Índice
- Una fracción es un número
- Fracción de un total: dividir y después multiplicar
- Fracción de fracción: elegir dentro de una elección
- Reconstruir el total a partir de una fracción
- Antes de los problemas: elegir la operación con sentido
- 25 problemas: de nivel medio a difícil
Una fracción es un número
Una fracción no es solo un trozo de tarta: 3/8 es el número obtenido al dividir 3 entre 8. Aplicado a una cantidad, actúa como multiplicador. El denominador indica en cuántas partes iguales dividir la unidad; el numerador, cuántas tomar. Por ejemplo, 3/2 es mayor que 1: una fracción no tiene por qué ser menor que la unidad.
Las partes deben ser iguales y el total de referencia debe estar claro. 1/2 es siempre el mismo número, pero la mitad de 20 y la mitad de 80 son cantidades distintas. Las fracciones equivalentes representan el mismo número: 1/2 = 2/4 = 3/6. Aquí usaremos denominadores positivos.
Fracción de un total: dividir y después multiplicar
¿Cuánto son 3/8 de 48? Dividimos 48 en 8 partes iguales: cada una vale 6. Tomamos 3 y obtenemos 18. No dividimos entre 3: el denominador 8 define el reparto.
48 ÷ 8 = 6; 6 × 3 = 18
| ● 6 | ● 6 | ● 6 | ○ 6 | ○ 6 | ○ 6 | ○ 6 | ○ 6 |
Los tres símbolos llenos representan las partes tomadas; los cinco vacíos, las demás. Todas las casillas suman 48.
En general, a/b de N se calcula como N × a/b. Dividir primero o multiplicar primero no cambia el resultado, siempre que no se redondeen valores intermedios.
Fracción de fracción: elegir dentro de una elección
Tomamos 2/3 de un rectángulo y después 3/4 de esa parte. El rectángulo tiene 3 columnas y 4 filas: 12 celdas iguales. Las dos primeras columnas son los 2/3 iniciales, es decir, 8 celdas. Tres cuartos de esas 8 celdas son 6 celdas.
| ● | ● | — |
| ● | ● | — |
| ● | ● | — |
| ○ | ○ | — |
(3/4) × (2/3) = 6/12 = 1/2
● = celdas elegidas al final; ○ = celdas de la primera elección no conservadas; — = celdas fuera de la primera elección. La región final contiene 6 de las 12 celdas del rectángulo completo.
Multiplicamos numeradores y denominadores: (a/b) × (c/d) = (a × c)/(b × d). Atención a la palabra «resto»: primero hay que calcularlo. Quitar 2/3 de 3/4 deja (1/3) × (3/4) = 1/4, no 1 − 2/3 − 3/4.
Reconstruir el total a partir de una fracción
Los 3/5 de una cantidad valen 27. Tres partes valen 27; una vale 27/3 = 9. El total tiene 5 partes: 9 × 5 = 45. Esta vez dividimos entre el numerador, porque ya conocemos el valor de tres partes.
| ● 9 | ● 9 | ● 9 | ○ 9 | ○ 9 |
27 ÷ 3 = 9; 9 × 5 = 45
Las tres primeras partes suman 27; las cinco suman 45. Comprobamos calculando de nuevo 3/5 de 45 = 27.
En general, si a/b de N vale P, entonces N = P ÷ (a/b) = P × b/a, con a distinto de cero. Multiplicar otra vez P por a/b reduciría la parte conocida en vez de reconstruir el total.
Antes de los problemas: elegir la operación con sentido
Las fracciones del mismo total se suman tras llevarlas a un denominador común: 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12. Si una fracción se aplica a otra cantidad fraccionaria, se multiplica. Si se conoce una parte y se busca el total, se divide entre la fracción.
En cada problema identifica el total, anota a qué cantidad se refiere cada fracción, escribe lo que queda y comprueba el resultado en el enunciado original. Algunos ejercicios consolidan las bases; otros combinan varios pasos o un cambio del total. Las pistas y soluciones están cerradas inicialmente: ábrelas cuando las necesites.
25 problemas: de nivel medio a difícil
- La biblioteca
- El nivel del depósito
- Dos gastos sucesivos
- Un libro en tres días
- La clase y la música
- La última etapa
- El huerto dentro del terreno
- Dos cantidades, un total
- El trasvase que iguala
- El ahorro del sueldo
- Ausencias y salidas anticipadas
- Adaptar una receta
- Dos cortes del mismo rollo
- Dos descuentos, no una suma
- ¿Aumento y reducción iguales?
- Diluir dos veces
- Dos personas trabajando
- El grifo y la fuga
- El número oculto
- Una razón y una diferencia
- Las pizzas de la fiesta
- Tres colores en la urna
- Añadir también cambia el total
- Reconstruir las donaciones
- Cuatro partes sucesivas
1. La biblioteca
En una biblioteca, 3/8 de los libros son novelas. Los ensayos son 2/5 de los libros restantes. Los otros 84 libros son manuales. ¿Cuántos libros hay en total y en cada grupo?
Pista
Los 2/5 se refieren a los libros que no son novelas, no al total.
Solución paso a paso
Tras las novelas quedan 5/8 del total. Los ensayos ocupan (2/5) × (5/8) = 1/4 del total. Los manuales son 1 − 3/8 − 1/4 = 3/8. Si 3/8 valen 84, el total es 84 × 8/3 = 224 libros: 84 novelas, 56 ensayos y 84 manuales. Comprobación: 84 + 56 + 84 = 224.
2. El nivel del depósito
Un depósito está lleno en 2/3. Se retira 1/4 del agua presente y después se añaden 18 litros. Ahora está lleno en 4/5. ¿Cuál es su capacidad?
Pista
Tras retirar agua quedan 3/4 de los 2/3 iniciales.
Solución paso a paso
El agua restante ocupa (3/4) × (2/3) = 1/2 del depósito. Los 18 litros añadidos representan 4/5 − 1/2 = 3/10 de la capacidad. La capacidad es 18 × 10/3 = 60 litros. Comprobación: inicialmente 40 litros; se retiran 10 y se añaden 18: 48 litros, los 4/5 de 60.
3. Dos gastos sucesivos
Ana gasta 1/3 de su dinero y después 2/5 de lo que le queda. Al final tiene 18 euros. ¿Cuánto tenía al principio?
Pista
Multiplica las fracciones que quedan o recorre los pasos al revés.
Solución paso a paso
Tras el primer gasto quedan 2/3; después, 3/5 de esa cantidad: (3/5) × (2/3) = 2/5 del dinero inicial. El total es 18 × 5/2 = 45 euros. Hacia atrás: 18 son 3/5 de 30; 30 son 2/3 de 45. Los gastos son 15 y 12 euros: 45 − 15 − 12 = 18.
4. Un libro en tres días
El primer día Lucas lee 2/7 de un libro; el segundo, 3/5 de las páginas restantes. El tercero lee las últimas 48 páginas. ¿Cuántas páginas tiene el libro y cuántas lee cada día?
Pista
El segundo día no lee 3/5 del libro entero.
Solución paso a paso
Tras el primer día quedan 5/7. El segundo lee (3/5) × (5/7) = 3/7 del libro. Quedan 2/7, equivalentes a 48 páginas. El libro tiene 48 × 7/2 = 168 páginas. Lee 48, 72 y 48 páginas; suman 168.
5. La clase y la música
En una clase, 3/5 del alumnado son chicas. Exactamente 2/3 de las chicas estudian música: son 12. ¿Cuántos alumnos en total y cuántas chicas hay?
Pista
Reconstruye primero el grupo de chicas y después la clase.
Solución paso a paso
Las 12 músicas son 2/3 de las chicas: hay 12 × 3/2 = 18 chicas. Estas 18 son 3/5 de la clase: hay 18 × 5/3 = 30 alumnos. Directamente, las chicas que estudian música son (2/3) × (3/5) = 2/5 de la clase; 12 × 5/2 = 30.
6. La última etapa
Un excursionista recorre 1/4 del trayecto y después 2/3 de lo que quedaba. Aún le faltan 18 km. ¿Cuánto mide el recorrido completo?
Pista
Tras la segunda etapa queda 1/3 de los 3/4 que quedaban antes.
Solución paso a paso
La fracción pendiente es (1/3) × (3/4) = 1/4. El recorrido mide 18 × 4 = 72 km. Primera etapa: 18 km; quedan 54. Segunda etapa: 36 km. Comprobación: 18 + 36 + 18 = 72.
7. El huerto dentro del terreno
Se cultivan 3/4 de un terreno. Los 2/5 de la parte cultivada forman un huerto de 180 m². ¿Cuánto miden el terreno completo y la parte cultivada?
Pista
El huerto es una fracción de otra fracción.
Solución paso a paso
El huerto ocupa (2/5) × (3/4) = 3/10 del terreno. El terreno mide 180 × 10/3 = 600 m²; la parte cultivada mide (3/4) × 600 = 450 m². Comprobación: 2/5 de 450 son 180.
8. Dos cantidades, un total
La caja A contiene 3/7 de las manzanas de la caja B. Hay 100 manzanas en total. ¿Cuántas contiene cada caja?
Pista
Representa A con 3 partes y B con 7 partes iguales.
Solución paso a paso
Juntas representan 3 + 7 = 10 partes iguales. Cada parte vale 100/10 = 10 manzanas. A contiene 30 y B 70. Comprobación: 30/70 = 3/7. A contiene 3/10 del total, no 3/7 del total.
9. El trasvase que iguala
El saco A contiene 2/3 de la harina del saco B. Al pasar 8 kg de B a A, ambos contienen lo mismo. ¿Cuánta harina tenía inicialmente cada saco?
Pista
El trasvase reduce la diferencia en 16 kg, no en 8.
Solución paso a paso
A gana 8 kg mientras B pierde 8: la diferencia inicial era 16 kg. Respecto al contenido de B, la diferencia es 1 − 2/3 = 1/3. B contenía 16 × 3 = 48 kg y A 32 kg. Después ambos contienen 40 kg.
10. El ahorro del sueldo
Una persona gasta 3/8 del sueldo en alquiler y 1/4 del sueldo en comida. Ahorra 1/5 de lo que queda, equivalente a 90 euros. ¿Cuál es el sueldo y cuánto queda disponible después del ahorro?
Pista
Alquiler y comida se refieren al mismo total; el ahorro no.
Solución paso a paso
Los primeros gastos suman 3/8 + 1/4 = 5/8. Quedan 3/8 del sueldo. El ahorro es (1/5) × (3/8) = 3/40 del sueldo: el sueldo es 90 × 40/3 = 1.200 euros. Tras alquiler y comida quedan 450 euros; después de ahorrar 90, quedan disponibles 360.
11. Ausencias y salidas anticipadas
Falta 1/6 del alumnado matriculado en una clase. Después sale antes 1/4 de los presentes. Quedan 30 alumnos en el aula. ¿Cuántos están matriculados, cuántos faltaban y cuántos salieron?
Pista
La segunda fracción se aplica a los presentes, es decir, a 5/6 del total.
Solución paso a paso
Quedan (3/4) × (5/6) = 5/8 del alumnado. Hay 30 × 8/5 = 48 matriculados. Faltaban 8, había 40 presentes y salieron 10. Comprobación: 48 − 8 − 10 = 30.
12. Adaptar una receta
Para 6 raciones se necesitan 3/4 kg de harina, en proporción constante. ¿Cuánta harina hace falta para 10 raciones? Con 9/8 kg, ¿cuántas raciones enteras se pueden preparar?
Pista
Calcula primero la harina para una ración.
Solución paso a paso
Una ración necesita (3/4)/6 = 1/8 kg. Diez raciones necesitan 10/8 = 5/4 kg. Con 9/8 kg se preparan (9/8)/(1/8) = 9 raciones enteras. Para llegar a 10 falta 1/8 kg; no se redondea 9/8 a 5/4.
13. Dos cortes del mismo rollo
Se cortan primero 3/5 de la longitud inicial de un rollo y después 2/7 de su longitud inicial. Quedan 12 metros. ¿Cuánto medía el rollo?
Pista
Ambas fracciones se refieren a la longitud inicial: se suman.
Solución paso a paso
Se corta 3/5 + 2/7 = 21/35 + 10/35 = 31/35. Quedan 4/35, equivalentes a 12 metros. El rollo medía 12 × 35/4 = 105 metros. Los cortes son 63 y 30 metros; 105 − 63 − 30 = 12. Si el segundo corte fuera 2/7 del resto, sería otro problema.
14. Dos descuentos, no una suma
Un producto se rebaja en 1/5 de su precio inicial. Sobre el nuevo precio se aplica otro descuento de 1/4. Se pagan 72 euros. ¿Cuál era el precio y qué fracción se ha descontado en total?
Pista
Multiplica las fracciones del precio que se conservan.
Solución paso a paso
El precio final es (4/5) × (3/4) = 3/5 del inicial. El precio inicial era 72 × 5/3 = 120 euros. El descuento total es 1 − 3/5 = 2/5, o 48 euros. Comprobación: 120 − 24 = 96; después 96 − 24 = 72. No se suman 1/5 y 1/4: sus bases son distintas.
15. ¿Aumento y reducción iguales?
Un precio aumenta en 1/4 y después disminuye en 1/4 del precio aumentado, quedando en 90 euros. ¿Cuál era el precio inicial? ¿Se ha vuelto al valor de partida?
Pista
Los factores son 5/4 y 3/4.
Solución paso a paso
El factor conjunto es (5/4) × (3/4) = 15/16. El precio inicial era 90 × 16/15 = 96 euros. Sube a 120 y después baja 30 hasta 90. La pérdida es 6 euros, es decir, 1/16 de 96. Aumentar y disminuir la misma fracción no se anula cuando cambia la base.
16. Diluir dos veces
Un recipiente contiene 30 litros de zumo puro. Se retira 1/3 del contenido y se repone con agua hasta 30 litros. Se mezcla perfectamente y se repite una vez. ¿Cuántos litros del zumo original quedan? Supón volúmenes aditivos.
Pista
Cada vez se conserva 2/3 del zumo presente en ese momento.
Solución paso a paso
Tras la primera operación quedan 30 × 2/3 = 20 litros de zumo. Como la mezcla es uniforme, retirar 1/3 elimina también 1/3 del zumo presente. Quedan 20 × 2/3 = 40/3 litros, o 13 y 1/3. La fracción conservada es (2/3)² = 4/9. Hay 30 − 40/3 = 50/3 litros de agua.
17. Dos personas trabajando
A termina un trabajo en 6 horas y B en 8 horas. Trabajan juntos a ritmos constantes que se suman sin interferencias. ¿Cuánto tiempo necesitan?
Pista
Suma las fracciones de trabajo realizadas en una hora, no los tiempos.
Solución paso a paso
En una hora A realiza 1/6 del trabajo y B 1/8. Juntos hacen 1/6 + 1/8 = 7/24 por hora. Un trabajo completo requiere 1/(7/24) = 24/7 horas, o 3 y 3/7 horas. Es menos de 6 horas, como debe ser. Comprobación: (24/7) × (7/24) = 1 trabajo.
18. El grifo y la fuga
Un grifo llenaría un depósito vacío en 6 horas. Una fuga vaciaría el depósito lleno en 15 horas. Ambos caudales son constantes e independientes del nivel. ¿Cuánto tarda en llenarse el depósito inicialmente vacío con ambos activos?
Pista
Resta la contribución de la fuga.
Solución paso a paso
Cada hora entra 1/6 de la capacidad y sale 1/15. El incremento neto es 1/6 − 1/15 = 1/10 de la capacidad por hora. Se necesitan 10 horas. Comprobación: en 10 horas entran 5/3 de la capacidad y salen 2/3; queda una capacidad completa. El modelo exige caudales constantes.
19. El número oculto
La mitad de un número positivo, sumada a un tercio del mismo número, da 35. Halla el número sin plantear una ecuación con incógnita.
Pista
Ambas partes son fracciones del mismo total.
Solución paso a paso
La suma es 1/2 + 1/3 = 5/6 del número. Si cinco sextos valen 35, un sexto vale 7 y seis sextos valen 42. Comprobación: la mitad de 42 es 21, su tercio es 14 y 21 + 14 = 35.
20. Una razón y una diferencia
Dos cantidades positivas cumplen A = (2/5) × B. Su diferencia es 27. Encuéntralas sin usar una ecuación.
Pista
Entre 5 partes y 2 partes hay 3 partes de diferencia.
Solución paso a paso
B representa 5 partes iguales y A representa 2. Tres partes valen 27, así que una vale 9. A vale 18 y B vale 45. Comprobación: 18/45 = 2/5 y 45 − 18 = 27.
21. Las pizzas de la fiesta
En una fiesta, 3/8 de los invitados comen media pizza cada uno. Todos los demás comen 2/5 de pizza cada uno. Las pizzas son idénticas y se consumen exactamente 21. ¿Cuántos invitados hay?
Pista
Considera un grupo representativo de 8 invitados.
Solución paso a paso
De cada 8 invitados, 3 comen 3/2 pizzas en total y los otros 5 comen 5 × 2/5 = 2 pizzas. Cada grupo consume 7/2 pizzas. Veintiuna pizzas corresponden a 21/(7/2) = 6 grupos: 48 invitados. Comprobación: 18 personas comen 9 pizzas y 30 comen 12; 9 + 12 = 21.
22. Tres colores en la urna
En una urna, 2/5 de las bolas son rojas, 1/3 azules y las demás verdes. Hay 16 verdes. ¿Cuántas bolas hay de cada color?
Pista
Las fracciones de los tres colores deben sumar 1.
Solución paso a paso
Rojas y azules son 2/5 + 1/3 = 11/15 del total. Las verdes son 4/15: el total es 16 × 15/4 = 60. Hay 24 rojas, 20 azules y 16 verdes. Comprobación: 24 + 20 + 16 = 60, con las proporciones indicadas.
23. Añadir también cambia el total
En una urna, 2/5 de las bolas son rojas. Se añaden 12 bolas rojas sin quitar ninguna, y ahora las rojas son la mitad del total. ¿Cuántas bolas había inicialmente?
Pista
Después de añadirlas, hay tantas rojas como no rojas.
Solución paso a paso
Inicialmente hay 3/5 no rojas y 2/5 rojas: la diferencia es 1/5 del total inicial. Añadir 12 rojas elimina esa diferencia: 1/5 vale 12 y el total inicial es 60. Había 24 rojas y 36 no rojas; después hay 36 de cada tipo, 72 en total.
24. Reconstruir las donaciones
Marta dona la mitad de su dinero más 2 euros. Después dona un tercio del dinero restante más 3 euros. Al final le quedan 7 euros. ¿Cuánto tenía inicialmente?
Pista
Invierte la última operación: deshaz primero los 3 euros adicionales y después la retirada de un tercio.
Solución paso a paso
Antes de los 3 euros adicionales quedaban 7 + 3 = 10 euros, los 2/3 del dinero posterior a la primera donación. Ese dinero era 10 × 3/2 = 15 euros. Antes de los 2 euros adicionales de la primera donación quedaban 17, la mitad inicial: tenía 34 euros. Comprobación: dona 17 + 2 = 19, quedan 15; dona 5 + 3 = 8, quedan 7.
25. Cuatro partes sucesivas
Un fondo se reparte así: A recibe 1/3 del total; B, 1/4 de lo que queda; C, 2/5 del nuevo resto; D recibe los últimos 90 euros. ¿Cuánto vale el fondo y cuánto recibe cada uno?
Pista
La parte de D es el producto de tres fracciones restantes.
Solución paso a paso
Tras A quedan 2/3; tras B, (3/4) × (2/3) = 1/2 del fondo; tras C, (3/5) × (1/2) = 3/10. El fondo vale 90 × 10/3 = 300 euros. A recibe 100; B, 1/4 de 200, o 50; C, 2/5 de 150, o 60; D recibe 90. Comprobación: 100 + 50 + 60 + 90 = 300.
Continúa con una propiedad sorprendente de las fracciones: Sumas y productos telescópicos con fracciones.