Ce recueil parcourt les triangles, les quadrilatères, les cercles, la similitude et un dernier problème de maximisation. Les premières questions entraînent aux formules ; les suivantes demandent de choisir une construction ou de combiner plusieurs idées. Les dessins vous sont laissés : les tracer est souvent le premier pas vers la solution.
Mode d’emploi : essayez chaque problème sur papier, indiquez les unités et n’ouvrez la solution qu’après avoir cherché. Quand π apparaît, gardez le résultat exact sans le remplacer par 3,14. Toutes les figures sont euclidiennes et les longueurs sont positives.
Niveau de base — problèmes 1–10
1. Un rectangle et son périmètre
Un rectangle a un périmètre de 46 cm et un côté de 8 cm. Trouvez l’autre côté et son aire.
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La somme des deux côtés vaut 46/2=23 cm. L’autre côté mesure 23−8=15 cm ; l’aire vaut 8·15=120 cm².
2. Un carré et sa diagonale
La diagonale d’un carré mesure 10√2 cm. Trouvez son côté et son aire.
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Dans un carré d=l√2. Donc l=10 cm et A=l²=100 cm².
3. Des côtés de 9 et 12
Un triangle rectangle a des côtés de l’angle droit mesurant 9 cm et 12 cm. Calculez son hypoténuse et son aire.
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Par Pythagore c=√(9²+12²)=√225=15 cm. Son aire vaut (9·12)/2=54 cm².
4. Un triangle isocèle
Un triangle isocèle a deux côtés égaux de 13 cm et une base de 10 cm. Trouvez sa hauteur et son aire.
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La hauteur partage la base en deux segments de 5 cm. Par Pythagore h=√(13²−5²)=12 cm. Son aire vaut 10·12/2=60 cm².
5. Un quart de disque
Un secteur circulaire a un rayon de 7 cm et un angle au centre de 90°. Trouvez son aire et la longueur de son arc.
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Le secteur est un quart du disque. Aire=(π·7²)/4=49π/4 cm² ; longueur de l’arc=(2π·7)/4=7π/2 cm.
6. Un hexagone régulier
Un hexagone régulier a un côté de 6 cm. Calculez son périmètre et son aire.
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Le périmètre vaut 6·6=36 cm. On peut partager l’hexagone en six triangles équilatéraux de côté 6 ; chacun a une aire de 9√3 cm². L’aire totale est 54√3 cm².
7. Des triangles semblables
Un triangle a des côtés de 3, 4 et 5 cm. Un triangle semblable a un périmètre de 48 cm. Trouvez ses côtés et son aire.
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Le premier périmètre vaut 12 cm ; le rapport de similitude est 48/12=4. Les côtés sont 12, 16 et 20 cm. Le triangle est rectangle et son aire vaut (12·16)/2=96 cm².
8. Trapèze et segment médian
Un trapèze a des bases de 10 et 18 cm et une hauteur de 7 cm. Trouvez son aire et la longueur du segment médian.
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Le segment médian vaut (10+18)/2=14 cm. Aire=segment médian · hauteur=14·7=98 cm².
9. Un losange et ses diagonales
Les diagonales d’un losange mesurent 10 et 24 cm. Trouvez son aire et son périmètre.
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Aire=(10·24)/2=120 cm². Les demi-diagonales valent 5 et 12 cm et forment un triangle rectangle : le côté vaut √(5²+12²)=13 cm. Le périmètre est 52 cm.
10. Un cercle dans un carré
Un cercle est inscrit dans un carré de côté 12 cm. Quelle aire du carré reste à l’extérieur du cercle ?
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Le diamètre vaut 12 cm, donc le rayon vaut 6 cm. La différence des aires est 12²−π·6²=144−36π cm².
Niveau intermédiaire — problèmes 11–20
11. Le triangle 13–14–15
Un triangle a des côtés de 13, 14 et 15 cm. Trouvez son aire et la hauteur relative au côté de 14 cm.
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Son demi-périmètre vaut s=(13+14+15)/2=21 cm. Avec la formule de Héron A=√[21(21−13)(21−14)(21−15)]=√7056=84 cm². Puisque A=14h/2, h=12 cm.
12. Une corde
Dans un cercle de rayon 13 cm, une corde se trouve à 5 cm du centre. Quelle est sa longueur ?
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La perpendiculaire issue du centre partage la corde en deux. La demi-corde vaut √(13²−5²)=12 cm ; la corde entière vaut 24 cm.
13. Une couronne circulaire
Deux cercles concentriques ont des rayons de 10 et 6 cm. Calculez l’aire de la région située entre eux.
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Soustrayons les aires : π·10²−π·6²=(100−36)π=64π cm².
14. Deux cordes sécantes
Les cordes AB et CD se coupent en un point intérieur P. Si AP=3 cm, PB=8 cm et CP=4 cm, trouvez PD.
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Le théorème des cordes sécantes donne AP·PB=CP·PD. Donc 3·8=4·PD et PD=6 cm.
15. Un quadrilatère inscrit
Deux angles opposés d’un quadrilatère inscrit dans un cercle mesurent (2x+10)° et (3x−5)°. Trouvez x et les deux angles.
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Les angles opposés sont supplémentaires : (2x+10)+(3x−5)=180. Ainsi 5x+5=180 et x=35. Les angles mesurent 80° et 100°.
16. Le centre de gravité
Sur une médiane d’un triangle, la distance entre un sommet et le centre de gravité est de 10 cm. Trouvez la médiane entière et le segment qui relie le centre au milieu du côté opposé.
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Le centre de gravité partage la médiane dans le rapport 2:1 à partir du sommet. Les 10 cm représentent deux parts : une part vaut 5 cm. La médiane mesure 15 cm et le segment restant 5 cm.
17. Une bissectrice intérieure
Dans le triangle ABC, AB=6 cm, AC=9 cm et BC=10 cm. La bissectrice de l’angle A coupe BC en D. Trouvez BD et DC.
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Selon le théorème de la bissectrice BD:DC=AB:AC=6:9=2:3. Cinq parts forment BC=10 cm, donc une part vaut 2 cm : BD=4 cm et DC=6 cm.
18. Une tangente extérieure commune
Deux cercles de rayons 9 et 4 cm ont leurs centres distants de 13 cm. Trouvez la longueur du segment de tangente extérieure commune compris entre les points de tangence.
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Ce segment, la distance entre les centres et la différence des rayons forment un triangle rectangle. Sa longueur est √[13²−(9−4)²]=√144=12 cm.
19. Un triangle équilatéral
Un triangle équilatéral a un côté de 12 cm. Trouvez son aire, le rayon de son cercle inscrit et celui de son cercle circonscrit.
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La hauteur vaut 12√3/2=6√3 cm. Aire=12·6√3/2=36√3 cm². Le centre partage la hauteur dans le rapport 2:1 : r=2√3 cm et R=4√3 cm.
20. Un carré inscrit dans un cercle
Un cercle a un rayon de 5 cm. Quelle est l’aire du carré dont les quatre sommets sont sur le cercle ?
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La diagonale du carré est le diamètre, soit 10 cm. Son côté vaut 10/√2=5√2 cm et son aire est (5√2)²=50 cm².
Niveau avancé — problèmes 21–25
21. Deux rayons du triangle 13–14–15
Reprenez le triangle de côtés 13, 14 et 15 cm. Trouvez les rayons de ses cercles inscrit et circonscrit.
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D’après le problème 11, A=84 cm² et s=21 cm. Puisque A=rs, le rayon inscrit est r=84/21=4 cm. Avec A=abc/(4R), on obtient R=(13·14·15)/(4·84)=65/8 cm.
22. Périmètre et diagonale d’un rectangle
Un rectangle a un périmètre de 34 cm et une diagonale de 13 cm. Déterminez ses côtés et son aire.
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Si ses côtés sont a,b, alors a+b=17 et a²+b²=169. De (a+b)²=a²+b²+2ab, on déduit 289=169+2ab, donc ab=60. Les côtés sont les racines de t²−17t+60=0 : 5 et 12 cm ; l’aire vaut 60 cm².
23. La corde commune de deux cercles
Deux cercles de même rayon 5 cm ont leurs centres distants de 6 cm et se coupent. Trouvez la longueur de leur corde commune.
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La corde commune est perpendiculaire à la droite des centres et, par symétrie, la coupe en son milieu, à 3 cm de chaque centre. Sa demi-longueur vaut √(5²−3²)=4 cm ; la corde mesure 8 cm.
24. Un carré dans un triangle rectangle
Un triangle rectangle a des côtés de l’angle droit de 6 et 8 cm. Un carré a un sommet à l’angle droit, deux côtés sur les côtés du triangle et son sommet opposé sur l’hypoténuse. Trouvez son côté et son aire.
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Notons s le côté du carré. La droite de l’hypoténuse coupe les axes à 6 et 8 cm : un point (s,s) de cette droite vérifie s/6+s/8=1. Donc 7s/24=1 et s=24/7 cm. Son aire vaut s²=576/49 cm².
25. Le plus grand rectangle dans un demi-cercle
La base d’un rectangle est sur le diamètre d’un demi-cercle de rayon 5 cm et ses deux sommets supérieurs sont sur l’arc. Quelle est son aire maximale ?
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Notons x la demi-base et y la hauteur. Pythagore donne x²+y²=25 et l’aire vaut A=2xy. Comme (x−y)²≥0, nous avons 2xy≤x²+y²=25. L’égalité est atteinte pour x=y=5/√2 : l’aire maximale est 25 cm².
Une stratégie commune
Avant de chercher une formule, demandez-vous quel segment, angle ou aire vous pouvez déduire des données. Parfois il suffit de tracer une hauteur ; ailleurs il faut une similitude, un théorème sur le cercle ou une inégalité. La géométrie est aussi l’art de choisir le bon dessin.