Il metodo delle parti: 25 problemi illustrati dalle elementari alle medie

Un problema sembra più facile quando riesci a vederlo. Il metodo delle parti, chiamato anche metodo dei segmenti, trasforma le quantità in gruppi di rettangoli uguali. Prima trovi quanto vale un rettangolo, poi ricostruisci le quantità richieste: spesso non servono equazioni né tentativi.

Documento di partenza: Il metodo delle parti, dalla scuola elementare alla scuola media (PDF). Il percorso riprende la spiegazione e tutti i 12 problemi del documento fornito, aggiunge 13 problemi nuovi e sviluppa ogni soluzione. I problemi sono riordinati per difficoltà; per i casi con età frazionarie o somme non distribuibili esattamente in centesimi trovi una precisazione.

1. L’idea: non disegnare ogni oggetto, disegna una parte

Marco e Luca hanno in tutto 40 figurine. Marco ne ha il triplo di Luca. Quante ne ha ciascuno? Se Luca occupa 1 parte, Marco occupa 3 parti uguali a quella di Luca. Non stiamo dicendo che Luca ha 1 figurina e Marco 3: non conosciamo ancora quanto vale una parte.

Le parti totali sono 1 + 3 = 4. Perciò una parte vale 40 : 4 = 10 figurine. Luca ha 1 × 10 = 10 figurine e Marco 3 × 10 = 30. Controllo: 10 + 30 = 40 e 30 = 3 × 10.

La domanda decisiva è sempre: quale dato del testo corrisponde a quante parti? Solo dopo questa scelta si divide.

2. I tre casi fondamentali

Conosci la somma: somma le parti

Due fratelli hanno complessivamente 56 €. Il maggiore possiede tre volte il denaro del minore. Le parti sono 3 e 1: 56 : (3 + 1) = 14 € per parte. Il maggiore ha 3 × 14 = 42 € e il minore 14 €. Il totale, non la differenza, rappresenta quattro parti.

Conosci la differenza: sottrai le parti

Un segmento è lungo cinque volte un altro. La differenza è 32 cm. Le parti sono 5 e 1; le parti in più sono 5 − 1 = 4. Quindi 32 : (5 − 1) = 8 cm per parte. I segmenti sono 5 × 8 = 40 cm e 8 cm. Controllo: 40 − 8 = 32.

Conosci una quantità: usa le sue parti

In una classe le femmine sono 4/3 dei maschi e i maschi sono 12. Le femmine occupano 4 parti, i maschi 3. Una parte vale 12 : 3 = 4 alunni; le femmine sono 4 × 4 = 16. Non dividere per 7: 12 non è il totale della classe.

3. Alle medie: una frazione è un rapporto tra parti

Scrivere AC = (7/5) CB non significa che AC misuri 7 cm e CB 5 cm. Significa che AC è formato da 7 parti e CB da 5 parti della stessa grandezza. Se AC supera CB di 10,8 cm, le due parti in più valgono proprio 10,8 cm.

(7 − 5) parti = 10,8 cm; dunque 1 parte = 10,8 : 2 = 5,4 cm. Ricostruiamo: AC = 7 × 5,4 = 37,8 cm, CB = 5 × 5,4 = 27 cm. Controllo: 37,8 − 27 = 10,8 e 37,8 : 27 = 7 : 5.

Se due quantità A e B sono nel rapporto a : b, la tabella riassume il valore di una parte:

Trovata una parte, moltiplica per a e per b. Se le quantità sono tre, per esempio 1, 2 e 6 parti, nella somma conti 1 + 2 + 6. Prima assicurati che tutte le parti rappresentino davvero la stessa quantità.

4. La procedura in cinque passi

1. Leggi: che cosa conosci e che cosa devi trovare? Sottolinea le unità di misura.
2. Disegna: traduci doppio, triplo o una frazione in parti uguali.
3. Abbina: il numero noto è una somma, una differenza o una singola quantità?
4. Calcola: trova il valore di una parte, poi tutte le quantità richieste.
5. Controlla: verifica sia il dato numerico sia il rapporto del testo. Scrivi una risposta con l’unità corretta.

Attenzione alle parole: «il triplo» significa tre volte, mentre «3 in più» indica una differenza di 3 unità. Nel rettangolo perimetro = 2 × (base + altezza): per sommare le parti di base e altezza devi prima dividere il perimetro per 2. Con monete di valori diversi, contare le monete non equivale a sommare gli euro.

Non sempre il rapporto vale già all’inizio. Se entrambi invecchiano o ricevono lo stesso regalo, la differenza resta invariata. Se una quantità passa da un gruppo all’altro, il totale resta invariato. Prima scegli la grandezza che non cambia, poi applica il metodo alla situazione richiesta.

25 problemi con disegni e soluzioni da aprire

Leggi il testo, guarda lo schema e prova sul quaderno. In uno schema, tutti i riquadri che rappresentano la stessa parte hanno lo stesso valore. I colori distinguono le quantità, non cambiano il valore della parte. Il punto interrogativo non è uno zero. Premi Mostra la soluzione e il disegno risolto solo dopo aver provato; premi di nuovo per richiudere. Gli schemi sono modelli: non vanno misurati con il righello.

Livello 1 - Elementari: parti uguali e dati semplici

1. Le caramelle

   Anna e Pietro hanno complessivamente 48 caramelle. Anna ne possiede il doppio di Pietro. Quante ne ha ciascuno?

   

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   Le parti sono 2 per Anna e 1 per Pietro: 2 + 1 = 3. Una parte vale 48 : 3 = 16 caramelle.

   Anna: 2 × 16 = 32 caramelle. Pietro: 1 × 16 = 16. Risposta: Anna 32, Pietro 16.

   Controllo: 32 + 16 = 48 e 32 = 2 × 16.

   

2. I sacchetti di biscotti

   Due sacchetti contengono in tutto 35 biscotti. Il sacchetto grande contiene quattro volte i biscotti di quello piccolo. Quanti biscotti contiene ciascuno?

   

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   Contiamo 4 + 1 = 5 parti. Una parte vale 35 : 5 = 7 biscotti.

   Il grande ne contiene 4 × 7 = 28; il piccolo 7. Risposta: 28 e 7 biscotti.

   Controllo: 28 + 7 = 35 e 28 : 7 = 4.

   

3. I risparmi

   Un bambino possiede 24 € più di sua sorella e ha il triplo dei suoi risparmi. Quanto possiede ciascuno?

   

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   Le parti in più sono 3 − 1 = 2. Perciò una parte vale 24 : 2 = 12 €.

   Il bambino possiede 3 × 12 = 36 € e la sorella 12 €. Risposta: 36 € e 12 €.

   Controllo: 36 − 12 = 24 e 36 = 3 × 12.

   

4. I libri di Giulia e Leo

   Giulia possiede 12 libri, il triplo di quelli di Leo. Quanti libri possiede Leo?

   

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   I 12 libri corrispondono alle 3 parti di Giulia, non al totale dei due bambini. Una parte vale 12 : 3 = 4 libri.

   Leo ha una parte: 4 libri. Controllo: 3 × 4 = 12.

   

5. Gli alberi

   In un giardino ci sono 72 alberi tra pini e ulivi. I pini sono cinque volte gli ulivi. Quanti alberi ci sono per tipo?

   

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   Le parti totali sono 5 + 1 = 6. Una parte vale 72 : 6 = 12 alberi.

   Pini: 5 × 12 = 60. Ulivi: 12. Risposta: 60 pini e 12 ulivi.

   Controllo: 60 + 12 = 72 e 60 = 5 × 12.

   

6. I due nastri

   Un nastro è lungo quattro volte un altro. Il nastro lungo supera quello corto di 18 cm. Quanto misura ciascuno?

   

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   La differenza delle parti è 4 − 1 = 3. Una parte misura 18 : 3 = 6 cm.

   Il nastro lungo misura 4 × 6 = 24 cm e il corto 6 cm. Risposta: 24 cm e 6 cm.

   Controllo: 24 − 6 = 18 e 24 = 4 × 6.

   

7. Le tre scatole di matite

   Tre scatole contengono in tutto 60 matite. Nella seconda ce ne sono il doppio della prima e nella terza il triplo della prima. Quante matite contiene ogni scatola?

   

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   Le parti sono 1, 2 e 3: 1 + 2 + 3 = 6. Una parte vale 60 : 6 = 10 matite.

   Le scatole contengono 10, 20 e 30 matite. Controllo: 10 + 20 + 30 = 60; la seconda è il doppio e la terza il triplo della prima.

   

8. Le biglie rosse

   In un sacchetto ci sono 40 biglie, tutte rosse o blu. I 3/5 sono rossi. Quante biglie ci sono di ogni colore?

   

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   Il denominatore 5 dice quante parti formano il totale. Una parte vale 40 : 5 = 8 biglie.

   Rosse: 3 × 8 = 24. Blu: (5 − 3) × 8 = 16. Risposta: 24 rosse e 16 blu.

   Controllo: 24 + 16 = 40 e 24/40 = 3/5.

   

9. Somma e differenza delle figurine

   Sara e Paolo hanno in tutto 54 figurine. Sara ne ha 14 più di Paolo. Quante ne ha ciascuno?

   

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   Mettiamo da parte le 14 figurine in più di Sara. Restano 54 − 14 = 40 figurine, divise in due quantità uguali.

   Una parte vale 40 : 2 = 20. Paolo ha 20 figurine; Sara 20 + 14 = 34. Risposta: Sara 34, Paolo 20.

   Controllo: 34 + 20 = 54 e 34 − 20 = 14.

   

10. I tre vassoi

    Si distribuiscono 45 pasticcini su tre vassoi nel rapporto 2 : 3 : 4. Quanti pasticcini vanno su ogni vassoio?

    

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    Le parti totali sono 2 + 3 + 4 = 9. Una parte vale 45 : 9 = 5 pasticcini.

    Sui vassoi vanno 2 × 5 = 10, 3 × 5 = 15 e 4 × 5 = 20 pasticcini. Risposta: 10, 15 e 20.

    Controllo: 10 + 15 + 20 = 45 e il rapporto è 10 : 15 : 20 = 2 : 3 : 4.

    

Livello 2 - Medie: frazioni, rapporti e geometria

11. Due segmenti e la loro somma

    Due segmenti hanno somma 84 cm. Il primo è i 4/3 del secondo. Calcola le loro lunghezze.

    

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    Le parti sono 4 e 3. Una parte misura 84 : (4 + 3) = 12 cm.

    Primo segmento: 4 × 12 = 48 cm. Secondo: 3 × 12 = 36 cm. Risposta: 48 cm e 36 cm.

    Controllo: 48 + 36 = 84 e 48/36 = 4/3.

    

12. Due numeri e la differenza

    Due numeri differiscono di 45. Il maggiore è gli 8/5 del minore. Trova i numeri.

    

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    La differenza rappresenta 8 − 5 = 3 parti. Una parte vale 45 : 3 = 15.

    Maggiore: 8 × 15 = 120. Minore: 5 × 15 = 75. Risposta: 120 e 75.

    Controllo: 120 − 75 = 45 e 120/75 = 8/5.

    

13. La classe

    In una classe le femmine sono i 5/4 dei maschi. Complessivamente ci sono 27 alunni. Quanti sono i maschi e quante le femmine?

    

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    Una parte vale 27 : (5 + 4) = 3 alunni. Femmine: 5 × 3 = 15; maschi: 4 × 3 = 12.

    Risposta: 12 maschi e 15 femmine. Controllo: 12 + 15 = 27 e 15/12 = 5/4.

    

14. Un segmento già noto

    Un segmento A è i 5/3 di un segmento B. B misura 18 cm. Quanto misura A?

    

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    I 18 cm di B rappresentano 3 parti: 18 : 3 = 6 cm per parte.

    A misura 5 × 6 = 30 cm. Risposta: 30 cm. Controllo: 30/18 = 5/3.

    

15. Il rettangolo con perimetro 84

    Un rettangolo ha perimetro 84 cm. La base è i 4/3 dell’altezza. Trova base, altezza e area.

    

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    Prima dimezziamo il perimetro: 84 : 2 = 42 cm è la somma di base e altezza. Le parti sono 4 + 3 = 7.

    Una parte misura 42 : 7 = 6 cm. Base: 4 × 6 = 24 cm; altezza: 3 × 6 = 18 cm.

    Area: 24 × 18 = 432 cm². Risposta: base 24 cm, altezza 18 cm, area 432 cm². Controllo: 2 × (24 + 18) = 84.

    

16. Il terreno

    Un terreno rettangolare ha la base che supera l’altezza di 18 m. La base è gli 8/5 dell’altezza. Calcola perimetro e area.

    

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    Le parti in più sono 8 − 5 = 3. Una parte misura 18 : 3 = 6 m. Base: 8 × 6 = 48 m; altezza: 5 × 6 = 30 m.

    Perimetro: 2 × (48 + 30) = 156 m. Area: 48 × 30 = 1440 m². Risposta: perimetro 156 m, area 1440 m².

    Controllo: 48 − 30 = 18 e 48/30 = 8/5.

    

17. La percentuale in classe

    In una classe di 30 alunni, il 20% arriva a scuola in monopattino. Gli altri no. Quanti alunni appartengono ai due gruppi?

    

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    Trasformiamo la percentuale in frazione: 20% = 20/100 = 1/5. Il totale ha 5 parti e una parte vale 30 : 5 = 6 alunni.

    In monopattino sono 6; gli altri 4 × 6 = 24. Risposta: 6 e 24 alunni.

    Controllo e trasformazione in percentuale: (6/30) × 100% = 20%; inoltre 6 + 24 = 30.

    

18. Le pagine ancora da leggere

    Elena ha letto i 3/7 di un libro. Le restano 48 pagine. Quante pagine ha il libro e quante ne ha già lette?

    

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    Le parti ancora da leggere sono 7 − 3 = 4. Una parte vale 48 : 4 = 12 pagine.

    Il libro ha 7 × 12 = 84 pagine; Elena ne ha lette 3 × 12 = 36. Risposta: 84 pagine in tutto, 36 già lette.

    Controllo: 84 − 36 = 48 e 36/84 = 3/7.

    

19. Tre nastri, due rapporti

    Le lunghezze di tre nastri A, B e C hanno questi rapporti: A : B = 2 : 3 e B : C = 2 : 5. La somma è 100 cm. Quanto misura ogni nastro?

    

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    Non sommare 2 + 3 + 5: nei due rapporti B non è rappresentato dallo stesso numero di parti. Portiamo B a 6 parti: A : B = 4 : 6 e B : C = 6 : 15.

    Il rapporto comune è A : B : C = 4 : 6 : 15. Le parti totali sono 4 + 6 + 15 = 25; una parte misura 100 : 25 = 4 cm.

    Risposta: A = 16 cm, B = 24 cm, C = 60 cm. Controllo: 16 + 24 + 60 = 100, 16/24 = 2/3 e 24/60 = 2/5.

    

20. Il rettangolo del PDF: risultati esatti

    Il perimetro di un rettangolo è 90 cm. La base è i 7/4 dell’altezza. Calcola base, altezza e area, mantenendo le frazioni esatte.

    

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    Il semiperimetro è 90 : 2 = 45 cm. Le parti sono 7 + 4 = 11: una parte misura 45/11 cm.

    Base: 7 × (45/11) = 315/11 cm, circa 28,64 cm. Altezza: 4 × (45/11) = 180/11 cm, circa 16,36 cm.

    Area esatta: (315/11) × (180/11) = 56700/121 cm², circa 468,60 cm². Non moltiplicare le dimensioni già arrotondate se vuoi conservare il risultato esatto.

    Controllo: 2 × (315/11 + 180/11) = 90 e (315/11) : (180/11) = 7/4.

    

Livello 3 - Un passo in più: valori, età e trasformazioni

21. Tre fratelli e una ripartizione teorica

    Tre fratelli si dividono 240 €. Il secondo riceve il doppio del primo e il terzo il triplo del secondo. Quanto riceve ciascuno?

    

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    Il primo ha 1 parte, il secondo 2 e il terzo 3 × 2 = 6. Le parti totali sono 1 + 2 + 6 = 9.

    Una parte vale 240 : 9 = 80/3 €. Le quote esatte sono 80/3 €, 160/3 € e 160 €. Controllo: 80/3 + 160/3 + 160 = 240; la seconda è doppia della prima e la terza tripla della seconda.

    Precisazione sul denaro: 80/3 € e 160/3 € hanno decimali periodici. Sono quote matematiche esatte, ma non si possono pagare esattamente con i centesimi; arrotondando non si conservano tutti i rapporti. Per una distribuzione concreta senza arrotondamenti, la variante con 270 € dà una parte da 30 € e quote 30 €, 60 €, 180 €.

    

22. Le monete: numero e valore

    In un salvadanaio ci sono monete da 1 € e da 2 €. Le monete da 1 € sono il triplo di quelle da 2 € e il valore complessivo è 70 €. Quante monete ci sono per tipo?

    

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    Disegniamo 3 parti di monete da 1 € e 1 parte di monete da 2 €. Un gruppo con 3 monete da 1 € e 1 da 2 € vale 3 × 1 + 1 × 2 = 5 €.

    I gruppi sono 70 : 5 = 14. Quindi ci sono 3 × 14 = 42 monete da 1 € e 1 × 14 = 14 monete da 2 €. Risposta: 42 e 14 monete.

    Controllo: 42 × 1 + 14 × 2 = 70 € e 42 = 3 × 14. Dividere 70 per 4 confonderebbe euro e numero di monete.

    

23. La stessa somma in regalo

    Due amici possiedono rispettivamente 30 € e 50 €. Entrambi ricevono la stessa somma di denaro. Dopo il regalo, il secondo possiede i 3/2 del primo. Quanto ha ricevuto ciascuno?

    

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    Aggiungere la stessa somma a entrambi lascia invariata la differenza: 50 − 30 = 20 €. Nel rapporto finale le parti sono 2 e 3; la differenza di 3 − 2 = 1 parte vale quindi 20 €.

    Dopo il regalo il primo ha 2 × 20 = 40 € e il secondo 3 × 20 = 60 €. Il regalo è 40 − 30 = 10 €, oppure 60 − 50 = 10 €.

    Risposta: 10 € ciascuno. Controllo: 60/40 = 3/2 e i due aumenti sono uguali.

    

24. Le età: prima trova ciò che non cambia

    Un padre ha 44 anni e suo figlio ne ha 11. Fra quanti anni l’età del padre sarà il triplo di quella del figlio?

    

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    La differenza d’età non cambia: 44 − 11 = 33 anni. Nel momento cercato il padre occupa 3 parti e il figlio 1; le due parti in più valgono 33 anni.

    Una parte vale 33 : (3 − 1) = 16,5 anni. Il figlio avrà 16,5 anni e il padre 3 × 16,5 = 49,5 anni.

    Il tempo da attendere è 16,5 − 11 = 5,5 anni. Risposta: fra 5 anni e 6 mesi. Anche 49,5 − 44 = 5,5. Non 5 anni: a quel punto 49 non sarebbe il triplo di 16. Lavoriamo con le età esatte del modello, non soltanto con il numero intero dei compleanni.

    

25. Un passaggio da un gruppo all’altro

    Il gruppo A ha 48 figurine e il gruppo B ne ha 24. Quante figurine deve passare A a B perché i due gruppi abbiano la stessa quantità?

    

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    Il totale rimane 48 + 24 = 72 figurine. Per essere uguali, i gruppi devono avere 72 : 2 = 36 figurine ciascuno.

    A deve cedere 48 − 36 = 12 figurine. B ne riceve 36 − 24 = 12. Risposta: A deve passare 12 figurine a B.

    Controllo: 48 − 12 = 24 + 12 = 36. Non si trasferisce l’intera differenza 24: ogni figurina trasferita riduce la differenza di 2, perché A ne perde una e B ne guadagna una.

    

6. Che cosa abbiamo imparato

Il metodo delle parti non è una scorciatoia per evitare le equazioni: aiuta a capire le relazioni fra le quantità. Alle elementari partiamo da rettangoli e oggetti; alle medie colleghiamo gli stessi disegni a frazioni, rapporti e proporzioni. Più avanti, le equazioni daranno un nome alla parte sconosciuta.

Sullo stesso esempio iniziale, le parti danno 40 : (1 + 3) = 10; una proporzione può scrivere Luca : 40 = 1 : 4; un’equazione scrive x + 3x = 40. Cambia il linguaggio, non il ragionamento. Nei problemi con trasformazioni cerca prima ciò che resta uguale: differenza, totale o valore di un gruppo.