Sumas y productos telescópicos: las fracciones que se cancelan

Una suma de fracciones puede parecer larga y laboriosa. A veces, en vez de calcular cada término por separado, basta con cambiar la representación: las partes intermedias se eliminan y quedan únicamente los extremos. Lo mismo puede suceder en un producto. Este es el principio de las expresiones telescópicas.

1. La idea fundamental

Una suma es telescópica cuando, tras una descomposición adecuada, casi todos sus sumandos se cancelan por parejas. Buscamos términos consecutivos con signos opuestos. La descomposición más importante es 1/[k(k+1)] = 1/k − 1/(k+1), porque 1/k − 1/(k+1) = [(k+1)−k]/[k(k+1)] = 1/[k(k+1)].

Ejemplo 1 — La primera cadena

Calculemos 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20. Los denominadores son 1·2, 2·3, 3·4, 4·5. Por tanto, la suma se convierte en (1−1/2) + (1/2−1/3) + (1/3−1/4) + (1/4−1/5). El −1/2 se cancela con el +1/2, después −1/3 con +1/3 y −1/4 con +1/4. Queda 1−1/5 = 4/5.

Para n términos, Σ(k=1…n) 1/[k(k+1)] = 1 − 1/(n+1) = n/(n+1).

2. Salto de dos: denominadores k(k+2)

Cuando el segundo factor es k+2, la misma idea funciona con el coeficiente 1/2: 1/[k(k+2)] = (1/2)·[1/k − 1/(k+2)].

Ejemplo 2

1/(1·3) + 1/(3·5) + 1/(5·7) + 1/(7·9) se convierte en (1/2)[(1−1/3) + (1/3−1/5) + (1/5−1/7) + (1/7−1/9)]. Los términos intermedios desaparecen y queda (1/2)(1−1/9) = (1/2)(8/9) = 4/9.

La fórmula general para un salto a

Para a ≠ 0, siempre que los denominadores no sean nulos, 1/[k(k+a)] = (1/a)·[1/k − 1/(k+a)]. Esta identidad es una máquina para construir sumas telescópicas. Sin embargo, hay que comprobar que los índices elegidos enlazan cada término con el siguiente.

Ejemplo 3 — Salto de tres

1/(1·4) + 1/(4·7) + 1/(7·10) se transforma en (1/3)[(1−1/4) + (1/4−1/7) + (1/7−1/10)] = (1/3)(1−1/10) = 3/10.

3. Expresiones telescópicas con raíces

Las sumas con raíces suelen hacerse telescópicas después de racionalizar. La identidad clave es 1/[√(k+1)+√k] = √(k+1)−√k. En efecto, al multiplicar numerador y denominador por √(k+1)−√k, el denominador se convierte en (k+1)−k=1.

Ejemplo 4

1/(1+√2) + 1/(√2+√3) + 1/(√3+2) se reescribe como (√2−1) + (√3−√2) + (2−√3). Las raíces intermedias se cancelan y queda 2−1=1.

Ejemplo 5 — Forma general

Σ(k=1…n) 1/[√k+√(k+1)] se convierte en (√2−1)+(√3−√2)+⋯+(√(n+1)−√n). Por tanto, Σ(k=1…n) 1/[√k+√(k+1)] = √(n+1)−1.

4. Tres factores consecutivos

Tres factores consecutivos permiten otra descomposición útil: 1/[k(k+1)(k+2)] = (1/2)·{1/[k(k+1)] − 1/[(k+1)(k+2)]}.

Ejemplo 6

Calculemos 1/(1·2·3) + 1/(2·3·4) + 1/(3·4·5). Al sustituir obtenemos (1/2)[1/(1·2)−1/(2·3)] + (1/2)[1/(2·3)−1/(3·4)] + (1/2)[1/(3·4)−1/(4·5)]. Los términos centrales se cancelan y queda (1/2)[1/2−1/20] = (1/2)(9/20) = 9/40.

En general, Σ(k=1…n) 1/[k(k+1)(k+2)] = (1/2)[1/2 − 1/((n+1)(n+2))].

5. Diferencias de cuadrados

Cuando aparece n²−1, factorizamos: n²−1=(n−1)(n+1). Así obtenemos 1/(n²−1) = (1/2)[1/(n−1)−1/(n+1)].

Ejemplo 7

Para 1/3 + 1/8 + 1/15 + 1/24, escribimos 1/(2²−1)+1/(3²−1)+1/(4²−1)+1/(5²−1). La descomposición crea dos cadenas escalonadas: (1/2)[(1−1/3)+(1/2−1/4)+(1/3−1/5)+(1/4−1/6)]. Se cancelan −1/3 con +1/3 y −1/4 con +1/4. Queda (1/2)(1+1/2−1/5−1/6) = 17/30.

Nota de verificación: el PDF original indica 7/10 en la última línea de este ejemplo. El resultado exacto, comprobado también mediante la suma directa de las cuatro fracciones, es 17/30.

6. Los productos también pueden ser telescópicos

El principio no se limita a las sumas. En un producto, los factores consecutivos pueden cancelarse entre numerador y denominador.

Ejemplo 8 — El producto más sencillo

(1−1/2)(1−1/3)(1−1/4)⋯(1−1/n). Cada factor es (k−1)/k. Así, (1/2)(2/3)(3/4)⋯((n−1)/n) = 1/n.

Ejemplo 9 — Un producto con cuadrados

Π(k=2…n)(1−1/k²). Factorizamos 1−1/k² = (k²−1)/k² = [(k−1)/k]·[(k+1)/k]. El producto se divide en dos cadenas: [(1/2)(2/3)⋯((n−1)/n)] · [(3/2)(4/3)⋯((n+1)/n)]. La primera vale 1/n y la segunda (n+1)/2. Por tanto, Π(k=2…n)(1−1/k²) = (n+1)/(2n).

7. Cómo reconocer una expresión telescópica

1. Factoriza los denominadores: busca k(k+1), k(k+a) o (k−1)(k+1).
2. Descompón en diferencias: intenta expresar cada fracción como dos fracciones más sencillas.
3. Racionaliza las raíces: utiliza el conjugado de √(k+1)+√k.
4. Escribe los primeros términos: observa las partes iguales con signos opuestos.
5. Examina los extremos: muchas veces solo permanecen el primer término y el último.

Si la cancelación no es evidente, escribe de manera explícita tres o cuatro términos consecutivos. A menudo, así aparece el patrón.

8. Ejercicios

Intenta resolver cada ejercicio antes de abrir su solución.

1. A. 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30
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   Los denominadores son k(k+1) para k=1,…,5. La suma vale 1−1/6 = 5/6.

2. B. 1/(1·4) + 1/(4·7) + 1/(7·10) + 1/(10·13)
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   Usamos 1/[k(k+3)] = (1/3)(1/k−1/(k+3)). Queda (1/3)(1−1/13) = 4/13.

3. C. 1/(1+√2) + 1/(√2+√3) + 1/(√3+2) + 1/(2+√5)
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   Cada término racionalizado es una diferencia de raíces consecutivas. Desaparecen los términos interiores y queda √5−1.

4. D. 1/(1·2·3) + 1/(2·3·4) + 1/(3·4·5) + 1/(4·5·6)
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   La fórmula de los tres factores da (1/2)[1/(1·2)−1/(5·6)] = (1/2)(1/2−1/30) = 7/30.

5. E. (1−1/2)(1−1/3)(1−1/4)(1−1/5)(1−1/6)
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   El producto se convierte en (1/2)(2/3)(3/4)(4/5)(5/6) = 1/6.

6. F. Π(k=2…5)(1−1/k²)
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   Con (n+1)/(2n) y n=5 obtenemos 6/10 = 3/5.

Idea final

El verdadero truco no es calcular más deprisa, sino cambiar la representación. Una fracción complicada puede convertirse en una diferencia; una raíz puede racionalizarse; un producto puede factorizarse. Cuando aparecen términos consecutivos opuestos, la expresión se acorta sola.

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