Sommaire
- Une fraction est un nombre
- Fraction d’un tout : diviser, puis multiplier
- Fraction de fraction : choisir dans un choix
- Reconstituer le tout à partir d’une fraction
- Avant les problèmes : choisir l’opération avec discernement
- 25 problèmes : du moyen au difficile
Une fraction est un nombre
Une fraction n’est pas seulement une part de gâteau : 3/8 est le nombre obtenu en divisant 3 par 8. Appliqué à une quantité, ce nombre devient un multiplicateur. Le dénominateur indique en combien de parts égales diviser l’unité ; le numérateur indique combien en prendre. Par exemple, 3/2 est supérieur à 1 : une fraction n’est pas nécessairement inférieure à l’unité.
Les parts doivent être égales et le tout de référence clair. 1/2 est toujours le même nombre, mais la moitié de 20 et la moitié de 80 sont des quantités différentes. Des fractions équivalentes désignent le même nombre : 1/2 = 2/4 = 3/6. Nous utiliserons des dénominateurs positifs.
Fraction d’un tout : diviser, puis multiplier
Combien valent les 3/8 de 48 ? Divisons 48 en 8 parts égales : chacune vaut 6. Prenons-en 3 : nous obtenons 18. Ne divisons pas par 3 : c’est le dénominateur 8 qui définit le partage.
48 ÷ 8 = 6; 6 × 3 = 18
| ● 6 | ● 6 | ● 6 | ○ 6 | ○ 6 | ○ 6 | ○ 6 | ○ 6 |
Les trois symboles pleins désignent les parts prises ; les cinq symboles vides, les autres. Toutes les cases ensemble donnent 48.
En général, a/b de N se calcule par N × a/b. Diviser d’abord ou multiplier d’abord donne le même résultat, à condition de ne pas arrondir les valeurs intermédiaires.
Fraction de fraction : choisir dans un choix
Prenons 2/3 d’un rectangle, puis 3/4 de cette partie. Le rectangle comporte 3 colonnes et 4 lignes : 12 cellules égales. Les deux premières colonnes représentent les 2/3 initiaux, soit 8 cellules. Trois quarts de ces 8 cellules font 6 cellules.
| ● | ● | — |
| ● | ● | — |
| ● | ● | — |
| ○ | ○ | — |
(3/4) × (2/3) = 6/12 = 1/2
● = cellules finalement choisies ; ○ = cellules du premier choix non conservées ; — = cellules hors du premier choix. La région finale comprend 6 des 12 cellules du rectangle entier.
Multiplions numérateurs et dénominateurs : (a/b) × (c/d) = (a × c)/(b × d). Attention au mot « reste » : il faut d’abord le calculer. Enlever 2/3 de 3/4 laisse (1/3) × (3/4) = 1/4, et non 1 − 2/3 − 3/4.
Reconstituer le tout à partir d’une fraction
Les 3/5 d’une quantité valent 27. Trois parts valent 27, donc une part vaut 27/3 = 9. Le tout contient 5 parts : 9 × 5 = 45. Cette fois, on divise par le numérateur, car on connaît déjà la valeur de trois parts.
| ● 9 | ● 9 | ● 9 | ○ 9 | ○ 9 |
27 ÷ 3 = 9; 9 × 5 = 45
Les trois premières parts donnent 27 ; les cinq donnent 45. Vérifions en recalculant 3/5 de 45 = 27.
En général, si a/b de N vaut P, alors N = P ÷ (a/b) = P × b/a, avec a non nul. Multiplier encore P par a/b réduirait la partie connue au lieu de reconstituer le tout.
Avant les problèmes : choisir l’opération avec discernement
Des fractions d’un même tout peuvent être additionnées après réduction au même dénominateur : 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12. Lorsqu’une fraction s’applique à une autre quantité fractionnaire, on multiplie. Lorsqu’on connaît une partie et qu’on cherche le tout, on divise par la fraction.
Pour chaque problème, identifiez le tout, notez à quelle quantité renvoie chaque fraction, écrivez ce qui reste et vérifiez le résultat dans l’énoncé. Certains exercices consolident les bases ; d’autres combinent plusieurs étapes ou un changement du tout. Indices et solutions sont initialement fermés : ouvrez-les au besoin.
25 problèmes : du moyen au difficile
- La bibliothèque
- Le niveau du réservoir
- Deux dépenses successives
- Un livre en trois jours
- La classe et la musique
- La dernière étape
- Le potager dans le terrain
- Deux quantités, un total
- Le transfert qui égalise
- L'épargne sur le salaire
- Absences et départs anticipés
- Adapter une recette
- Deux coupes dans un rouleau
- Deux remises, pas une somme
- Hausse et baisse identiques ?
- Deux dilutions successives
- Deux personnes au travail
- Le robinet et la fuite
- Le nombre caché
- Un rapport et un écart
- Les pizzas de la fête
- Trois couleurs dans l'urne
- Ajouter change aussi le tout
- Remonter la chaîne des dons
- Quatre parts successives
1. La bibliothèque
Dans une bibliothèque, 3/8 des livres sont des romans. Les essais représentent 2/5 des livres restants. Les 84 autres livres sont des manuels. Combien y a-t-il de livres au total et dans chaque groupe ?
Indice
Les 2/5 portent sur les livres qui ne sont pas des romans, pas sur le total.
Solution pas à pas
Après les romans, il reste 5/8 du total. Les essais représentent (2/5) × (5/8) = 1/4 du total. Les manuels représentent 1 − 3/8 − 1/4 = 3/8. Si 3/8 valent 84, le total vaut 84 × 8/3 = 224 livres : 84 romans, 56 essais et 84 manuels. Vérification : 84 + 56 + 84 = 224.
2. Le niveau du réservoir
Un réservoir est rempli aux 2/3. On prélève 1/4 de l'eau présente, puis on ajoute 18 litres. Il est alors rempli aux 4/5. Quelle est sa capacité ?
Indice
Après le prélèvement, il reste 3/4 des 2/3 initiaux.
Solution pas à pas
L'eau restante occupe (3/4) × (2/3) = 1/2 du réservoir. Les 18 litres ajoutés représentent 4/5 − 1/2 = 3/10 de la capacité. La capacité vaut 18 × 10/3 = 60 litres. Vérification : 40 litres au départ, moins 10, plus 18 donnent 48 litres, soit 4/5 de 60.
3. Deux dépenses successives
Anna dépense 1/3 de son argent, puis 2/5 de ce qui reste. Il lui reste finalement 18 euros. Combien avait-elle au départ ?
Indice
Multipliez les fractions restantes ou remontez les étapes.
Solution pas à pas
Il reste d'abord 2/3, puis 3/5 de cette quantité : (3/5) × (2/3) = 2/5 de la somme initiale. Le tout vaut 18 × 5/2 = 45 euros. À rebours : 18 euros sont 3/5 de 30 ; 30 sont 2/3 de 45. Les dépenses sont de 15 et 12 euros : 45 − 15 − 12 = 18.
4. Un livre en trois jours
Le premier jour, Luca lit 2/7 d'un livre ; le deuxième, il lit 3/5 des pages restantes. Le troisième, il lit les 48 dernières pages. Combien de pages compte le livre et combien en lit-il chaque jour ?
Indice
Le deuxième jour, il ne lit pas 3/5 du livre entier.
Solution pas à pas
Après le premier jour, il reste 5/7. Le deuxième jour, il lit (3/5) × (5/7) = 3/7 du livre. Il reste donc 2/7, soit 48 pages. Le livre compte 48 × 7/2 = 168 pages. Il lit 48, 72 puis 48 pages : leur somme vaut 168.
5. La classe et la musique
Dans une classe, 3/5 des élèves sont des filles. Exactement 2/3 des filles étudient la musique : elles sont 12. Combien y a-t-il d'élèves et de filles ?
Indice
Reconstituez d'abord le groupe des filles, puis la classe.
Solution pas à pas
Les 12 musiciennes sont 2/3 des filles : il y a 12 × 3/2 = 18 filles. Ces 18 représentent 3/5 de la classe : il y a 18 × 5/3 = 30 élèves. Directement, les musiciennes représentent (2/3) × (3/5) = 2/5 de la classe ; 12 × 5/2 = 30.
6. La dernière étape
Un randonneur parcourt 1/4 d'un trajet, puis 2/3 de la distance restante. Il lui reste encore 18 km. Quelle est la longueur du trajet ?
Indice
Après la deuxième étape, il reste 1/3 des 3/4 précédemment restants.
Solution pas à pas
La fraction restante vaut (1/3) × (3/4) = 1/4. Le trajet mesure 18 × 4 = 72 km. Première étape : 18 km ; il en reste 54. Deuxième étape : 36 km. Vérification : 18 + 36 + 18 = 72.
7. Le potager dans le terrain
On cultive 3/4 d'un terrain. Les 2/5 de la partie cultivée constituent un potager de 180 m². Quelles sont les aires du terrain entier et de la partie cultivée ?
Indice
Le potager représente une fraction d'une fraction.
Solution pas à pas
Le potager occupe (2/5) × (3/4) = 3/10 du terrain. Le terrain mesure 180 × 10/3 = 600 m² ; la partie cultivée mesure (3/4) × 600 = 450 m². Vérification : 2/5 de 450 valent 180.
8. Deux quantités, un total
La caisse A contient 3/7 du nombre de pommes de la caisse B. Il y a 100 pommes au total. Combien y en a-t-il dans chaque caisse ?
Indice
Représentez A par 3 parts et B par 7 parts de même taille.
Solution pas à pas
Ensemble, les caisses représentent 3 + 7 = 10 parts égales. Une part vaut 100/10 = 10 pommes. A en contient 30 et B 70. Vérification : 30/70 = 3/7. A contient 3/10 du total, pas 3/7 du total.
9. Le transfert qui égalise
Le sac A contient 2/3 de la farine du sac B. En transférant 8 kg de B vers A, on égalise les quantités. Combien chaque sac contenait-il au départ ?
Indice
Le transfert réduit l'écart de 16 kg, pas de 8.
Solution pas à pas
A gagne 8 kg et B en perd 8 : l'écart initial valait 16 kg. Cet écart représente 1 − 2/3 = 1/3 du contenu de B. B contenait donc 16 × 3 = 48 kg et A 32 kg. Après transfert, chacun contient 40 kg.
10. L'épargne sur le salaire
Une personne dépense 3/8 de son salaire pour le loyer et 1/4 du salaire pour la nourriture. Elle épargne 1/5 du reste, soit 90 euros. Quel est son salaire et combien reste-t-il après l'épargne ?
Indice
Loyer et nourriture portent sur le même tout, contrairement à l'épargne.
Solution pas à pas
Les premières dépenses représentent 3/8 + 1/4 = 5/8. Il reste 3/8. L'épargne vaut (1/5) × (3/8) = 3/40 du salaire, donc le salaire vaut 90 × 40/3 = 1 200 euros. Après loyer et nourriture, il reste 450 euros ; après l'épargne de 90 euros, il reste 360 euros disponibles.
11. Absences et départs anticipés
Un sixième des inscrits d'une classe est absent. Puis 1/4 des présents part en avance. Il reste 30 élèves en classe. Combien y a-t-il d'inscrits, d'absents au départ et de départs anticipés ?
Indice
La deuxième fraction porte sur les présents, soit 5/6 des inscrits.
Solution pas à pas
Il reste (3/4) × (5/6) = 5/8 des inscrits. Il y a donc 30 × 8/5 = 48 inscrits. Il y avait 8 absents, 40 présents et 10 départs anticipés. Vérification : 48 − 8 − 10 = 30.
12. Adapter une recette
Six portions nécessitent 3/4 kg de farine, en proportion constante. Combien faut-il pour 10 portions ? Combien de portions entières peut-on préparer avec 9/8 kg ?
Indice
Calculez d'abord la farine nécessaire à une portion.
Solution pas à pas
Une portion nécessite (3/4)/6 = 1/8 kg. Dix portions nécessitent 10/8 = 5/4 kg. Avec 9/8 kg, on prépare (9/8)/(1/8) = 9 portions entières. Il manque 1/8 kg pour en faire 10 ; on n'arrondit pas 9/8 à 5/4.
13. Deux coupes dans un rouleau
On coupe d'abord 3/5 de la longueur initiale d'un rouleau, puis 2/7 de sa longueur initiale. Il reste 12 mètres. Quelle était sa longueur ?
Indice
Les deux fractions portent sur la longueur initiale : additionnez-les.
Solution pas à pas
La fraction coupée vaut 3/5 + 2/7 = 21/35 + 10/35 = 31/35. Il reste 4/35, soit 12 mètres. Le rouleau mesurait 12 × 35/4 = 105 mètres. Les coupes mesurent 63 et 30 mètres ; 105 − 63 − 30 = 12. Prendre 2/7 du reste constituerait un autre problème.
14. Deux remises, pas une somme
Un produit est réduit de 1/5 de son prix initial. On applique ensuite une remise de 1/4 au nouveau prix. On paie 72 euros. Quel était le prix initial et quelle fraction a été économisée au total ?
Indice
Multipliez les fractions du prix conservées.
Solution pas à pas
Le prix final représente (4/5) × (3/4) = 3/5 du prix initial. Celui-ci valait 72 × 5/3 = 120 euros. La remise totale vaut 1 − 3/5 = 2/5, soit 48 euros. Vérification : 120 − 24 = 96 ; puis 96 − 24 = 72. On n'additionne pas 1/5 et 1/4, car leurs bases diffèrent.
15. Hausse et baisse identiques ?
Un prix augmente de 1/4, puis baisse de 1/4 du prix augmenté pour atteindre 90 euros. Quel était le prix initial ? Est-on revenu au point de départ ?
Indice
Les facteurs multiplicatifs sont 5/4 et 3/4.
Solution pas à pas
Le facteur global vaut (5/4) × (3/4) = 15/16. Le prix initial valait 90 × 16/15 = 96 euros. Il monte à 120, puis baisse de 30 pour atteindre 90. La perte vaut 6 euros, soit 1/16 de 96. Hausse et baisse de même fraction ne s'annulent pas si la base change.
16. Deux dilutions successives
Un récipient contient 30 litres de jus pur. On retire 1/3 du contenu et on ajoute de l'eau pour revenir à 30 litres. On mélange parfaitement et on répète l'opération une fois. Combien de litres de jus initial restent ? Supposez les volumes additifs.
Indice
À chaque fois, on conserve 2/3 du jus alors présent.
Solution pas à pas
Après la première opération, il reste 30 × 2/3 = 20 litres de jus. Le mélange étant homogène, en retirer 1/3 enlève aussi 1/3 du jus présent. Il reste 20 × 2/3 = 40/3 litres, soit 13 et 1/3. La fraction conservée vaut (2/3)² = 4/9. L'eau occupe 30 − 40/3 = 50/3 litres.
17. Deux personnes au travail
A termine un travail en 6 heures et B en 8 heures. Ils travaillent ensemble à rythmes constants, additifs et sans gêne mutuelle. Combien de temps faut-il ?
Indice
Additionnez les fractions de travail accomplies en une heure, pas les durées.
Solution pas à pas
En une heure, A accomplit 1/6 du travail et B 1/8. Ensemble : 1/6 + 1/8 = 7/24 par heure. Un travail entier demande 1/(7/24) = 24/7 heures, soit 3 et 3/7 heures. C'est inférieur à 6 heures, comme attendu. Vérification : (24/7) × (7/24) = 1 travail.
18. Le robinet et la fuite
Un robinet remplirait une cuve vide en 6 heures. Une fuite viderait la cuve pleine en 15 heures. Les deux débits sont constants et indépendants du niveau. Combien de temps faut-il pour remplir la cuve initialement vide avec les deux actifs ?
Indice
Soustrayez la contribution de la fuite.
Solution pas à pas
Chaque heure, 1/6 de la capacité entre et 1/15 sort. Le gain net vaut 1/6 − 1/15 = 1/10 de la capacité par heure. Il faut 10 heures. Vérification : en 10 heures, 5/3 de la capacité entre et 2/3 sort ; il reste une capacité entière. Les débits constants sont une hypothèse essentielle.
19. Le nombre caché
La moitié d'un nombre positif, ajoutée au tiers du même nombre, donne 35. Trouvez le nombre sans poser d'équation avec une inconnue.
Indice
Les deux parts sont des fractions du même tout.
Solution pas à pas
La somme représente 1/2 + 1/3 = 5/6 du nombre. Si cinq sixièmes valent 35, un sixième vaut 7 et six sixièmes valent 42. Vérification : la moitié de 42 vaut 21, son tiers vaut 14 et 21 + 14 = 35.
20. Un rapport et un écart
Deux quantités positives vérifient A = (2/5) × B. Leur différence vaut 27. Trouvez-les sans utiliser d'équation.
Indice
Entre 5 parts et 2 parts, l'écart est de 3 parts.
Solution pas à pas
B représente 5 parts égales et A en représente 2. Trois parts valent 27, donc une part vaut 9. A vaut 18 et B vaut 45. Vérification : 18/45 = 2/5 et 45 − 18 = 27.
21. Les pizzas de la fête
Lors d'une fête, 3/8 des invités mangent une demi-pizza chacun. Tous les autres mangent 2/5 de pizza chacun. Les pizzas sont identiques et exactement 21 sont consommées. Combien y a-t-il d'invités ?
Indice
Considérez un groupe représentatif de 8 invités.
Solution pas à pas
Sur 8 invités, 3 mangent ensemble 3/2 pizzas et les 5 autres mangent 5 × 2/5 = 2 pizzas. Chaque groupe de 8 consomme 7/2 pizzas. Vingt et une pizzas correspondent à 21/(7/2) = 6 groupes, donc 48 invités. Vérification : 18 personnes mangent 9 pizzas et 30 en mangent 12 ; 9 + 12 = 21.
22. Trois couleurs dans l'urne
Dans une urne, 2/5 des boules sont rouges, 1/3 sont bleues et les autres sont vertes. Il y a 16 boules vertes. Combien y en a-t-il de chaque couleur ?
Indice
Les fractions des trois couleurs doivent avoir pour somme 1.
Solution pas à pas
Rouges et bleues représentent 2/5 + 1/3 = 11/15 du total. Les vertes représentent 4/15 : le total vaut 16 × 15/4 = 60. Il y a 24 rouges, 20 bleues et 16 vertes. Vérification : 24 + 20 + 16 = 60, avec les proportions demandées.
23. Ajouter change aussi le tout
Dans une urne, 2/5 des boules sont rouges. On ajoute 12 boules rouges sans en retirer aucune ; les rouges représentent alors la moitié du total. Combien y avait-il de boules au départ ?
Indice
Après l'ajout, les rouges et les non-rouges sont aussi nombreuses.
Solution pas à pas
Au départ, les non-rouges représentent 3/5, contre 2/5 de rouges : l'écart vaut 1/5 du total initial. Les 12 nouvelles rouges comblent cet écart : 1/5 vaut 12, donc le total initial est 60. Il y avait 24 rouges et 36 non-rouges ; après ajout, 36 de chaque, soit 72 boules.
24. Remonter la chaîne des dons
Marta donne la moitié de son argent plus 2 euros. Puis elle donne le tiers de l'argent restant plus 3 euros. Il lui reste finalement 7 euros. Combien avait-elle au départ ?
Indice
Inversez la dernière opération : annulez d'abord les 3 euros supplémentaires, puis le prélèvement du tiers.
Solution pas à pas
Avant les 3 euros supplémentaires, il restait 7 + 3 = 10 euros, soit 2/3 de l'argent après le premier don. Cette somme valait 10 × 3/2 = 15 euros. Avant les 2 euros supplémentaires du premier don, il restait 17 euros, soit la moitié initiale : elle avait donc 34 euros. Vérification : don de 17 + 2 = 19, reste 15 ; don de 5 + 3 = 8, reste 7.
25. Quatre parts successives
Un fonds est distribué ainsi : A reçoit 1/3 du total ; B reçoit 1/4 du reste ; C reçoit 2/5 du nouveau reste ; D reçoit les derniers 90 euros. Quel est le fonds et combien reçoit chacun ?
Indice
La part de D est le produit de trois fractions restantes.
Solution pas à pas
Après A, il reste 2/3 ; après B, (3/4) × (2/3) = 1/2 du fonds ; après C, (3/5) × (1/2) = 3/10. Le fonds vaut donc 90 × 10/3 = 300 euros. A reçoit 100 ; B reçoit 1/4 de 200, soit 50 ; C reçoit 2/5 de 150, soit 60 ; D reçoit 90. Vérification : 100 + 50 + 60 + 90 = 300.
Pour aller plus loin avec une propriété étonnante des fractions : Sommes et produits télescopiques de fractions.