8 100 euro.

Verifica. Primo figlio: 100 + (8 100 − 100) / 10 = 100 + 800 = 900 euro. Secondo: restano 7 200 euro; 200 + (7 200 − 200) / 10 = 200 + 700 = 900 euro. Quinto: restano 5 · 900 = 4 500 euro; 500 + (4 500 − 500) / 10 = 500 + 400 = 900 euro. Nono: restano 900 euro; 900 + (900 − 900) / 10 = 900 euro. L’eredità è esaurita. La legge generale garantisce lo stesso risultato anche per gli altri turni.

Esempio 2 - a = 11, d = 10

Problema. Il primo figlio riceve 11 euro e poi un decimo del resto, il secondo 22 euro e poi un decimo, il terzo 33 euro e poi un decimo; in generale il k-esimo riceve 11k euro e poi un decimo del resto. Tutti ricevono la stessa somma. Trovare n, S ed E.

n = 9, S = 99 euro, E = 891 euro.

Verifica. Primo: 11 + (891 − 11) / 10 = 11 + 88 = 99 euro. Secondo: restano 792 euro; 22 + (792 − 22) / 10 = 22 + 77 = 99 euro. Quinto: restano 5 · 99 = 495 euro; 55 + (495 − 55) / 10 = 55 + 44 = 99 euro. Nono: restano 99 euro; 99 + (99 − 99) / 10 = 99 euro. Anche qui l’eredità è esaurita. a non deve essere 1, 10, 100 o 1000: può essere qualunque valore positivo.

Esempio 3 - a = 13, d = 11

Problema. Il primo figlio riceve 13 euro e poi un undicesimo del resto, il secondo 26 euro e poi un undicesimo, il terzo 39 euro e poi un undicesimo; il k-esimo riceve 13k euro e poi un undicesimo. Trovare n, S ed E quando tutti ricevono la stessa somma e l’eredità è esaurita.

n = 10, S = 130 euro, E = 1 300 euro.

Verifica. Primo: 13 + (1 300 − 13) / 11 = 13 + 117 = 130 euro. Secondo: restano 1 170 euro; 26 + (1 170 − 26) / 11 = 26 + 104 = 130 euro. Quinto: restano 6 · 130 = 780 euro; 65 + (780 − 65) / 11 = 65 + 65 = 130 euro. Decimo: restano 130 euro; 130 + (130 − 130) / 11 = 130 euro. L’eredità è esaurita.

Esempio 4 - a = 10, d = 11

Problema. Il primo figlio riceve 10 euro e poi un undicesimo del resto, il secondo 20 euro e poi un undicesimo, il terzo 30 euro e poi un undicesimo, e così via. Tutti ricevono la stessa somma. Quanto vale l’eredità?

n = 10, S = 100 euro, E = 1 000 euro.

Verifica. Primo: 10 + (1 000 − 10) / 11 = 10 + 90 = 100 euro. Secondo: restano 900 euro; 20 + (900 − 20) / 11 = 20 + 80 = 100 euro. Quinto: restano 6 · 100 = 600 euro; 50 + (600 − 50) / 11 = 50 + 50 = 100 euro. Decimo: restano 100 euro; 100 + (100 − 100) / 11 = 100 euro. L’eredità è esaurita.

8. Dal 2010 al 2026

Nel 2010 la soluzione numerica non era considerata un punto d’arrivo: bisognava riconoscere la legge nascosta. Nel 2026 il percorso si completa in due direzioni. Il comportamento del k-esimo figlio dimostra direttamente n = d − 1 nel caso non banale; inoltre la successione 1, 2, 3, … diventa a, 2a, 3a, …, cioè ka. Il denominatore determina il numero dei figli; a determina la scala delle somme. La struttura rimane invariata:

n = d − 1      S = (d − 1)a      E = (d − 1)²a

9. Osservazione finale

Una soluzione numerica risponde a una domanda; una generalizzazione mostra perché la risposta ha quella forma. La formula del k-esimo figlio trasforma un’intuizione in dimostrazione, mentre a mostra che il fenomeno non dipende dalla scelta particolare 1, 2, 3, … . Per ritrovare il problema da cui nasce questo percorso, leggi l’articolo del 2010 sull’eredità di Fibonacci.