Sommes et produits télescopiques : les fractions qui s’annulent

Une somme de fractions peut sembler longue et laborieuse. Parfois, au lieu de calculer chaque terme séparément, il suffit de changer de représentation : les parties intermédiaires disparaissent et seuls les extrêmes subsistent. La même chose peut arriver dans un produit. C’est le principe des expressions télescopiques.

1. L’idée fondamentale

Une somme est télescopique quand, après une décomposition appropriée, presque tous ses termes s’annulent deux à deux. Cherchons des termes consécutifs de signes opposés. La décomposition la plus importante est 1/[k(k+1)] = 1/k − 1/(k+1), car 1/k − 1/(k+1) = [(k+1)−k]/[k(k+1)] = 1/[k(k+1)].

Exemple 1 — La première chaîne

Calculons 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20. Les dénominateurs sont 1·2, 2·3, 3·4, 4·5. La somme devient donc (1−1/2) + (1/2−1/3) + (1/3−1/4) + (1/4−1/5). Le −1/2 s’annule avec le +1/2, puis −1/3 avec +1/3 et −1/4 avec +1/4. Il reste 1−1/5 = 4/5.

Pour n termes : Σ(k=1…n) 1/[k(k+1)] = 1 − 1/(n+1) = n/(n+1).

2. Saut de deux : dénominateurs k(k+2)

Lorsque le second facteur est k+2, la même idée fonctionne avec le coefficient 1/2 : 1/[k(k+2)] = (1/2)·[1/k − 1/(k+2)].

Exemple 2

1/(1·3) + 1/(3·5) + 1/(5·7) + 1/(7·9) devient (1/2)[(1−1/3) + (1/3−1/5) + (1/5−1/7) + (1/7−1/9)]. Les termes intermédiaires disparaissent et il reste (1/2)(1−1/9) = (1/2)(8/9) = 4/9.

La formule générale avec saut a

Pour a ≠ 0, si les dénominateurs ne sont pas nuls, 1/[k(k+a)] = (1/a)·[1/k − 1/(k+a)]. Cette identité est une machine à construire des sommes télescopiques. Il faut toutefois vérifier que les indices choisis relient bien un terme au suivant.

Exemple 3 — Saut de trois

1/(1·4) + 1/(4·7) + 1/(7·10) devient (1/3)[(1−1/4) + (1/4−1/7) + (1/7−1/10)] = (1/3)(1−1/10) = 3/10.

3. Télescopage avec des racines

Les sommes avec des racines deviennent souvent télescopiques après rationalisation. L’identité clé est 1/[√(k+1)+√k] = √(k+1)−√k. En multipliant numérateur et dénominateur par √(k+1)−√k, le dénominateur devient en effet (k+1)−k=1.

Exemple 4

1/(1+√2) + 1/(√2+√3) + 1/(√3+2) se réécrit (√2−1) + (√3−√2) + (2−√3). Les racines intermédiaires s’annulent : 2−1=1.

Exemple 5 — Forme générale

Σ(k=1…n) 1/[√k+√(k+1)] devient (√2−1)+(√3−√2)+⋯+(√(n+1)−√n). Ainsi Σ(k=1…n) 1/[√k+√(k+1)] = √(n+1)−1.

4. Trois facteurs consécutifs

Trois facteurs consécutifs permettent aussi une décomposition utile : 1/[k(k+1)(k+2)] = (1/2)·{1/[k(k+1)] − 1/[(k+1)(k+2)]}.

Exemple 6

Calculons 1/(1·2·3) + 1/(2·3·4) + 1/(3·4·5). La substitution donne (1/2)[1/(1·2)−1/(2·3)] + (1/2)[1/(2·3)−1/(3·4)] + (1/2)[1/(3·4)−1/(4·5)]. Les termes centraux s’annulent ; il reste (1/2)[1/2−1/20] = (1/2)(9/20) = 9/40.

En général Σ(k=1…n) 1/[k(k+1)(k+2)] = (1/2)[1/2 − 1/((n+1)(n+2))].

5. Différences de carrés

Lorsque n²−1 apparaît, factorisons : n²−1=(n−1)(n+1). On obtient 1/(n²−1) = (1/2)[1/(n−1)−1/(n+1)].

Exemple 7

Pour 1/3 + 1/8 + 1/15 + 1/24, écrivons 1/(2²−1)+1/(3²−1)+1/(4²−1)+1/(5²−1). La décomposition donne deux chaînes décalées : (1/2)[(1−1/3)+(1/2−1/4)+(1/3−1/5)+(1/4−1/6)]. Les termes −1/3 et +1/3, puis −1/4 et +1/4, s’annulent. Il reste (1/2)(1+1/2−1/5−1/6) = 17/30.

Note de vérification : le PDF source indique 7/10 à la dernière ligne de cet exemple. Le résultat exact, vérifié aussi par addition directe des quatre fractions, est 17/30.

6. Les produits peuvent aussi être télescopiques

Le principe ne concerne pas seulement les sommes. Dans un produit, des facteurs consécutifs peuvent s’annuler entre numérateur et dénominateur.

Exemple 8 — Le produit le plus simple

(1−1/2)(1−1/3)(1−1/4)⋯(1−1/n). Chaque facteur est (k−1)/k. Donc (1/2)(2/3)(3/4)⋯((n−1)/n) = 1/n.

Exemple 9 — Un produit avec des carrés

Π(k=2…n)(1−1/k²). Factorisons 1−1/k² = (k²−1)/k² = [(k−1)/k]·[(k+1)/k]. Le produit se partage en deux chaînes : [(1/2)(2/3)⋯((n−1)/n)] · [(3/2)(4/3)⋯((n+1)/n)]. La première vaut 1/n, la seconde (n+1)/2. Donc Π(k=2…n)(1−1/k²) = (n+1)/(2n).

7. Comment reconnaître une expression télescopique

1. Factorisez les dénominateurs : cherchez k(k+1), k(k+a) ou (k−1)(k+1).
2. Décomposez en différences : essayez d’écrire chaque fraction comme deux fractions plus simples.
3. Rationalisez les racines : utilisez le conjugué de √(k+1)+√k.
4. Écrivez les premiers termes : repérez des parties égales de signes opposés.
5. Regardez les extrêmes : seuls le premier et le dernier termes survivent souvent.

Si l’annulation ne saute pas aux yeux, écrivez explicitement trois ou quatre termes consécutifs. La structure devient souvent visible.

8. Exercices

Essayez de résoudre chaque exercice avant d’ouvrir sa solution.

1. A. 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30
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   Les dénominateurs sont k(k+1) pour k=1,…,5. La somme vaut 1−1/6 = 5/6.

2. B. 1/(1·4) + 1/(4·7) + 1/(7·10) + 1/(10·13)
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   Utilisons 1/[k(k+3)] = (1/3)(1/k−1/(k+3)). Il reste (1/3)(1−1/13) = 4/13.

3. C. 1/(1+√2) + 1/(√2+√3) + 1/(√3+2) + 1/(2+√5)
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   Chaque terme rationalisé est une différence de racines consécutives. Les parties intérieures disparaissent et il reste √5−1.

4. D. 1/(1·2·3) + 1/(2·3·4) + 1/(3·4·5) + 1/(4·5·6)
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   La formule des trois facteurs donne (1/2)[1/(1·2)−1/(5·6)] = (1/2)(1/2−1/30) = 7/30.

5. E. (1−1/2)(1−1/3)(1−1/4)(1−1/5)(1−1/6)
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   Le produit devient (1/2)(2/3)(3/4)(4/5)(5/6) = 1/6.

6. F. Π(k=2…5)(1−1/k²)
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   Avec (n+1)/(2n) et n=5, on obtient 6/10 = 3/5.

Idée finale

Le véritable truc n’est pas de calculer plus vite, mais de changer de représentation. Une fraction compliquée peut devenir une différence ; une racine peut être rationalisée ; un produit peut être factorisé. Quand apparaissent des termes consécutifs opposés, l’expression se raccourcit d’elle-même.

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