Somme e prodotti telescopici: le frazioni che si cancellano

Una somma di frazioni può sembrare lunga e faticosa. A volte, invece di calcolare ogni termine separatamente, basta cambiare rappresentazione: le parti intermedie si eliminano e rimangono soltanto gli estremi. Lo stesso può accadere in un prodotto. Questo è il principio delle espressioni telescopiche.

1. L’idea fondamentale

Una somma è telescopica quando, dopo una scomposizione opportuna, quasi tutti gli addendi si cancellano a coppie. Cerchiamo termini consecutivi con segno opposto. La decomposizione più importante è 1/[k(k+1)] = 1/k − 1/(k+1), perché 1/k − 1/(k+1) = [(k+1)−k]/[k(k+1)] = 1/[k(k+1)].

Esempio 1 — La prima catena

Calcoliamo 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20. I denominatori sono 1·2, 2·3, 3·4, 4·5. Quindi la somma diventa (1−1/2) + (1/2−1/3) + (1/3−1/4) + (1/4−1/5). Si cancellano −1/2 con +1/2, poi −1/3 con +1/3 e −1/4 con +1/4. Resta 1−1/5 = 4/5.

Per n termini: Σ(k=1…n) 1/[k(k+1)] = 1 − 1/(n+1) = n/(n+1).

2. Salto di due: denominatori k(k+2)

Quando il secondo fattore è k+2, la stessa idea funziona con il coefficiente 1/2: 1/[k(k+2)] = (1/2)·[1/k − 1/(k+2)].

Esempio 2

1/(1·3) + 1/(3·5) + 1/(5·7) + 1/(7·9) diventa (1/2)[(1−1/3) + (1/3−1/5) + (1/5−1/7) + (1/7−1/9)]. Gli addendi intermedi si eliminano e rimane (1/2)(1−1/9) = (1/2)(8/9) = 4/9.

La formula generale con salto a

Per a ≠ 0, con denominatori non nulli, 1/[k(k+a)] = (1/a)·[1/k − 1/(k+a)]. È una macchina per costruire somme telescopiche. Bisogna però verificare che gli indici scelti colleghino davvero un termine al successivo.

Esempio 3 — Salto di tre

1/(1·4) + 1/(4·7) + 1/(7·10) diventa (1/3)[(1−1/4) + (1/4−1/7) + (1/7−1/10)] = (1/3)(1−1/10) = 3/10.

3. Telescopiche con le radici

Le somme con radici possono diventare telescopiche dopo una razionalizzazione. L’identità chiave è 1/[√(k+1)+√k] = √(k+1)−√k. Moltiplicando numeratore e denominatore per √(k+1)−√k, infatti, il denominatore diventa (k+1)−k=1.

Esempio 4

1/(1+√2) + 1/(√2+√3) + 1/(√3+2) si riscrive (√2−1) + (√3−√2) + (2−√3). Le radici intermedie si cancellano: 2−1=1.

Esempio 5 — Forma generale

Σ(k=1…n) 1/[√k+√(k+1)] diventa (√2−1)+(√3−√2)+⋯+(√(n+1)−√n). Di conseguenza Σ(k=1…n) 1/[√k+√(k+1)] = √(n+1)−1.

4. Tre fattori consecutivi

Anche con tre fattori consecutivi c’è una scomposizione utile: 1/[k(k+1)(k+2)] = (1/2)·{1/[k(k+1)] − 1/[(k+1)(k+2)]}.

Esempio 6

Calcoliamo 1/(1·2·3) + 1/(2·3·4) + 1/(3·4·5). Sostituendo otteniamo (1/2)[1/(1·2)−1/(2·3)] + (1/2)[1/(2·3)−1/(3·4)] + (1/2)[1/(3·4)−1/(4·5)]. I termini centrali si cancellano; rimane (1/2)[1/2−1/20] = (1/2)(9/20) = 9/40.

In generale Σ(k=1…n) 1/[k(k+1)(k+2)] = (1/2)[1/2 − 1/((n+1)(n+2))].

5. Differenze di quadrati

Quando compare n²−1, fattorizziamo: n²−1=(n−1)(n+1). Da qui 1/(n²−1) = (1/2)[1/(n−1)−1/(n+1)].

Esempio 7

Per 1/3 + 1/8 + 1/15 + 1/24 scriviamo 1/(2²−1)+1/(3²−1)+1/(4²−1)+1/(5²−1). La scomposizione produce due catene sfalsate: (1/2)[(1−1/3)+(1/2−1/4)+(1/3−1/5)+(1/4−1/6)]. Le parti −1/3 e +1/3, poi −1/4 e +1/4, si eliminano. Rimane (1/2)(1+1/2−1/5−1/6) = 17/30.

Nota di verifica: il PDF originale indica 7/10 nell’ultima riga di questo esempio. Il calcolo esatto, verificato anche sommando direttamente le quattro frazioni, è 17/30.

6. Anche i prodotti possono telescopare

Il principio non vale soltanto per le somme. Nei prodotti, fattori consecutivi possono cancellarsi fra numeratore e denominatore.

Esempio 8 — Il prodotto più semplice

(1−1/2)(1−1/3)(1−1/4)⋯(1−1/n). Ogni fattore è (k−1)/k. Quindi (1/2)(2/3)(3/4)⋯((n−1)/n) = 1/n.

Esempio 9 — Un prodotto con quadrati

Π(k=2…n)(1−1/k²). Scomponiamo 1−1/k² = (k²−1)/k² = [(k−1)/k]·[(k+1)/k]. Il prodotto si divide in due catene: [(1/2)(2/3)⋯((n−1)/n)] · [(3/2)(4/3)⋯((n+1)/n)]. La prima vale 1/n, la seconda (n+1)/2. Perciò Π(k=2…n)(1−1/k²) = (n+1)/(2n).

7. Come riconoscere una telescopica

1. Fattorizza i denominatori: cerca k(k+1), k(k+a) o (k−1)(k+1).
2. Scomponi in differenze: prova a riscrivere ogni frazione con due frazioni più semplici.
3. Razionalizza le radici: usa il coniugato di √(k+1)+√k.
4. Scrivi i primi termini: riconosci parti uguali con segno opposto.
5. Guarda gli estremi: spesso sono gli unici termini che restano.

Se la cancellazione non appare subito, scrivi esplicitamente tre o quattro termini consecutivi: la struttura diventa spesso evidente.

8. Esercizi

Prova a risolverli prima di aprire le soluzioni.

1. A. 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30
   Mostra la soluzione

   I denominatori sono k(k+1) per k=1,…,5. La somma vale 1−1/6 = 5/6.

2. B. 1/(1·4) + 1/(4·7) + 1/(7·10) + 1/(10·13)
   Mostra la soluzione

   Usiamo 1/[k(k+3)] = (1/3)(1/k−1/(k+3)). Rimane (1/3)(1−1/13) = 4/13.

3. C. 1/(1+√2) + 1/(√2+√3) + 1/(√3+2) + 1/(2+√5)
   Mostra la soluzione

   Ogni termine razionalizzato è una differenza di radici consecutive. Le parti interne si eliminano e resta √5−1.

4. D. 1/(1·2·3) + 1/(2·3·4) + 1/(3·4·5) + 1/(4·5·6)
   Mostra la soluzione

   La formula dei tre fattori dà (1/2)[1/(1·2)−1/(5·6)] = (1/2)(1/2−1/30) = 7/30.

5. E. (1−1/2)(1−1/3)(1−1/4)(1−1/5)(1−1/6)
   Mostra la soluzione

   Diventa (1/2)(2/3)(3/4)(4/5)(5/6) = 1/6.

6. F. Π(k=2…5)(1−1/k²)
   Mostra la soluzione

   Con (n+1)/(2n) e n=5 otteniamo 6/10 = 3/5.

Idea conclusiva

Il vero trucco non è fare più in fretta i conti, ma cambiare rappresentazione. Una frazione complicata può diventare una differenza; una radice può essere razionalizzata; un prodotto può essere fattorizzato. Quando compaiono termini consecutivi opposti, l’espressione si accorcia da sola.

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