Indice
- Una frazione è un numero
- Frazione di un intero: dividere, poi moltiplicare
- Frazione di frazione: scegliere dentro una scelta
- Ricostruire l’intero conoscendo una sua frazione
- Prima dei problemi: scegli l’operazione, non la regola a memoria
- 25 problemi: dal medio al difficile
Una frazione è un numero
Una frazione non è soltanto una fetta di torta: 3/8 è il numero che si ottiene dividendo 3 per 8. Quando lo applichiamo a una quantità, quel numero diventa un moltiplicatore. Il denominatore indica in quante parti uguali dividere l’unità; il numeratore quante prenderne. Per esempio, 3/2 è maggiore di 1: una frazione non è obbligatoriamente minore dell’unità.
Le parti devono essere uguali e l’intero di riferimento deve essere chiaro. 1/2 è sempre lo stesso numero; metà di 20 e metà di 80 sono però quantità diverse. Le frazioni equivalenti descrivono lo stesso numero: 1/2 = 2/4 = 3/6. Nei problemi seguenti useremo denominatori positivi.
Frazione di un intero: dividere, poi moltiplicare
Quanto valgono i 3/8 di 48? Dividiamo 48 in 8 parti uguali: ogni parte vale 6. Prendiamone 3: otteniamo 18. Non dividiamo per 3: è il denominatore 8 a stabilire la suddivisione.
48 ÷ 8 = 6; 6 × 3 = 18
| ● 6 | ● 6 | ● 6 | ○ 6 | ○ 6 | ○ 6 | ○ 6 | ○ 6 |
I tre simboli pieni indicano le parti prese; i cinque vuoti le altre parti. La somma di tutte le caselle è 48.
In generale, a/b di N si calcola come N × a/b. Si può dividere prima oppure moltiplicare prima: il valore non cambia, purché non si arrotondino risultati intermedi.
Frazione di frazione: scegliere dentro una scelta
Prendiamo 2/3 di un rettangolo; poi prendiamo 3/4 di quella parte. Il rettangolo è diviso in 3 colonne e 4 righe: 12 celle uguali. Le prime due colonne sono i 2/3 iniziali, cioè 8 celle. Tre quarti di quelle 8 celle sono 6 celle.
| ● | ● | — |
| ● | ● | — |
| ● | ● | — |
| ○ | ○ | — |
(3/4) × (2/3) = 6/12 = 1/2
● = celle scelte alla fine; ○ = celle della prima scelta non conservate; — = celle esterne alla prima scelta. La regione finale contiene 6 delle 12 celle dell’intero.
Moltiplichiamo numeratori e denominatori: (a/b) × (c/d) = (a × c)/(b × d). Attenzione alla parola “del resto”: prima va calcolato il resto. Togliere 2/3 di 3/4 lascia (1/3) × (3/4) = 1/4, non 1 − 2/3 − 3/4.
Ricostruire l’intero conoscendo una sua frazione
I 3/5 di una quantità valgono 27. Tre parti valgono 27, quindi una parte vale 27/3 = 9. L’intero contiene 5 parti: 9 × 5 = 45. Questa volta dividiamo per il numeratore, perché conosciamo già il valore di tre parti.
| ● 9 | ● 9 | ● 9 | ○ 9 | ○ 9 |
27 ÷ 3 = 9; 9 × 5 = 45
Le prime tre parti danno 27; tutte e cinque danno 45. La ricostruzione si controlla ricalcolando 3/5 di 45 = 27.
In generale, se a/b di N vale P, allora N = P ÷ (a/b) = P × b/a, con a diverso da zero. Non si moltiplica P ancora per a/b: quella sarebbe una nuova riduzione della parte nota.
Prima dei problemi: scegli l’operazione, non la regola a memoria
Quando le frazioni si riferiscono allo stesso intero, si possono sommare dopo averle portate allo stesso denominatore: 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12. Quando una frazione si applica a un’altra quantità frazionaria, si moltiplica. Quando è nota una parte e si cerca l’intero, si divide per la frazione.
Per ogni problema: identifica l’intero, annota a quale quantità si riferisce ogni frazione, scrivi la parte che rimane e controlla il risultato nel testo iniziale. Alcuni esercizi sono di consolidamento; altri combinano più passaggi o un cambio dell’intero. Suggerimenti e soluzioni sono chiusi: aprili soltanto quando ti servono.
25 problemi: dal medio al difficile
- La biblioteca
- Il serbatoio che cambia livello
- Due spese successive
- Un libro in tre giorni
- La classe e la musica
- L'ultima tappa
- L'orto dentro il terreno
- Due quantità, un totale
- Il travaso che pareggia
- Il risparmio dello stipendio
- Assenti e uscite anticipate
- Una ricetta da ridimensionare
- Due tagli dello stesso rotolo
- Due sconti, non una somma
- Aumento e diminuzione uguali?
- La miscela diluita due volte
- Due persone al lavoro
- Il rubinetto e la perdita
- Il numero nascosto
- Un rapporto e una differenza
- Le pizze della festa
- Tre colori nell'urna
- Aggiungere cambia anche l'intero
- La catena da risalire
- Quattro quote successive
1. La biblioteca
In una biblioteca, 3/8 dei libri sono romanzi. I saggi sono 2/5 dei libri rimanenti. Gli altri 84 libri sono manuali. Quanti libri ci sono in tutto e per ciascun gruppo?
Suggerimento
I 2/5 si riferiscono ai libri che non sono romanzi, non al totale.
Soluzione passo passo
Dopo i romanzi rimangono 5/8 del totale. I saggi occupano (2/5) × (5/8) = 1/4 del totale. Ai manuali restano 1 − 3/8 − 1/4 = 3/8. Se 3/8 valgono 84, il totale è 84 × 8/3 = 224 libri: 84 romanzi, 56 saggi e 84 manuali. Controllo: 84 + 56 + 84 = 224.
2. Il serbatoio che cambia livello
Un serbatoio è pieno per 2/3. Si preleva 1/4 dell'acqua presente, poi si aggiungono 18 litri. Ora è pieno per 4/5. Qual è la capacità?
Suggerimento
Dopo il prelievo rimangono 3/4 dei 2/3 iniziali.
Soluzione passo passo
L'acqua rimasta occupa (3/4) × (2/3) = 1/2 del serbatoio. I 18 litri aggiunti corrispondono a 4/5 − 1/2 = 3/10 della capacità. La capacità è 18 × 10/3 = 60 litri. Controllo: inizialmente 40 litri; se ne tolgono 10 e se ne aggiungono 18: 48 litri, cioè 4/5 di 60.
3. Due spese successive
Anna spende 1/3 del denaro che possiede e poi 2/5 di ciò che le rimane. Alla fine ha 18 euro. Quanto aveva all'inizio?
Suggerimento
Puoi moltiplicare le frazioni rimaste oppure risalire a ritroso.
Soluzione passo passo
Dopo la prima spesa rimangono 2/3; dopo la seconda, 3/5 di quei 2/3: (3/5) × (2/3) = 2/5 del denaro iniziale. L'intero vale 18 × 5/2 = 45 euro. A ritroso: 18 euro sono 3/5 di 30; 30 sono 2/3 di 45. Le spese sono 15 e 12 euro: 45 − 15 − 12 = 18.
4. Un libro in tre giorni
Il primo giorno Luca legge 2/7 di un libro; il secondo legge 3/5 delle pagine rimaste. Il terzo legge le ultime 48 pagine. Quante pagine ha il libro e quante ne legge ogni giorno?
Suggerimento
Il secondo giorno non legge 3/5 dell'intero libro.
Soluzione passo passo
Dopo il primo giorno restano 5/7. Il secondo legge (3/5) × (5/7) = 3/7 del libro. Restano quindi 2/7, pari a 48 pagine. Il libro ha 48 × 7/2 = 168 pagine. Le letture giornaliere sono 48, 72 e 48 pagine: la somma è 168.
5. La classe e la musica
In una classe, 3/5 degli alunni sono ragazze. Esattamente 2/3 delle ragazze studiano musica: sono 12. Quanti alunni e quante ragazze ci sono?
Suggerimento
Prima ricostruisci il gruppo delle ragazze, poi la classe.
Soluzione passo passo
Le 12 musiciste sono 2/3 delle ragazze: le ragazze sono 12 × 3/2 = 18. Queste 18 sono 3/5 della classe: gli alunni sono 18 × 5/3 = 30. Direttamente, le musiciste sono (2/3) × (3/5) = 2/5 della classe; 12 × 5/2 = 30.
6. L'ultima tappa
Un escursionista percorre 1/4 del tragitto, poi 2/3 di quello rimasto. Gli mancano ancora 18 km. Quanto è lungo l'intero percorso?
Suggerimento
Dopo la seconda tappa rimane 1/3 dei 3/4 inizialmente rimasti.
Soluzione passo passo
La frazione ancora da percorrere è (1/3) × (3/4) = 1/4. Il tragitto misura 18 × 4 = 72 km. Prima tappa: 18 km. Rimangono 54 km; la seconda tappa ne copre 36. Controllo: 18 + 36 + 18 = 72.
7. L'orto dentro il terreno
Si coltivano 3/4 di un terreno. I 2/5 della parte coltivata sono un orto di 180 m². Quali sono le aree dell'intero terreno e della parte coltivata?
Suggerimento
L'orto è una frazione di una frazione.
Soluzione passo passo
L'orto occupa (2/5) × (3/4) = 3/10 dell'intero terreno. Il terreno misura 180 × 10/3 = 600 m²; la parte coltivata misura (3/4) × 600 = 450 m². Controllo: 2/5 di 450 sono 180.
8. Due quantità, un totale
Una cassa A contiene 3/7 delle mele contenute nella cassa B. In tutto ci sono 100 mele. Quante ne contiene ciascuna?
Suggerimento
Rappresenta A con 3 parti e B con 7 parti della stessa grandezza.
Soluzione passo passo
Insieme le casse contengono 3 + 7 = 10 parti uguali. Ogni parte vale 100/10 = 10 mele. A contiene 30 mele e B 70. Controllo: 30/70 = 3/7. Attenzione: A non contiene 3/7 del totale, ma 3/10 del totale.
9. Il travaso che pareggia
Il sacco A contiene 2/3 della farina del sacco B. Spostando 8 kg da B ad A, i due sacchi contengono la stessa quantità. Quanta farina c'era inizialmente in ciascuno?
Suggerimento
Il trasferimento riduce la differenza di 16 kg, non di 8.
Soluzione passo passo
A guadagna 8 kg mentre B ne perde 8: la differenza iniziale era 16 kg. In unità del contenuto di B, la differenza è 1 − 2/3 = 1/3. Quindi B conteneva 16 × 3 = 48 kg e A 32 kg. Dopo il trasferimento entrambi contengono 40 kg.
10. Il risparmio dello stipendio
Una persona spende 3/8 dello stipendio per l'affitto e 1/4 dello stipendio per il cibo. Risparmia 1/5 di ciò che rimane, pari a 90 euro. Qual è lo stipendio e quanto resta dopo anche il risparmio?
Suggerimento
Affitto e cibo si riferiscono allo stesso intero; il risparmio no.
Soluzione passo passo
Le prime spese assorbono 3/8 + 1/4 = 5/8. Rimangono 3/8 dello stipendio. Il risparmio è (1/5) × (3/8) = 3/40 dello stipendio, quindi lo stipendio è 90 × 40/3 = 1.200 euro. Dopo affitto e cibo restano 450 euro; dopo averne risparmiati 90, ne restano disponibili 360.
11. Assenti e uscite anticipate
In una classe manca 1/6 degli iscritti. Poi 1/4 dei presenti esce in anticipo. In aula restano 30 alunni. Quanti sono gli iscritti, gli assenti iniziali e gli usciti?
Suggerimento
La seconda frazione si applica ai presenti, cioè ai 5/6 degli iscritti.
Soluzione passo passo
In aula rimangono (3/4) × (5/6) = 5/8 degli iscritti. Gli iscritti sono 30 × 8/5 = 48. Gli assenti iniziali sono 8, i presenti erano 40 e gli usciti sono 10. Controllo: 48 − 8 − 10 = 30.
12. Una ricetta da ridimensionare
Per 6 porzioni servono 3/4 kg di farina, in proporzione costante. Quanta farina serve per 10 porzioni? Con 9/8 kg, quante porzioni intere si possono preparare?
Suggerimento
Calcola prima la farina per una sola porzione.
Soluzione passo passo
Una porzione richiede (3/4)/6 = 1/8 kg. Dieci porzioni richiedono 10/8 = 5/4 kg. Con 9/8 kg si preparano (9/8)/(1/8) = 9 porzioni intere. Per arrivare a 10 manca 1/8 kg; 9/8 non si arrotonda a 5/4.
13. Due tagli dello stesso rotolo
Da un rotolo si tagliano prima 3/5 della lunghezza iniziale e poi 2/7 della lunghezza iniziale. Restano 12 metri. Quanto era lungo il rotolo?
Suggerimento
Qui entrambe le frazioni si riferiscono alla lunghezza iniziale: si sommano.
Soluzione passo passo
La parte tagliata è 3/5 + 2/7 = 21/35 + 10/35 = 31/35. Rimangono 4/35, pari a 12 metri. Il rotolo misurava 12 × 35/4 = 105 metri. I tagli sono 63 e 30 metri; 105 − 63 − 30 = 12. Se il secondo taglio fosse 2/7 del resto, sarebbe un problema diverso.
14. Due sconti, non una somma
Un prodotto viene scontato di 1/5 del prezzo iniziale. Sul nuovo prezzo si applica uno sconto di 1/4. Si pagano 72 euro. Qual era il prezzo e quale frazione è stata complessivamente scontata?
Suggerimento
Moltiplica le frazioni di prezzo che rimangono.
Soluzione passo passo
Dopo gli sconti resta (4/5) × (3/4) = 3/5 del prezzo iniziale. Il prezzo era 72 × 5/3 = 120 euro. Lo sconto complessivo è 1 − 3/5 = 2/5, cioè 48 euro. Controllo: 120 − 24 = 96; poi 96 − 24 = 72. Non si sommano 1/5 e 1/4, perché hanno basi diverse.
15. Aumento e diminuzione uguali?
Un prezzo aumenta di 1/4; in seguito diminuisce di 1/4 del prezzo aumentato e diventa 90 euro. Qual era il prezzo iniziale? Si è tornati al punto di partenza?
Suggerimento
I fattori sono 5/4 e 3/4.
Soluzione passo passo
Il fattore complessivo è (5/4) × (3/4) = 15/16. Il prezzo iniziale era 90 × 16/15 = 96 euro. Prima sale a 120 euro, poi scende di 30 euro a 90. La perdita rispetto all'inizio è 6 euro, cioè 1/16 di 96. Aumento e diminuzione della stessa frazione non si annullano se cambia la base.
16. La miscela diluita due volte
Un recipiente contiene 30 litri di succo puro. Si toglie 1/3 del contenuto e si riempie con acqua fino a 30 litri. Si mescola perfettamente e si ripete l'operazione una seconda volta. Quanti litri di succo originale restano? Supponi volumi additivi.
Suggerimento
Anche la seconda volta si conserva 2/3 del succo presente, non del succo iniziale.
Soluzione passo passo
Dopo la prima operazione restano 30 × 2/3 = 20 litri di succo. La miscela è uniforme: togliendone 1/3 si toglie anche 1/3 del succo presente. Restano 20 × 2/3 = 40/3 litri, cioè 13 e 1/3. La frazione originale conservata è (2/3)² = 4/9. L'acqua è 30 − 40/3 = 50/3 litri.
17. Due persone al lavoro
A completa un lavoro in 6 ore; B in 8 ore. Lavorano insieme con ritmi costanti e contributi che si sommano, senza ostacolarsi. Quanto tempo occorre?
Suggerimento
Somma le frazioni di lavoro svolte in un'ora, non le ore.
Soluzione passo passo
In un'ora A svolge 1/6 del lavoro e B 1/8. Insieme svolgono 1/6 + 1/8 = 7/24 del lavoro ogni ora. Per un lavoro intero servono 1/(7/24) = 24/7 ore, cioè 3 e 3/7 ore. È meno di 6 ore, come deve essere. Controllo: (24/7) × (7/24) = 1 lavoro.
18. Il rubinetto e la perdita
Un rubinetto riempirebbe una vasca vuota in 6 ore. Una perdita svuoterebbe la vasca piena in 15 ore. Entrambe le portate sono costanti e indipendenti dal livello. Con rubinetto e perdita attivi, quanto occorre a riempire la vasca inizialmente vuota?
Suggerimento
Il contributo della perdita va sottratto.
Soluzione passo passo
Ogni ora entra 1/6 della capacità ed esce 1/15. L'incremento netto è 1/6 − 1/15 = 1/10 della capacità ogni ora. Occorrono 10 ore. Controllo: in 10 ore entrano 5/3 della capacità e ne escono 2/3: rimane una capacità intera. Il risultato dipende dall'ipotesi di portate costanti.
19. Il numero nascosto
La metà di un numero positivo, sommata a un terzo dello stesso numero, dà 35. Qual è il numero? Risolvi senza impostare un'equazione con un'incognita.
Suggerimento
Le due parti sono frazioni dello stesso intero.
Soluzione passo passo
La somma è 1/2 + 1/3 = 5/6 del numero. Se cinque sesti valgono 35, un sesto vale 7 e sei sesti valgono 42. Controllo: la metà di 42 è 21, un terzo è 14 e 21 + 14 = 35.
20. Un rapporto e una differenza
Due quantità positive A e B soddisfano A = (2/5) × B. La loro differenza è 27. Trovale senza usare un'equazione.
Suggerimento
La differenza fra 5 parti e 2 parti è 3 parti.
Soluzione passo passo
B corrisponde a 5 parti e A a 2 parti uguali. Tre parti valgono 27, quindi una parte vale 9. A vale 18 e B 45. Controllo: 18/45 = 2/5 e 45 − 18 = 27.
21. Le pizze della festa
A una festa, 3/8 degli invitati mangiano mezza pizza ciascuno. Tutti gli altri mangiano 2/5 di pizza ciascuno. Le pizze sono identiche e se ne consumano esattamente 21. Quanti invitati ci sono?
Suggerimento
Considera un gruppo rappresentativo di 8 invitati.
Soluzione passo passo
Su 8 invitati, 3 mangiano 3/2 pizze complessive e gli altri 5 mangiano 5 × 2/5 = 2 pizze. Ogni gruppo di 8 consuma 7/2 pizze. Ventuno pizze corrispondono a 21/(7/2) = 6 gruppi, cioè 48 invitati. Controllo: 18 persone consumano 9 pizze e 30 persone ne consumano 12; 9 + 12 = 21.
22. Tre colori nell'urna
In un'urna, 2/5 delle palline sono rosse, 1/3 sono blu e tutte le altre sono verdi. Le verdi sono 16. Quante palline ci sono di ciascun colore?
Suggerimento
Le frazioni dei tre colori devono sommare a 1.
Soluzione passo passo
Rosse e blu costituiscono 2/5 + 1/3 = 11/15 del totale. Le verdi sono 4/15: il totale è 16 × 15/4 = 60. Ci sono 24 rosse, 20 blu e 16 verdi. Controllo: 24 + 20 + 16 = 60 e i rapporti con 60 sono quelli richiesti.
23. Aggiungere cambia anche l'intero
In un'urna, 2/5 delle palline sono rosse. Si aggiungono 12 palline rosse, senza toglierne nessuna, e ora le rosse sono metà del totale. Quante palline c'erano inizialmente?
Suggerimento
Dopo l'aggiunta, rosse e non rosse sono in ugual numero.
Soluzione passo passo
All'inizio le non rosse sono 3/5, contro 2/5 rosse: la differenza è 1/5 del totale iniziale. Aggiungere 12 rosse colma esattamente questa differenza, dunque 1/5 vale 12 e il totale iniziale è 60. C'erano 24 rosse e 36 non rosse; dopo l'aggiunta sono 36 e 36, per un totale di 72.
24. La catena da risalire
Marta dona metà del suo denaro più 2 euro. Poi dona un terzo del denaro rimasto più 3 euro. Alla fine le restano 7 euro. Quanto possedeva inizialmente?
Suggerimento
Risali dall'ultima operazione: prima annulla i 3 euro aggiuntivi, poi il prelievo di un terzo.
Soluzione passo passo
Prima dei 3 euro aggiuntivi restavano 7 + 3 = 10 euro, cioè 2/3 del denaro successivo alla prima donazione. Quel denaro era 10 × 3/2 = 15 euro. Prima dei 2 euro aggiuntivi della prima donazione ne restavano 17, pari alla metà iniziale: l'intero era 34 euro. Controllo: dona 17 + 2 = 19, restano 15; dona 5 + 3 = 8, restano 7.
25. Quattro quote successive
Un fondo viene distribuito così: A riceve 1/3 del totale; B riceve 1/4 di ciò che resta; C riceve 2/5 del nuovo resto; D riceve gli ultimi 90 euro. Quanto vale il fondo e quanto riceve ciascuno?
Suggerimento
La quota di D è il prodotto di tre frazioni rimaste.
Soluzione passo passo
Dopo A resta 2/3; dopo B resta (3/4) × (2/3) = 1/2 del fondo; dopo C resta (3/5) × (1/2) = 3/10. Quindi il fondo vale 90 × 10/3 = 300 euro. A riceve 100 euro; B riceve 1/4 di 200, cioè 50; C riceve 2/5 di 150, cioè 60; D riceve 90. Controllo: 100 + 50 + 60 + 90 = 300.
Per continuare con una proprietà sorprendente delle frazioni: Somme e prodotti telescopici: le frazioni che si cancellano.