Questa raccolta attraversa triangoli, quadrilateri, circonferenze, similitudine e un problema finale di massimo. I primi quesiti allenano le formule; quelli successivi richiedono di scegliere una costruzione o combinare più idee. I disegni sono lasciati a te: tracciarli è spesso il primo passo della soluzione.
Come usarla: prova ogni problema su carta, indica le unità di misura e apri la soluzione soltanto alla fine. Quando compare π, lascia il risultato esatto, senza sostituire 3,14. Tutte le figure sono euclidee e le lunghezze sono positive.
Livello base — problemi 1–10
1. Il rettangolo dal perimetro
Un rettangolo ha perimetro 46 cm e un lato di 8 cm. Trova l’altro lato e l’area.
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La somma dei due lati è 46/2=23 cm. L’altro lato misura 23−8=15 cm; l’area è 8·15=120 cm².
2. Il quadrato dalla diagonale
La diagonale di un quadrato è 10√2 cm. Quanto misurano il lato e l’area?
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Nel quadrato d=l√2. Quindi l=10 cm e A=l²=100 cm².
3. Cateti 9 e 12
Un triangolo rettangolo ha cateti di 9 cm e 12 cm. Calcola ipotenusa e area.
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Per Pitagora c=√(9²+12²)=√225=15 cm. L’area è (9·12)/2=54 cm².
4. Il triangolo isoscele
Un triangolo isoscele ha lati obliqui di 13 cm e base di 10 cm. Trova altezza e area.
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L’altezza dimezza la base in due segmenti di 5 cm. Per Pitagora h=√(13²−5²)=12 cm. L’area è 10·12/2=60 cm².
5. Un quarto di disco
Un settore circolare ha raggio 7 cm e angolo al centro di 90°. Trova area e lunghezza dell’arco.
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Il settore è un quarto del cerchio. Area=(π·7²)/4=49π/4 cm²; arco=(2π·7)/4=7π/2 cm.
6. Esagono regolare
Un esagono regolare ha lato di 6 cm. Calcola perimetro e area.
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Il perimetro è 6·6=36 cm. L’esagono si divide in sei triangoli equilateri di lato 6; ciascuno ha area 9√3 cm². L’area totale è 54√3 cm².
7. Triangoli simili
Un triangolo ha lati 3, 4 e 5 cm. Un triangolo simile ha perimetro 48 cm. Trova i suoi lati e la sua area.
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Il primo perimetro è 12 cm, quindi il fattore di scala è 48/12=4. I lati sono 12, 16 e 20 cm. Il triangolo è rettangolo: area=(12·16)/2=96 cm².
8. Trapezio e linea mediana
Un trapezio ha basi di 10 e 18 cm e altezza di 7 cm. Trova area e lunghezza della linea mediana.
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La linea mediana è (10+18)/2=14 cm. L’area è linea mediana · altezza =14·7=98 cm².
9. Rombo dalle diagonali
Le diagonali di un rombo misurano 10 e 24 cm. Trova area e perimetro.
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Area=(10·24)/2=120 cm². Le semidiagonali sono 5 e 12 cm e formano un triangolo rettangolo: lato=√(5²+12²)=13 cm. Perimetro=52 cm.
10. Cerchio nel quadrato
Un cerchio è inscritto in un quadrato di lato 12 cm. Quale area del quadrato resta fuori dal cerchio?
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Il diametro del cerchio è 12 cm, dunque il raggio è 6 cm. La differenza delle aree è 12²−π·6²=144−36π cm².
Livello intermedio — problemi 11–20
11. Il triangolo 13–14–15
Un triangolo ha lati 13, 14 e 15 cm. Trova area e altezza relativa al lato di 14 cm.
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Il semiperimetro è s=(13+14+15)/2=21 cm. Con la formula di Erone A=√[21(21−13)(21−14)(21−15)]=√7056=84 cm². Poiché A=14h/2, h=12 cm.
12. Una corda
In una circonferenza di raggio 13 cm, una corda dista 5 cm dal centro. Quanto è lunga?
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La perpendicolare dal centro dimezza la corda. La semicorda è √(13²−5²)=12 cm; la corda intera è 24 cm.
13. Corona circolare
Due cerchi concentrici hanno raggi 10 e 6 cm. Calcola l’area della corona fra essi.
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Sottrai le aree: π·10²−π·6²=(100−36)π=64π cm².
14. Due corde che si incontrano
Due corde AB e CD si intersecano nel punto interno P. Se AP=3 cm, PB=8 cm e CP=4 cm, trova PD.
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Il teorema delle corde intersecanti dà AP·PB=CP·PD. Quindi 3·8=4·PD e PD=6 cm.
15. Quadrilatero inscritto
Due angoli opposti di un quadrilatero inscritto in una circonferenza misurano (2x+10)° e (3x−5)°. Trova x e i due angoli.
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Gli angoli opposti sono supplementari: (2x+10)+(3x−5)=180. Dunque 5x+5=180, x=35. Gli angoli sono 80° e 100°.
16. Il baricentro
In un triangolo, la distanza fra un vertice e il baricentro è 10 cm lungo una mediana. Trova l’intera mediana e il tratto fra baricentro e punto medio del lato opposto.
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Il baricentro divide la mediana nel rapporto 2:1 a partire dal vertice. I 10 cm sono due parti: una parte vale 5 cm. La mediana intera misura 15 cm; il tratto restante misura 5 cm.
17. Bisettrice interna
Nel triangolo ABC, AB=6 cm, AC=9 cm e BC=10 cm. La bisettrice dell’angolo A incontra BC in D. Trova BD e DC.
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Per il teorema della bisettrice BD:DC=AB:AC=6:9=2:3. Le cinque parti formano BC=10 cm, quindi una parte è 2 cm: BD=4 cm e DC=6 cm.
18. Tangente comune esterna
Due circonferenze di raggi 9 e 4 cm hanno centri distanti 13 cm. Trova la lunghezza del segmento di tangente comune esterna compreso fra i punti di tangenza.
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Il segmento cercato, la distanza fra i centri e la differenza dei raggi formano un triangolo rettangolo. La lunghezza è √[13²−(9−4)²]=√144=12 cm.
19. Triangolo equilatero
Un triangolo equilatero ha lato 12 cm. Trova area, raggio del cerchio inscritto e raggio del cerchio circoscritto.
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L’altezza è 12√3/2=6√3 cm. Area=12·6√3/2=36√3 cm². Il centro divide l’altezza nel rapporto 2:1: r=2√3 cm e R=4√3 cm.
20. Quadrato inscritto in una circonferenza
Una circonferenza ha raggio 5 cm. Qual è l’area del quadrato i cui quattro vertici stanno sulla circonferenza?
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La diagonale del quadrato è il diametro: 10 cm. Il lato è 10/√2=5√2 cm e l’area è (5√2)²=50 cm².
Livello avanzato — problemi 21–25
21. Due raggi nel triangolo 13–14–15
Riprendi il triangolo di lati 13, 14 e 15 cm. Trova il raggio del cerchio inscritto e quello del cerchio circoscritto.
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Dal problema 11 sappiamo che A=84 cm² e s=21 cm. Poiché A=rs, il raggio inscritto è r=84/21=4 cm. Dalla formula A=abc/(4R), R=(13·14·15)/(4·84)=65/8 cm.
22. Perimetro e diagonale del rettangolo
Un rettangolo ha perimetro 34 cm e diagonale 13 cm. Determina i lati e l’area.
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Se i lati sono a,b, allora a+b=17 e a²+b²=169. Da (a+b)²=a²+b²+2ab segue 289=169+2ab, dunque ab=60. I lati sono le radici di t²−17t+60=0: 5 e 12 cm; l’area è 60 cm².
23. La corda comune a due cerchi
Due circonferenze dello stesso raggio 5 cm hanno i centri distanti 6 cm e si intersecano. Trova la lunghezza della loro corda comune.
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La corda comune è perpendicolare alla linea dei centri e, per simmetria, la incontra nel suo punto medio: 3 cm da ciascun centro. La semicorda misura √(5²−3²)=4 cm; la corda misura 8 cm.
24. Un quadrato nel triangolo rettangolo
Un triangolo rettangolo ha cateti di 6 e 8 cm. Un quadrato ha un vertice nell’angolo retto, due lati lungo i cateti e il vertice opposto sull’ipotenusa. Trova lato e area del quadrato.
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Chiama s il lato del quadrato. La retta dell’ipotenusa incontra gli assi a 6 e 8 cm: per un punto (s,s) su essa vale s/6+s/8=1. Quindi 7s/24=1, s=24/7 cm. L’area è s²=576/49 cm².
25. Il rettangolo più grande nel semicerchio
Un rettangolo ha la base sul diametro di un semicerchio di raggio 5 cm e i due vertici superiori sull’arco. Qual è la massima area possibile?
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Indichiamo con x la metà della base e con y l’altezza. Pitagora dà x²+y²=25; l’area è A=2xy. Poiché (x−y)²≥0, si ha 2xy≤x²+y²=25. L’uguaglianza vale per x=y=5/√2: l’area massima è 25 cm².
Una strategia comune
Prima di cercare una formula, chiediti quale segmento, angolo o area puoi ricavare dai dati. A volte basta tracciare un’altezza; altre volte serve una similitudine, una proprietà del cerchio o una disuguaglianza. La geometria è anche l’arte di scegliere il disegno giusto.