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El método de las partes: 25 problemas ilustrados de primaria a secundaria

Resolver problemas con partes iguales y diagramas de barras: explicaciones sencillas, 25 ejercicios progresivos y soluciones razonadas que se abren con un clic.

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El método de las partes: 25 problemas ilustrados de primaria a secundaria

30 min

Un problema parece más fácil cuando puedes verlo. El método de las partes, también llamado método de los segmentos, representa las cantidades mediante grupos de rectángulos iguales. Primero se halla el valor de un rectángulo y después se reconstruyen las cantidades pedidas: a menudo no hacen falta ecuaciones ni tanteos.

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Sección: Aritmética

Documento de partida: El método de las partes, de primaria a secundaria (PDF en italiano). El recorrido conserva la explicación y los 12 problemas del documento facilitado, añade 13 problemas nuevos y desarrolla cada solución. Los problemas se reordenan por dificultad; se aclaran los casos con edades fraccionarias o cantidades que no pueden pagarse exactamente en céntimos.

1. La idea: dibuja una parte, no cada objeto

Marco y Luca tienen 40 cromos en total. Marco tiene el triple que Luca. ¿Cuántos tiene cada uno? Si Luca ocupa 1 parte, Marco ocupa 3 partes iguales a la de Luca. No significa que Luca tenga 1 cromo y Marco 3: todavía no sabemos cuánto vale una parte.

Las partes totales son 1 + 3 = 4. Por tanto, una parte vale 40 : 4 = 10 cromos. Luca tiene 1 × 10 = 10 y Marco 3 × 10 = 30. Comprobación: 10 + 30 = 40 y 30 = 3 × 10.

Luca tiene una parte de 10 cromos; Marco tres partes de 10, para un total de 40.
Una parte para Luca y tres para Marco: cuatro partes iguales en total.

La pregunta decisiva es siempre: ¿qué dato corresponde a cuántas partes? Solo después de responder se divide.

2. Los tres casos fundamentales

Conoces la suma: suma las partes

Dos hermanos tienen 56 € en total. El mayor posee el triple del dinero del menor. Las partes son 3 y 1: 56 : (3 + 1) = 14 € por parte. El mayor tiene 3 × 14 = 42 € y el menor 14 €. El total, no la diferencia, representa cuatro partes.

Tres partes de 14 euros para el mayor y una para el menor: 42 y 14 euros.
Suma conocida: divide entre 3 + 1.

Conoces la diferencia: resta las partes

Un segmento mide cinco veces lo que otro. La diferencia es 32 cm. Las partes son 5 y 1; las partes de más son 5 − 1 = 4. Así, 32 : (5 − 1) = 8 cm por parte. Los segmentos miden 5 × 8 = 40 cm y 8 cm. Comprobación: 40 − 8 = 32.

El segmento largo tiene cinco partes de 8 centímetros y el corto una: diferencia 32 centímetros.
La diferencia real corresponde solo a las cuatro partes de más.

Conoces una cantidad: utiliza sus partes

En una clase, el número de chicas es 4/3 del número de chicos y hay 12 chicos. Las chicas ocupan 4 partes y los chicos 3. Una parte vale 12 : 3 = 4 alumnos; las chicas son 4 × 4 = 16. No dividas entre 7: 12 no es el total de la clase.

Chicas: cuatro partes de 4 alumnas. Chicos: tres partes de 4 alumnos.
Los 12 alumnos conocidos corresponden a las tres partes de los chicos.

3. En secundaria: una fracción es una razón entre partes

Escribir AC = (7/5) CB no significa que AC mida 7 cm y CB 5 cm. Significa que AC contiene 7 partes y CB 5 partes del mismo tamaño. Si AC supera a CB en 10,8 cm, esas dos partes de más valen exactamente 10,8 cm.

(7 − 5) partes = 10,8 cm; por tanto, 1 parte = 10,8 : 2 = 5,4 cm. Reconstruimos: AC = 7 × 5,4 = 37,8 cm, CB = 5 × 5,4 = 27 cm. Comprobación: 37,8 − 27 = 10,8 y 37,8 : 27 = 7 : 5.

AC contiene siete partes de 5,4 centímetros y CB cinco: 37,8 y 27 centímetros.
La razón 7 : 5 indica el número de partes, no una longitud en centímetros.

Si dos cantidades A y B están en la razón a : b, esta tabla da el valor de una parte:

Dato conocidoValor de una parte
Suma SS : (a + b)
Diferencia D, con a > bD : (a − b)
Primera cantidad AA : a
Segunda cantidad BB : b

Una vez hallada una parte, multiplica por a y por b. Si son tres cantidades, por ejemplo 1, 2 y 6 partes, la suma contiene 1 + 2 + 6 partes. Comprueba antes que todas las partes representan realmente la misma cantidad.

4. El procedimiento en cinco pasos

  1. Lee: ¿qué conoces y qué debes encontrar? Subraya las unidades.
  2. Dibuja: traduce doble, triple o una fracción a partes iguales.
  3. Relaciona: ¿el dato es una suma, una diferencia o una sola cantidad?
  4. Calcula: halla una parte y después todas las cantidades pedidas.
  5. Comprueba: verifica tanto el dato numérico como la razón del enunciado. Responde con la unidad correcta.

Atención a las palabras: «el triple» significa tres veces, mientras que «3 más» indica una diferencia de 3 unidades. En un rectángulo, perímetro = 2 × (base + altura): para sumar las partes de base y altura, divide antes el perímetro entre 2. Con monedas de valores distintos, contar monedas no equivale a sumar euros.

La razón no siempre se cumple al principio. Si ambos envejecen o reciben el mismo regalo, la diferencia no cambia. Si una cantidad pasa de un grupo a otro, el total no cambia. Busca primero la magnitud que permanece igual y aplica después el método a la situación pedida.

25 problemas con dibujos y soluciones desplegables

Lee el enunciado, observa el esquema e inténtalo en tu cuaderno. Dentro de un modelo, los rectángulos que representan la misma parte tienen el mismo valor. Los colores distinguen cantidades, no cambian el valor de una parte. El signo de interrogación no significa cero. Pulsa Mostrar la solución y el dibujo resuelto después de intentarlo; pulsa otra vez para cerrar. Los esquemas son modelos, no dibujos que debas medir con una regla.

Nivel 1 - Primaria: partes iguales y datos sencillos

  1. Los caramelos

    Anna y Pietro tienen 48 caramelos en total. Anna tiene el doble que Pietro. ¿Cuántos tiene cada uno?

    Anna ocupa dos partes iguales y Pietro una; juntos tienen 48 caramelos.
    Dos partes más una: el total corresponde a tres partes.
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    Las partes son 2 para Anna y 1 para Pietro: 2 + 1 = 3. Una parte vale 48 : 3 = 16 caramelos.

    Anna: 2 × 16 = 32 caramelos. Pietro: 1 × 16 = 16. Respuesta: Anna 32, Pietro 16.

    Comprobación: 32 + 16 = 48 y 32 = 2 × 16.

    Una parte vale 16 caramelos: Anna 32, Pietro 16.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

  2. Las bolsas de galletas

    Dos bolsas contienen 35 galletas en total. La grande contiene cuatro veces las galletas de la pequeña. ¿Cuántas contiene cada bolsa?

    La bolsa grande ocupa cuatro partes y la pequeña una; total 35 galletas.
    La bolsa pequeña es la unidad de comparación.
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    Contamos 4 + 1 = 5 partes. Una parte vale 35 : 5 = 7 galletas.

    La grande contiene 4 × 7 = 28; la pequeña 7. Respuesta: 28 y 7 galletas.

    Comprobación: 28 + 7 = 35 y 28 : 7 = 4.

    Una parte vale 7 galletas: grande 28, pequeña 7.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

  3. Los ahorros

    Un niño tiene 24 € más que su hermana y el triple de sus ahorros. ¿Cuánto tiene cada uno?

    Tres partes para el niño y una para su hermana: las dos partes de más valen 24 euros.
    El dato conocido es la diferencia, no el total.
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    Las partes de más son 3 − 1 = 2. Una parte vale 24 : 2 = 12 €.

    El niño tiene 3 × 12 = 36 € y la hermana 12 €. Respuesta: 36 € y 12 €.

    Comprobación: 36 − 12 = 24 y 36 = 3 × 12.

    Una parte vale 12 euros: niño 36 euros y hermana 12 euros.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

  4. Los libros de Giulia y Leo

    Giulia tiene 12 libros, el triple que Leo. ¿Cuántos libros tiene Leo?

    Los 12 libros de Giulia representan tres partes; Leo tiene una parte.
    La cantidad conocida pertenece a Giulia y representa tres partes.
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    Los 12 libros corresponden a las 3 partes de Giulia, no al total de ambos. Una parte vale 12 : 3 = 4 libros.

    Leo tiene una parte: 4 libros. Comprobación: 3 × 4 = 12.

    Una parte vale 4 libros: Giulia 12, Leo 4.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

  5. Los árboles

    En un jardín hay 72 árboles, todos pinos u olivos. Los pinos son cinco veces los olivos. ¿Cuántos hay de cada tipo?

    Cinco partes de pinos y una de olivos, para un total de 72 árboles.
    Seis partes iguales forman el jardín.
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    Las partes totales son 5 + 1 = 6. Una parte vale 72 : 6 = 12 árboles.

    Pinos: 5 × 12 = 60. Olivos: 12. Respuesta: 60 pinos y 12 olivos.

    Comprobación: 60 + 12 = 72 y 60 = 5 × 12.

    Una parte vale 12 árboles: 60 pinos y 12 olivos.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

  6. Las dos cintas

    Una cinta mide cuatro veces lo que otra. La larga supera a la corta en 18 cm. ¿Cuánto mide cada una?

    Cuatro partes y una parte: las tres partes de diferencia miden 18 centímetros.
    La diferencia corresponde a tres partes.
    Mostrar la solución y el dibujo resuelto

    La diferencia de partes es 4 − 1 = 3. Una parte mide 18 : 3 = 6 cm.

    La larga mide 4 × 6 = 24 cm y la corta 6 cm. Respuesta: 24 cm y 6 cm.

    Comprobación: 24 − 6 = 18 y 24 = 4 × 6.

    Una parte mide 6 centímetros: las cintas miden 24 y 6 centímetros.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

  7. Tres cajas de lápices

    Tres cajas contienen 60 lápices en total. La segunda contiene el doble que la primera y la tercera el triple que la primera. ¿Cuántos contiene cada caja?

    Las cajas ocupan una, dos y tres partes; total 60 lápices.
    Las dos comparaciones toman como referencia la primera caja.
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    Las partes son 1, 2 y 3: 1 + 2 + 3 = 6. Una parte vale 60 : 6 = 10 lápices.

    Las cajas contienen 10, 20 y 30 lápices. Comprobación: 10 + 20 + 30 = 60; la segunda tiene el doble y la tercera el triple de la primera.

    Una parte vale 10 lápices: primera 10, segunda 20, tercera 30.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

  8. Las canicas rojas

    Una bolsa contiene 40 canicas, todas rojas o azules. Los 3/5 son rojos. ¿Cuántas canicas hay de cada color?

    El total se divide en cinco partes: tres rojas y dos azules.
    Si el total tiene cinco partes, las no rojas son 5 − 3.
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    El denominador 5 indica cuántas partes forman el total. Una parte vale 40 : 5 = 8 canicas.

    Rojas: 3 × 8 = 24. Azules: (5 − 3) × 8 = 16. Respuesta: 24 rojas y 16 azules.

    Comprobación: 24 + 16 = 40 y 24/40 = 3/5.

    Una parte vale 8 canicas: 24 rojas y 16 azules.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

  9. Cromos: suma y diferencia

    Sara y Paolo tienen 54 cromos en total. Sara tiene 14 más que Paolo. ¿Cuántos tiene cada uno?

    Ambos tienen una parte igual desconocida; Sara tiene además 14 cromos.
    El rectángulo adicional de 14 es un dato conocido, no otra parte igual.
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    Apartamos los 14 cromos adicionales de Sara. Quedan 54 − 14 = 40 cromos repartidos en dos cantidades iguales.

    Una parte vale 40 : 2 = 20. Paolo tiene 20; Sara 20 + 14 = 34. Respuesta: Sara 34, Paolo 20.

    Comprobación: 34 + 20 = 54 y 34 − 20 = 14.

    Las dos partes iguales valen 20 cromos cada una; Sara tiene además 14: 34 y 20.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

  10. Las tres bandejas

    Se reparten 45 pastelitos en tres bandejas en la razón 2 : 3 : 4. ¿Cuántos se ponen en cada una?

    Las bandejas ocupan dos, tres y cuatro partes del mismo valor.
    La razón reparte el total en nueve partes iguales.
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    Las partes totales son 2 + 3 + 4 = 9. Una parte vale 45 : 9 = 5 pasteles.

    Se colocan 2 × 5 = 10, 3 × 5 = 15 y 4 × 5 = 20 pasteles. Respuesta: 10, 15 y 20.

    Comprobación: 10 + 15 + 20 = 45 y 10 : 15 : 20 = 2 : 3 : 4.

    Una parte vale 5 pasteles: en las bandejas 10, 15 y 20.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

Nivel 2 - Secundaria: fracciones, razones y geometría

  1. Dos segmentos y su suma

    Dos segmentos suman 84 cm. El primero es los 4/3 del segundo. Calcula sus longitudes.

    El primer segmento ocupa cuatro partes y el segundo tres; la suma es 84 centímetros.
    4/3 del segundo significa cuatro partes frente a tres, no cuatro centímetros frente a tres.
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    Las partes son 4 y 3. Una parte mide 84 : (4 + 3) = 12 cm.

    Primer segmento: 4 × 12 = 48 cm. Segundo: 3 × 12 = 36 cm. Respuesta: 48 cm y 36 cm.

    Comprobación: 48 + 36 = 84 y 48/36 = 4/3.

    Una parte mide 12 centímetros: primero 48 y segundo 36.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

  2. Dos números y su diferencia

    Dos números difieren en 45. El mayor es los 8/5 del menor. Encuentra los números.

    Ocho partes y cinco partes: las tres partes de diferencia valen 45.
    El dato conocido corresponde a las partes de más, no a las trece partes.
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    La diferencia representa 8 − 5 = 3 partes. Una parte vale 45 : 3 = 15.

    Mayor: 8 × 15 = 120. Menor: 5 × 15 = 75. Respuesta: 120 y 75.

    Comprobación: 120 − 75 = 45 y 120/75 = 8/5.

    Una parte vale 15: los números son 120 y 75.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

  3. La clase

    En una clase, el número de chicas es los 5/4 del de chicos. Hay 27 alumnos en total. ¿Cuántos chicos y cuántas chicas hay?

    Cinco partes de chicas y cuatro de chicos forman 27 alumnos.
    Nueve partes representan toda la clase.
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    Una parte vale 27 : (5 + 4) = 3 alumnos. Chicas: 5 × 3 = 15; chicos: 4 × 3 = 12.

    Respuesta: 12 chicos y 15 chicas. Comprobación: 12 + 15 = 27 y 15/12 = 5/4.

    Una parte vale 3 alumnos: 15 chicas y 12 chicos.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

  4. Un segmento conocido

    Un segmento A es los 5/3 de un segmento B. B mide 18 cm. ¿Cuánto mide A?

    A ocupa cinco partes; los 18 centímetros de B ocupan tres.
    Se divide 18 entre el número de partes de B.
    Mostrar la solución y el dibujo resuelto

    Los 18 cm de B representan 3 partes: 18 : 3 = 6 cm por parte.

    A mide 5 × 6 = 30 cm. Respuesta: 30 cm. Comprobación: 30/18 = 5/3.

    Una parte mide 6 centímetros: A 30 y B 18.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

  5. El rectángulo de perímetro 84

    Un rectángulo tiene perímetro 84 cm. La base es los 4/3 de la altura. Calcula base, altura y área.

    Base cuatro partes y altura tres; el perímetro cuenta dos veces ambas.
    Para trabajar con base + altura se necesita el semiperímetro.
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    Primero dividimos el perímetro por dos: 84 : 2 = 42 cm es la suma de base y altura. Las partes son 4 + 3 = 7.

    Una parte mide 42 : 7 = 6 cm. Base: 4 × 6 = 24 cm; altura: 3 × 6 = 18 cm.

    Área: 24 × 18 = 432 cm². Respuesta: base 24 cm, altura 18 cm, área 432 cm². Comprobación: 2 × (24 + 18) = 84.

    Una parte mide 6 centímetros: base 24, altura 18; rectángulo de razón cuatro a tres.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

  6. El terreno

    La base de un terreno rectangular supera a la altura en 18 m. La base es los 8/5 de la altura. Calcula perímetro y área.

    Base ocho partes y altura cinco; tres partes corresponden a 18 metros.
    El dato es la diferencia entre las dimensiones, no el perímetro.
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    Las partes de más son 8 − 5 = 3. Una parte mide 18 : 3 = 6 m. Base: 8 × 6 = 48 m; altura: 5 × 6 = 30 m.

    Perímetro: 2 × (48 + 30) = 156 m. Área: 48 × 30 = 1440 m². Respuesta: perímetro 156 m, área 1440 m².

    Comprobación: 48 − 30 = 18 y 48/30 = 8/5.

    Una parte mide 6 metros: base 48 y altura 30; rectángulo de razón ocho a cinco.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

  7. Un porcentaje en clase

    En una clase de 30 alumnos, el 20% llega al colegio en patinete. Los demás no. ¿Cuántos alumnos hay en cada grupo?

    El veinte por ciento es un quinto: una parte en patinete y cuatro de otras formas.
    Un porcentaje puede escribirse como fracción del total.
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    Convertimos el porcentaje en fracción: 20% = 20/100 = 1/5. El total tiene 5 partes; una vale 30 : 5 = 6 alumnos.

    En patinete son 6; los demás 4 × 6 = 24. Respuesta: 6 y 24 alumnos.

    Comprobación, mostrando la conversión a porcentaje: (6/30) × 100% = 20%; además, 6 + 24 = 30.

    Una parte vale 6 alumnos: 6 en patinete y 24 de otras formas.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

  8. Las páginas que faltan

    Elena ha leído los 3/7 de un libro. Le quedan 48 páginas. ¿Cuántas páginas tiene el libro y cuántas ha leído?

    Tres partes están leídas; las cuatro partes restantes corresponden a 48 páginas.
    El dato 48 corresponde a la fracción restante, no a todo el libro.
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    Las partes por leer son 7 − 3 = 4. Una parte vale 48 : 4 = 12 páginas.

    El libro tiene 7 × 12 = 84 páginas y Elena ha leído 3 × 12 = 36. Respuesta: 84 páginas en total, 36 ya leídas.

    Comprobación: 84 − 36 = 48 y 36/84 = 3/7.

    Una parte vale 12 páginas: 36 leídas y 48 por leer, total 84.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

  9. Tres cintas, dos razones

    Las longitudes de tres cintas A, B y C cumplen A : B = 2 : 3 y B : C = 2 : 5. La suma es 100 cm. ¿Cuánto mide cada cinta?

    Dos comparaciones separadas: A dos partes y B tres; B dos partes y C cinco. Las partes de las dos comparaciones aún no tienen el mismo tamaño.
    B aparece con números de partes distintos: primero haz compatibles las razones.
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    No sumes 2 + 3 + 5: B no tiene el mismo número de partes en las dos razones. Llevamos B a 6 partes: A : B = 4 : 6 y B : C = 6 : 15.

    La razón común es A : B : C = 4 : 6 : 15. Las partes totales son 4 + 6 + 15 = 25; una parte mide 100 : 25 = 4 cm.

    Respuesta: A = 16 cm, B = 24 cm, C = 60 cm. Comprobación: 16 + 24 + 60 = 100, 16/24 = 2/3 y 24/60 = 2/5.

    Razón común A:B:C igual a 4:6:15; una parte mide 4 centímetros y las longitudes son 16, 24 y 60.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

  10. El rectángulo del PDF: resultados exactos

    El perímetro de un rectángulo es 90 cm. La base es los 7/4 de la altura. Calcula base, altura y área manteniendo las fracciones exactas.

    Base siete partes y altura cuatro; juntas valen el semiperímetro de 45 centímetros.
    Las partes pueden tener una medida fraccionaria: el método no cambia.
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    El semiperímetro es 90 : 2 = 45 cm. Las partes son 7 + 4 = 11: una parte mide 45/11 cm.

    Base: 7 × (45/11) = 315/11 cm, aproximadamente 28,64 cm. Altura: 4 × (45/11) = 180/11 cm, aproximadamente 16,36 cm.

    Área exacta: (315/11) × (180/11) = 56700/121 cm², aproximadamente 468,60 cm². No multipliques las dimensiones ya redondeadas si quieres conservar el resultado exacto.

    Comprobación: 2 × (315/11 + 180/11) = 90 y (315/11) : (180/11) = 7/4.

    Cada parte mide 45/11 centímetros; base 315/11 y altura 180/11 centímetros.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

Nivel 3 - Un paso más: valores, edades y transformaciones

  1. Tres hermanos y un reparto teórico

    Tres hermanos se reparten 240 €. El segundo recibe el doble del primero y el tercero el triple del segundo. ¿Cuánto recibe cada uno?

    Las cantidades son una, dos y seis partes: el tercero recibe el triple del segundo, no del primero.
    La tercera cantidad ocupa 3 × 2 = 6 partes.
    Mostrar la solución y el dibujo resuelto

    El primero tiene 1 parte, el segundo 2 y el tercero 3 × 2 = 6. Las partes totales son 1 + 2 + 6 = 9.

    Una parte vale 240 : 9 = 80/3 €. Las cantidades exactas son 80/3 €, 160/3 € y 160 €. Comprobación: 80/3 + 160/3 + 160 = 240; la segunda es el doble de la primera y la tercera el triple de la segunda.

    Aclaración sobre el dinero: 80/3 € y 160/3 € tienen decimales periódicos. Son cantidades matemáticas exactas, pero no pueden pagarse exactamente en céntimos; al redondear no se conservan todas las razones. Para un reparto real sin redondeo, la variante de 270 € da una parte de 30 € y cantidades de 30 €, 60 € y 180 €.

    Una parte vale 80/3 euros: cantidades 80/3, 160/3 y 160 euros.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

  2. Las monedas: número y valor

    Una hucha contiene monedas de 1 € y de 2 €. Las de 1 € son el triple que las de 2 € y el valor total es 70 €. ¿Cuántas monedas hay de cada tipo?

    El número de monedas de un euro ocupa tres partes y el de monedas de dos euros una.
    Las partes representan números de monedas; sus valores monetarios deben ponderarse.
    Mostrar la solución y el dibujo resuelto

    Dibujamos 3 partes de monedas de 1 € y 1 parte de monedas de 2 €. Un grupo de 3 monedas de 1 € y 1 de 2 € vale 3 × 1 + 1 × 2 = 5 €.

    Hay 70 : 5 = 14 grupos. Por tanto, hay 3 × 14 = 42 monedas de 1 € y 1 × 14 = 14 monedas de 2 €. Respuesta: 42 y 14 monedas.

    Comprobación: 42 × 1 + 14 × 2 = 70 € y 42 = 3 × 14. Dividir 70 entre 4 confundiría euros y número de monedas.

    Una parte contiene 14 monedas: 42 de un euro y 14 de dos euros.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

  3. La misma cantidad de regalo

    Dos amigos tienen respectivamente 30 € y 50 €. Ambos reciben la misma cantidad de dinero. Después del regalo, el segundo tiene los 3/2 del primero. ¿Cuánto recibió cada uno?

    Después del regalo el primero tiene dos partes y el segundo tres; la diferencia sigue siendo 20 euros.
    El esquema representa la situación después del regalo. La diferencia inicial no cambia.
    Mostrar la solución y el dibujo resuelto

    Añadir la misma cantidad a ambos conserva la diferencia: 50 − 30 = 20 €. En la razón final las partes son 2 y 3; la diferencia de 3 − 2 = 1 parte vale 20 €.

    Después del regalo el primero tiene 2 × 20 = 40 € y el segundo 3 × 20 = 60 €. El regalo es 40 − 30 = 10 €, o 60 − 50 = 10 €.

    Respuesta: 10 € cada uno. Comprobación: 60/40 = 3/2 y ambos aumentos son iguales.

    Una parte vale 20 euros: después del regalo los amigos tienen 40 y 60 euros.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

  4. Las edades: busca primero qué no cambia

    Un padre tiene 44 años y su hijo 11. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el triple de la del hijo?

    En el momento buscado el padre tiene tres partes y el hijo una. Su diferencia de edad sigue siendo 33 años.
    Las partes representan las edades futuras, no las iniciales.
    Mostrar la solución y el dibujo resuelto

    La diferencia de edad no cambia: 44 − 11 = 33 años. En el momento buscado el padre ocupa 3 partes y el hijo 1; las dos partes de más valen 33 años.

    Una parte vale 33 : (3 − 1) = 16,5 años. El hijo tendrá 16,5 y el padre 3 × 16,5 = 49,5.

    El tiempo de espera es 16,5 − 11 = 5,5 años. Respuesta: dentro de 5 años y 6 meses. También 49,5 − 44 = 5,5. No son 5 años: 49 no sería el triple de 16. Trabajamos con edades exactas del modelo, no solo con un número entero de cumpleaños.

    Una parte vale 16,5 años: en el momento buscado el padre tiene 49,5 y el hijo 16,5.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

  5. Un traslado entre dos grupos

    El grupo A tiene 48 cromos y el grupo B 24. ¿Cuántos debe pasar A a B para que los dos tengan la misma cantidad?

    Antes del traslado A tiene 48 cromos, dos partes de 24, y B tiene 24.
    Observa primero los datos. Los cromos cambian de grupo, pero no desaparecen.
    Mostrar la solución y el dibujo resuelto

    El total sigue siendo 48 + 24 = 72 cromos. Para ser iguales, cada grupo debe tener 72 : 2 = 36.

    A debe ceder 48 − 36 = 12 cromos. B recibe 36 − 24 = 12. Respuesta: A debe pasar 12 cromos a B.

    Comprobación: 48 − 12 = 24 + 12 = 36. No se traslada toda la diferencia de 24: cada cromo trasladado la reduce en 2, porque A pierde uno y B gana uno.

    Después del traslado los 72 cromos se dividen en dos partes de 36; A pasa 12 a B.
    El modelo resuelto muestra el valor de cada parte y de las cantidades pedidas.

6. Qué hemos aprendido

El método de las partes no es un atajo para evitar ecuaciones: ayuda a entender las relaciones entre cantidades. En primaria partimos de rectángulos y objetos; en secundaria relacionamos los mismos dibujos con fracciones, razones y proporciones. Más adelante, las ecuaciones darán un nombre a la parte desconocida.

En el ejemplo inicial, las partes dan 40 : (1 + 3) = 10; una proporción puede escribirse Luca : 40 = 1 : 4; una ecuación es x + 3x = 40. Cambia el lenguaje, no el razonamiento. En los problemas de transformación busca primero qué permanece igual: diferencia, total o valor de un grupo.