Esta colección recorre triángulos, cuadriláteros, circunferencias, semejanza y un problema final de área máxima. Las primeras preguntas sirven para practicar fórmulas; las últimas exigen elegir una construcción o combinar varias ideas. Los dibujos quedan a tu cargo: trazarlos suele ser el primer paso hacia la solución.
Cómo utilizarla: intenta resolver cada problema en papel, indica las unidades y abre la solución solo después de probar. Cuando aparezca π, conserva el resultado exacto sin sustituirlo por 3,14. Todas las figuras son euclidianas y las longitudes son positivas.
Nivel básico — problemas 1–10
1. Un rectángulo a partir del perímetro
Un rectángulo tiene un perímetro de 46 cm y un lado de 8 cm. Halla el otro lado y el área.
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La suma de los dos lados es 46/2=23 cm. El otro lado mide 23−8=15 cm y el área es 8·15=120 cm².
2. Un cuadrado a partir de la diagonal
La diagonal de un cuadrado mide 10√2 cm. Halla su lado y su área.
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En un cuadrado d=l√2. Por tanto, l=10 cm y A=l²=100 cm².
3. Catetos de 9 y 12
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 9 y 12 cm. Calcula la hipotenusa y el área.
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Por Pitágoras c=√(9²+12²)=√225=15 cm. El área es (9·12)/2=54 cm².
4. Un triángulo isósceles
Un triángulo isósceles tiene los dos lados iguales de 13 cm y una base de 10 cm. Halla su altura y su área.
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La altura divide la base en dos segmentos de 5 cm. Por Pitágoras h=√(13²−5²)=12 cm. El área es 10·12/2=60 cm².
5. Un cuarto de círculo
Un sector circular tiene radio 7 cm y ángulo central de 90°. Halla su área y la longitud del arco.
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El sector es un cuarto del círculo. Área=(π·7²)/4=49π/4 cm²; longitud del arco=(2π·7)/4=7π/2 cm.
6. Un hexágono regular
Un hexágono regular tiene lado 6 cm. Calcula su perímetro y su área.
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El perímetro es 6·6=36 cm. El hexágono se divide en seis triángulos equiláteros de lado 6; cada uno tiene área 9√3 cm². El área total es 54√3 cm².
7. Triángulos semejantes
Un triángulo tiene lados de 3, 4 y 5 cm. Otro semejante tiene perímetro 48 cm. Halla sus lados y su área.
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El primer perímetro es 12 cm, así que la razón de semejanza es 48/12=4. Los lados son 12, 16 y 20 cm. El triángulo es rectángulo y su área es (12·16)/2=96 cm².
8. Trapecio y segmento medio
Un trapecio tiene bases de 10 y 18 cm y altura de 7 cm. Halla su área y la longitud del segmento medio.
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El segmento medio mide (10+18)/2=14 cm. Área=segmento medio · altura=14·7=98 cm².
9. Un rombo a partir de sus diagonales
Las diagonales de un rombo miden 10 y 24 cm. Halla su área y su perímetro.
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Área=(10·24)/2=120 cm². Las semidiagonales miden 5 y 12 cm y forman un triángulo rectángulo: lado=√(5²+12²)=13 cm. Perímetro=52 cm.
10. Un círculo dentro de un cuadrado
Un círculo está inscrito en un cuadrado de lado 12 cm. ¿Qué área del cuadrado queda fuera del círculo?
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El diámetro mide 12 cm, por lo que el radio es 6 cm. La diferencia de áreas es 12²−π·6²=144−36π cm².
Nivel intermedio — problemas 11–20
11. El triángulo 13–14–15
Un triángulo tiene lados de 13, 14 y 15 cm. Halla su área y la altura correspondiente al lado de 14 cm.
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El semiperímetro es s=(13+14+15)/2=21 cm. Con la fórmula de Herón A=√[21(21−13)(21−14)(21−15)]=√7056=84 cm². Como A=14h/2, h=12 cm.
12. Una cuerda
En una circunferencia de radio 13 cm, una cuerda dista 5 cm del centro. ¿Cuánto mide?
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La perpendicular trazada desde el centro divide la cuerda en dos partes iguales. La semicuerda mide √(13²−5²)=12 cm; la cuerda completa mide 24 cm.
13. Una corona circular
Dos círculos concéntricos tienen radios de 10 y 6 cm. Calcula el área de la corona entre ambos.
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Restamos las áreas: π·10²−π·6²=(100−36)π=64π cm².
14. Dos cuerdas que se cortan
Las cuerdas AB y CD se cortan en un punto interior P. Si AP=3 cm, PB=8 cm y CP=4 cm, halla PD.
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El teorema de las cuerdas que se cortan dice AP·PB=CP·PD. Entonces 3·8=4·PD y PD=6 cm.
15. Un cuadrilátero inscrito
Dos ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia miden (2x+10)° y (3x−5)°. Halla x y los dos ángulos.
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Los ángulos opuestos son suplementarios: (2x+10)+(3x−5)=180. Así, 5x+5=180 y x=35. Los ángulos miden 80° y 100°.
16. El baricentro
En una mediana de un triángulo, la distancia desde un vértice hasta el baricentro es de 10 cm. Halla la mediana completa y el tramo desde el baricentro hasta el punto medio del lado opuesto.
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El baricentro divide la mediana en razón 2:1 desde el vértice. Los 10 cm equivalen a dos partes; una parte mide 5 cm. La mediana completa mide 15 cm y el tramo restante 5 cm.
17. Una bisectriz interior
En el triángulo ABC, AB=6 cm, AC=9 cm y BC=10 cm. La bisectriz del ángulo A corta BC en D. Halla BD y DC.
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Por el teorema de la bisectriz BD:DC=AB:AC=6:9=2:3. Cinco partes forman BC=10 cm, así que una parte mide 2 cm: BD=4 cm y DC=6 cm.
18. Una tangente exterior común
Dos circunferencias tienen radios de 9 y 4 cm y sus centros están separados 13 cm. Halla la longitud del segmento de tangente exterior común entre los puntos de tangencia.
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Ese segmento, la distancia entre los centros y la diferencia de los radios forman un triángulo rectángulo. Su longitud es √[13²−(9−4)²]=√144=12 cm.
19. Un triángulo equilátero
Un triángulo equilátero tiene lado 12 cm. Halla su área, el radio del círculo inscrito y el del circunscrito.
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La altura es 12√3/2=6√3 cm. Área=12·6√3/2=36√3 cm². El centro divide la altura en razón 2:1: r=2√3 cm y R=4√3 cm.
20. Un cuadrado inscrito en una circunferencia
Una circunferencia tiene radio 5 cm. ¿Cuál es el área del cuadrado cuyos cuatro vértices están sobre ella?
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La diagonal del cuadrado es el diámetro: 10 cm. El lado es 10/√2=5√2 cm y el área es (5√2)²=50 cm².
Nivel avanzado — problemas 21–25
21. Dos radios en el triángulo 13–14–15
Considera de nuevo el triángulo de lados 13, 14 y 15 cm. Halla los radios de sus círculos inscrito y circunscrito.
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Por el problema 11, A=84 cm² y s=21 cm. Como A=rs, el radio inscrito es r=84/21=4 cm. De A=abc/(4R) obtenemos R=(13·14·15)/(4·84)=65/8 cm.
22. Perímetro y diagonal de un rectángulo
Un rectángulo tiene perímetro 34 cm y diagonal 13 cm. Determina sus lados y su área.
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Si los lados son a,b, entonces a+b=17 y a²+b²=169. De (a+b)²=a²+b²+2ab resulta 289=169+2ab y ab=60. Los lados son las raíces de t²−17t+60=0: 5 y 12 cm; el área es 60 cm².
23. La cuerda común a dos círculos
Dos circunferencias del mismo radio, 5 cm, tienen sus centros separados 6 cm y se cortan. Halla la longitud de su cuerda común.
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La cuerda común es perpendicular a la línea de los centros y, por simetría, la corta en su punto medio, a 3 cm de cada centro. La semicuerda mide √(5²−3²)=4 cm; la cuerda mide 8 cm.
24. Un cuadrado dentro de un triángulo rectángulo
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 6 y 8 cm. Un cuadrado tiene un vértice en el ángulo recto, dos lados sobre los catetos y el vértice opuesto en la hipotenusa. Halla el lado y el área del cuadrado.
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Sea s el lado del cuadrado. La recta de la hipotenusa corta los ejes a 6 y 8 cm: un punto (s,s) de esa recta cumple s/6+s/8=1. Por tanto, 7s/24=1 y s=24/7 cm. El área es s²=576/49 cm².
25. El mayor rectángulo en un semicírculo
Un rectángulo tiene su base sobre el diámetro de un semicírculo de radio 5 cm y sus dos vértices superiores sobre el arco. ¿Cuál es su mayor área posible?
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Llamemos x a la mitad de la base e y a la altura. Pitágoras da x²+y²=25 y el área es A=2xy. Como (x−y)²≥0, resulta 2xy≤x²+y²=25. Hay igualdad para x=y=5/√2: el área máxima es 25 cm².
Una estrategia común
Antes de buscar una fórmula, pregúntate qué segmento, ángulo o área puedes deducir de los datos. A veces basta con trazar una altura; otras veces hace falta una semejanza, una propiedad del círculo o una desigualdad. La geometría también es el arte de elegir el dibujo adecuado.